1、本册素养等级测评本册素养等级测评 一、单选题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1命题“x0，使 x23x10”的否定是(C) Ax0，使 x23x10 Bx0，使 x23x10 Cx0，使 x23x10 Dx0，使 x23x10 解析：命题“x0，使 x23x10”的否定是“x0，x23x10”，故选 C 2设 f(x)ax5bx3cx7(其中 a、b、c 为常数，xR)，若 f(7)17，则 f(7) (A) A31B17 C31D24 解析：令 g(x)ax5bx3cx，则 g(x)为奇函数 f(7)g(7)717，g
2、(7)24. f(7)g(7)724731. 3对于：a1 a10，：关于 x 的方程 x 2ax10 有实数根，则是成立的( B) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：由：a1 a10 解得 a1 或 a1，：关于 x 的方程 x 2ax10 有实数根， 则a240，解得 a2 或 a2.a|a2 或 a2a|a1 或 a1，是成 立的必要不充分条件，故选 B 4关于 x 的不等式(a21)x2(a1)x10 的解集为 R，则实数 a 的取值范围为 (D) A 3 5，1B 3 5，1 C 3 5，11D 3 5，1 解析：当 a210 时，a1，若 a
3、1，则原不等式可化为10，显然恒成立；若 a 1，则原不等式可化为 2x10，不恒成立，所以 a1 舍去； 当 a2 10 时 ， 因 为 (a2 1)x2 (a 1)x 1 0 的 解 集 为 R ， 所 以 只 需 a210， a124a210， 解得3 5a1. 综上，实数 a 的取值范围为 3 5，1.故选 D 5若关于 x 的方程 f(x)20 在(，0)内有解，则 yf(x)的图像可以是(D) 解析：因为关于 x 的方程 f(x)20 在(，0)内有解，所以函数 yf(x)与 y2 的图 像在(，0)内有交点，观察图像可知只有 D 中图像满足要求 6已知不等式(xy)(1 x a
4、y)9 对任意的正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 (B) A2B4 C6D8 解析：(xy) 1 x a y 1ay x ax y 1a2 a( a1)2(x， y， a0)， 当且仅当 y ax 时取等号，所以(xy) 1 x a y 的最小值为( a1)2，于是( a1)29 恒成立，所以 a4，故 选 B 7已知 f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数 f(x)的两个零点，则实数 a，b，的 大小关系可能是(C) AabBab CabDab 解析：，是函数 f(x)的两个零点，f()f()0. 又f(a)f(b)20，结合二次函数的图像(如图所示)可知 a，b 必在，之
5、间，故它 们之间的关系可能为ab.故选 C 8函数 f(x)x|x|.若存在 x1，)，使得 f(x2k)k0，则实数 k 的取值范围是 (D) A(2，)B(1，) C(1 2，) D 1 4， 解析：当 k1 2时，x2k0，因此 f(x2k)k0，可化为(x2k) 2k0，即存在 x1， )，使 g(x)x24kx4k2k0 成立，由于 g(x)x24kx4k2k 的对称轴为直线 x 2k1，所以 g(x)x24kx4k2k 在1，)上单调递增，因此只要 g(1)0，即 14k 4k2k0，解得1 4k1. 又因为 k1 2，所以 1 4k 1 2. 当 k1 2时，f(x2k)(x2k
6、)|x2k| x2k2，1x2k， x2k2，x2k. 当 1x2k 时，f(x2k)k(x2k)2k0 恒成立，满足存在 x1，)，使得 f(x2k)k0 成立综上，k1 4.故选 D 二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9设全集 U0,1,2,3,4，集合 M0,1,4，N0,1,3，则(AC) AMN0,1 BUN4 CMN0,1,3,4 D集合 M 的真子集个数为 8 解析：由题意，MN0,1，A 正确；UN2,4，B 不正确；MN0,1,3,4，C
7、 正确；集合 M 的真子集个数为 2317，D 不正确；故选 AC 10下列对应关系 f，能构成从集合 M 到集合 N 的函数的是(ABD) AM 1 2，1， 3 2 ，N6，3,1，f 1 2 6，f(1)3，f 3 2 1 BMNx|x1，f(x)2x1 CMN1,2,3，f(x)2x1 DMZ，N1,1，n 为奇数时，f(n)1，n 为偶数时，f(n)1 解析：对于 A，M1 2，1 3 2，N6，3,1，f 1 2 6，f(1)3，f 3 2 1，满足 函数的定义“集合 M 中每一个元素在集合 N 中都有唯一的元素与之对应”， 则 f 能构成从集 合 M 到集合 N 的函数，满足题意
