1、第十章第十章 复数复数 10.2.2 复数的乘法与除法 复数的加减法： 交换律和结合律： .,)()()()(Rdcbaidbcadicbia 1221 zzzz )()( 321321 zzzzzz 两个实数的乘法对加法来说满足分配律. 即a，b, c? R 时，有 (a+b)c=ac+bc , 而且，实数的正整数次幂满足 aman =amn, (am )n=amn， (ab)n =anbn ， 其中m,n均为正整数. 我们研究完了复数的加法和减法运算，那么复数的乘法，你想 到怎么算了吗？你想到的算法符合实数乘法相关的运算法则吗？ 思考：复数的乘法应该如何规定, 才能使得类似的运算法 则仍成
2、立呢? 设z1=3 ； z2 = 12i ; z3 =-5i ,你认为z1z2的值与z2z3的值分别 等于多少？ 由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则. 猜想：z1z2=3(1-2i)=3-3(-3i)=3-6i z2z3=(1-2i)(-5i)=1(-5i)-2i(-5i)=-5i+10i2=-5i-10 设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d?R),称z1z2(或z1z2) 为z1与z2的积，并规定 z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 按照多项式乘法进行计算， 然后利用 i 2 =-1即可. 按照这种定
3、义，我们在上面尝试与发现中的猜想是正确的. 交换率 1221 zzzz 321321 )()(zzzzzz 结合率 3121321 )(zzzzzzz 分配率 乘法运算率在复数范围内仍然成立： 例1 已知a,b?R,求证：(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . 证明：根据复数乘法的定义有 (a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-bi2 =a2+b2 . i2=-1 2 2 ,zzzzCz 两个共轭复数的乘积等于其模的平方. 即 实数 思考：若z1=a+bi,z2=c+di,那么是否有 成 立？给出证明过程. 2121 zzzz ibcadbdacibcadbdacdicbiazz 2
4、1 , 21 ibcadbdacdicbiazz 2121 zzzz即 证明： 复数乘法运算按 照多项式乘法方 式进行运算. n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂), 并记作zn，即zn=zzzzz. n个 可以验证，当m，n均为正整数时， zmznzm+n，（zm）nzmn，（z1z2）nzn1zn2. 以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于 复数来说也是成立的，即 （z1+z2）2z21+2z1z2+z22， z21-z22（z1+z2)(z1-z2）. 例如,例1也可按如下方式计算. (a +bi) (a bi)=a2 -(bi)2 =a2 + b2. 类似于实数的
5、乘法运算， 只不过当底为正实数时， 指数为任意实数. 复数乘法运算按 照多项式乘法方 式进行运算. )3)(2() 1 (ii )31)(32() 2(ii )3)(23() 3 (ii)2)(43)(21 () 4(iii 计算下列各式的值 2235i ii21216 iiii553232) 1 ( 2 原式 iiii3119362)2( 2 原式 i )331 ()3(原式 iii1520)2)(211()4(原式 iii125)2(2323)5( 22 原式 5)2(1)6( 22 i原式 解： -5-5i 11-3i -20+15i 5-12i5 i )331 ( 【探究】 i 的指数
6、 变化规律 1,1, 4321 iiiiii _,_,_,_ 8765 iiii 观察发现 i 的指数与运算结果之间有规律了吗？有怎 样的规律？ n i 4 14n i 24 n i 34 n i ,1,i ,1i i3=i2 i=-1i=-i; i4=i2i2=11=1 i 的幂次具有周期性，T=4 利用 i 的周期性可以解决高次幂问题。. i4ni4n1i4n2i4n30(nN) 例2 计算(1+i)2与(1-i)2的值. 解：(1+i)2 =12+2i+i2=2i ； (1-i)2 =12-2i+i2=-2i 等式的性质在复数范围内仍然成立： 当z1=z2时，必有 z1z=z2z. 注意
7、：不是所有的实数中的结论都可以推广到复数情况. 例如：当x?R时，x20; 当z?C时，z2未必成立。 z=a+bi 1.b=0, z=a,z为实数 2.b0, a=0 ,z=bi ,z2=-b2 此时z为实数 a0 ,z=a+bi ,z2=a2-b2+2abi 此时z为复数 在实数中，如果 a0 且 ax=b ,那么 . a b x 我们用类似的方法给出两个复数相除的定义. 如果复数z20 , 则满足zz2=z1 的复数z称为z1除以z2的商， 并记作 21 2 1 zzz z z z或 被除数 除数 如无特别说明，总 认为除数不能为0. 利用复数除法的定义可以证明，当为非零复数时，有 .,