8、； 对于 B，MNx|x1，f(x)2x1，满足函数的定义“集合 M 中每一个元素在集 合 N 中都有唯一的元素与之对应”，则 f 能构成从集合 M 到集合 N 的函数，满足题意；对于 C，MN1,2,3，f(x)2x1， f(2)5N，不满足函数的定义“集合 M 中每一个元素在集合 N 中都有唯一的元素 与之对应”，则 f 不能构成从集合 M 到集合 N 的函数，不满足题意；对于 D，MZ，N 1,1，n 为奇函数时，f(n)1，n 为偶函数时，f(n)1，满足函数的定义“集合 M 中每一个 元素在集合 N 中都有唯一的元素与之对应”， 则 f 能构成从集合 M 到集合 N 的函数， 满足题
9、 意；故选 ABD 11已知 f(x)x1 x1(x1)，则下列各式成立的是( CD) Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)1 Cf(x) 1 fx0 Df(x)f(x)1 解析：f(x)f(x)x1 x1 x1 x1 2x22 x21 0，A 不符合题意，f(x)f(x) x1 x1 x1 x11，B 不符合题意，D 符合题意，f(x) 1 fx x1 x1 x1 x10，C 符 合题意；故选 CD 12下列命题中正确的是(AC) Ayx1 x(x0)的最大值是2 By x23 x22的最小值是 2 Cy23x4 x(x0)的最大值是 24 3 Dy23x4 x(x0)的最小值是 24 3
10、 解析： yx1 x x1 x 2， 当且仅当x1 时， 等号成立， 所以A正确； y x23 x22 x22 1 x222，取不到最小值 2，所以 B 错误；y23x 4 x(x0)2 3x4 x 2 4 3，当且仅当 3x4 x时，等号成立，所以 C 正确；y23x 4 x(x0)的最大值是 24 3， 所以 D 错误故选 AC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中横线上) 13 已知 f(x)是一次函数， 且满足 3f(x1)2f(x1)2x17， 则函数 f(x)的解析式为_f(x) 2x7_. 解析：由题意，设 f(x)axb(a0) f(x)满
11、足 3f(x1)2f(x1)2x17， 3a(x1)b2a(x1)b2x17， 即 ax(5ab)2x17， a2， 5ab17， 解得 a2， b7. f(x)2x7. 14函数 y 32xx2的定义域是_3,1_，值域为_0,2_. 解析：要使函数有意义，需 32xx20，即 x22x30，解得3x1.定义域 为3,1 x22x3(x1)24 y x22x3的值域为0,2 15关于 x 的不等式 x2axa30 在区间2,0上恒成立，则实数 a 的取值范围是 _2，)_. 解析：由题意得 ax 23 x1 (x1) 4 x12.因为2x0，所以3x11. 所以(x1) 4 x12(1x)
12、4 1x22 422. 当且仅当 x1 时取到等号所以 a2. 故实数 a 的取值范围为2，) 16给出以下四个命题： 若集合 Ax，y，B0，x2，AB，则 x1，y0； 若函数 f(x)的定义域为(1,1)，则函数 f(2x1)的定义域为(1,0)； 函数 f(x)1 x的单调递减区间是(，0)(0，)； 若 f(xy)f(x)f(y)，且 f(1)1，则f2 f1 f4 f3 f2 018 f2 017 f2 020 f2 0192 020. 其中正确的命题有_.(写出所有正确命题的序号) 解析：由 Ax，y，B0，x2，AB 可得 y0， xx2 或 x0， yx2. (舍)故 x1，
13、y 0，正确；由函数 f(x)的定义域为(1,1)，得函数 f(2x1)满足12x11，解得1 x0，即函数 f(2x1)的定义域为(1,0)，正确；函数 f(x)1 x的单调递减区间是(， 0)， (0， )， 不能用并集符号， 错误； 由题意 f(xy)f(x)f(y)， 且 f(1)1， 则f2 f1 f4 f3 f2 018 f2 017 f2 020 f2 019 f1f1 f1 f3f1 f3 f2 017f1 f2 017 f2 019f1 f2 019 f(1)f(1)f(1) 1111 010，错误 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演
14、算步骤) 17(10 分)已知集合 Ax|xa，Bx|1x2，Cx|mx20 (1)若 A(RB)R，求实数 a 的取值范围； (2)若 CBC，求实数 m 的取值范围 解：(1)Bx|1x2，RBx|x1 或 x2 又Ax|xa，A(RB)R，a2，即实数 a 的取值范围是(2，) (2)CBC，CB. 当 C时，m0 符合题意 当 C时，由 mx20 得 x2 m，故 1 2 m2，解得2m1. 综上可知，实数 m 的取值范围为2，10 18(12 分)若集合 Ax|x2x60，Bx|x2xa0，且 BA，求实数 a 的取值 范围 解：A3,2对于 x2xa0， 当14a0，即 a1 4时
15、，B，BA 成立； 当14a0，即 a1 4时，B 1 2 ，BA 不成立； 当14a0，即 a1 4时，若 BA 成立， 则 B3,2，a326. 综上，a 的取值范围为 a1 4或 a6. 19(12 分)已知函数 f(x)ax22x1(a0) (1)若函数 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求实数 a 的取值范围 解：(1)函数 f(x)有两个零点，即方程 ax22x10(a0)有两个不等实根，令0，即 44a0，解得 a1.又因为 a0， 所以实数 a 的取值范围为(，0)(0,1) (2)若函数 f(x)在
16、区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，由 f(x)的图像过点(0,1)可知，只需 f00， f10， f20， 即 10， a10， 4a30， 解得3 4a1. 所以实数 a 的取值范围为 3 4，1. 20(12 分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位 的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/米 3)随着时间 x(单位：天)变化的函数关系式近 似为 y 16 8x1，0 x4， 51 2x，4x10. 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放 的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/ 米 3)时
17、，它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的净化剂，要使接 下来的 4 天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据： 2取 1.4) 解析：(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂， 所以浓度 f(x)4y 64 8x4，0 x4， 202x，4x10. 则当 0 x4 时，由 64 8x44，解得 x0， 所以此时 0 x4. 当 4x10 时，由 202x4，解得 x8， 所以此时 4x8. 综上，得 0 x8，即若一次投放 4 个单位的净化剂，则有
18、效净化时间可达 8 天 (2)设从第一次喷洒起， 经 x(6x10)天， 浓度 g(x)2 51 2xa 16 8x6110 x 16a 14xa(14x) 16a 14xa42 14x 16a 14xa48 aa4. 因为 14x4,8，而 1a4. 所以 4 a4,8，故当且仅当 14x4a时，y 有最小值为 8 aa4. 令 8 aa44，解得 2416 2a4，所以 a 的最小值为 2416 21.6. 21(12 分)已知函数 f(x)x22x8，g(x)2x24x16. (1)求不等式 g(x)0 的解集； (2)若对一切 x2，均有 f(x)(m2)xm15 成立，求实数 m 的
19、取值范围 解：(1)g(x)2x24x160，即(2x4)(x4)0， 2x4， 不等式 g(x)0 的解集为x|2x4 (2)f(x)x22x8. 当 x2 时，f(x)(m2)xm15 恒成立， x22x8(m2)xm15， 即 x24x7m(x1) 对一切 x2，均有不等式x 24x7 x1 m 成立 而x 24x7 x1 (x1) 4 x122 x1 4 x122(当且仅当 x3 时等号成立)， 实数 m 的取值范围是(，2 22(12 分)定义在(，0)(0，)上的函数 yf(x)满足 f x y f(x)f(y)，且函数 f(x) 在(0，)上是增函数 (1)求 f(1)，并证明函
20、数 yf(x)是偶函数； (2)若 f(4)2，解不等式 f(x5)f 3 x 1. 解：(1)令 xy0，则 f(1)f(x)f(x)0. 再令 x1，y1 可得 f(1)f(1)f(1) f(1)，f(1)0. 证明：令 y1 可得 f(x)f(x)f(1)f(x)， f(x)是偶函数 (2)f(2)f(4)f(2)，f(2)1 2f(4)1. 又 f(x5)f(3 x)f( x25x 3 )，f x25x 3f(2) f(x)是偶函数，在(0，)上单调递增， 2x 25x 3 2 且x 25x 3 0， 解得1x0 或 0 x2 或 3x5 或 5x6. 所以不等式的解集为x|1x0 或 0 x2 或 3x5 或 5x6