8、 2121 2 1 2 1 zzzz z z z z 复数除法运算性质 设实数a,b满足 (a+bi)(1+2i)=1 , 利用方程组求出a,b的值， 并思考是否有其他方法可以求出. 21 1 i 尝试与发现的式子可以改写为 i bia 21 1 为了求出a,b的值，将等式右边看成一个分式，只要想办法把 1+2i变成一个实数即可. (1+2i)(1-2i)=12-(2i)2 =5 . 5 2 5 1 5 21 21)21 ( )21 (1 21 1 i i ii i i bia 这种方法称为 “分母实数化” 例3 求(1 +2i)(3-4i)的值. ii ii i i ii 4343 4321
9、 43 21 4321 . 5 2 5 1 25 105 i i 解： dic bia dicbia . 2222 22 dc iadbc dc bdac dc iadbcbdac 复数除法的计算方 法分母实数化 dicdic dicbia )( )( 分母实数化根据 为 Rzzzz 2 2 同实数类似，可以定义非零复数的0次幂与负整数次幂， 即当z为非零复数且n是正整数时，规定 z01，z-n 2 2 1 1 1 i i 例如. 222 1 2 i i i i 计算： i i i32 21 )2( 2 1 )1( i i i2 )4( 43 7 )3( 解： 22 )( i ii i 原式1
10、 i i ii ii 13 7 13 4 13 74 )32)(32( )32)(21( )2( 原式 i ii i 25 28 25 21 )43)(43( )43(7 )3( 原式 i ii ii 5 2 5 1 )2)(2( )2( )4( 原式 我们已经知道，虚数单位 i 是方程 x2-1 的一个解，还有其他复数 是这个方程的解吗？如果实数 a0，那么方程 x2-a 在复数范围内 的解集是什么？ 因为 i2=(-i)2=-1 , 所以方程 x2=-1 在复数范围内的解集为 -i , i . 当 a0 时, . 2 222 aiaiaia 所以方程 x2=-a 在复数范围内的解集为 .,
11、i ai a 引入复数之后，任意实系数一元二次方程总有解，可以 仿照在实数范围内解一元二次方程的方式，采配方法再 开方的方法解。 配方成 x2=-a (a0)的形式再开方，回到了 对复数开方问题. 例4在复数范围内求方程 x2+2x+30 的解集. 因为 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2 , 所以原方程可以化为 (x+1)2=-2 ,从而可知 ,2121ixix或 ,2121ixix或因此 .2121ii，所求解集为 , 0324 21 2 xx xx 两个解分别为 在复数范围内的中，如果我们记在例 . 1221 xxxx且则 . 3 , 2 21 21 xx xx 还可算
12、得 解： 仍满足一元二次方程根与系 数之间的关系！ 研究证明关于实系数一元二次方程ax2+bx+c0的解的情况，并证明： 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2+bx+c0的解，那么 12 12 , . b xx a c x x a 证明：由ax2+bx+c0 得 2 2 2 4 4 2a acb a b x ;, , 2 4 , 2 4 , 04 2121 2 2 2 1 2 a c xx a b xx a acbb x a acbb xacb 当 ;, , 2 4 , 2 4 2121 2 2 2 1 a c xx a b xx a iacbb x a iacbb x iacbiacb
13、acbacb 44 144 222 22 采用先 配方 成 x2=-a 的形式，再 开方 运算 , 04 2 acb当 （1）当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac0时，方程有两个相等的实数根； 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的 求根公式为 （1）当0时，x 2 4 2 bbac a （2）当0（两个虚数根）时，x= 2 (4) 2 bbac i a 当a，b，c都是实数且a0时，关于x的方程ax2+bx+c0称为 实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （3）当b2-4ac0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 有实根 无实根 复数乘法 ： （a+bi）（c+di）（ac-bd）+（bc+ad）i. 对于任意复数z1，z2，z3C，复数的乘法满足： 交换律：z1z2z2z1. 结合律：（z1z2）z3z1（z2z3）. 分配律：z1（z2+z3）z1z2+z1z3. . 2222 dc iadbc dc bdac dic bia dicbia 复数除法： 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的 求根公式为 （1）当0时，x 2 4 2 bbac a （2）当0（两个虚数根）时，x= 2 (4) 2 bbac i a 课堂小结 下课了
