1、第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步 11.4.2 平面与平面垂直 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变 大的 感觉.你认为应该怎样刻画面面“夹角呢？ 问题：平面和平面有没有夹角，如果存在你能不能尝试画出你认为的平 面和平面夹角的样子？ 问题：如何定义这种平面和平面的夹角？ 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部 分都 称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为 二面角， 这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. 半平面半平面- 二面角二面角 棱棱- 以AB为棱，a和R为半平面的二面角，通常记作 二面角a-AB-P.如
2、果C 和D分别是半平面a和0内的点，那么这个二面角 也可记作C-AB-D. 1.二面角 问题：如何刻画二面角的大小？ A O B A B O A O B 直二面角直二面角 在二面角-l-的棱上任取一点O,以O为垂足, 分别在半平面和内作垂 直于棱的射线OA和0B,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面 角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 1.二面角 教材 P117 例1 一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所 形成的4个二面角中，不大于90的角的大小.因此，如图中， 平面ABCD 与平面ABC
3、D所成角的大小为 ,平面ADDA与平 面ABCD所成角的大小为 . 45 90 1.二面角 AB C D F E G H 1.二面角 2.平面与平面垂直 如果两个平面与所成角的大小为90,则称这两个平面互相垂直， 记作丄.作图时，两个平面互相垂直可画成图下图所示的样子. 如图所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面 与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平 面垂直的线，然后紧贴线来砌墙. (1) 你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直 吗？ (2) 从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？ 试分别用自然语言与符号语言描述. 作平面互相垂直图要点：先画 交线，表示平面的两个平行四 边形的
4、一组边垂直，被遮挡的 部分画出虚线或不画. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另 一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直 如果如果 ，则，则 ,la l 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么 在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2.平面与平面垂直 符号表示为：如果 ， ， ， ， 则 mAOmAO AO 证明： ,过O在平面 内作与m垂直的直线OB 为二面角A-m-B的平面角， 因为 ,所以 ，因此 ， 又因为 ， , 所以 =AOO AOB o =90AOBAOOB mAOmOBOm，OB AO A 2.平面与平面垂直 例：如图
5、所示，已知 ，在 的交线上取线段 ,且 AC,BD分别在 内，它们都垂直于交线AB，并且 （1）求CD长；（2）求证：平面CBD 平面ABC ， 3AB ，1.2ACBD 解：（1）连接BC，因为 ， ， ,所以 ；又因为 ，所以 因此三角形CBD是直角三角形; 在 中， ; 在 中， ; AB BD BDABBDBCBDBC t BACR 22 2BCACAB tRCBD 22 2 2CDBCBD （2）由（1）知 ， ，所以 平面 , 又因为 平面BCD，所以平面CBD 平面ABC BDBCBDABBDABC BD 如图(1)所示,已知 RtABC中，AB=AC=a, AD 是斜边BC上的
6、高.如图 (2)所示，以AD为折痕将ABC折起,使BDC为直角.在图11-4-22(2) 中，求证: (1) 面ABD 丄 面 BDC,面 ACD丄面 BDC； (2) BDC=60. (1)由已知有AD丄BD, AD丄DC,因此在图(2)中，有AD丄面BDC. 又因为AD 面ABD，所以面ABD丄面BDC. 同理，面ACD丄面BDC. (2)因为AB=AC=a,所以在图11-4-22(1)中，有 .从而 BD = DC= . 因此图11-4-22(2)中BDC是等腰直角三角形，所以 .从而AB=AC=BC,所以BAC=60. a2BC a 2 2 aa 2 2 2BD2BC 面面垂直的判定与
7、证明问题 如图，AB是 O的直径，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，PA平面ABC. （1）求证：平面PBC平面PAC. （2）若AEPC，E为垂足，F为PB上任意一点.求证：平面AEF平面PBC. 如图所示，已知ABCD是平行四边形，且PAPC，PDPB. 求证：平面PAC平面ABCD. 解决折叠问题的方法 （1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量， 一般情况下，折线同侧的量不变，抓住不变量是解决问题的突破口. （2）综合折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的 图形. 【方法技巧】 不论是翻折还是展开，均要注意注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相
8、各个对应元素的相 应变化应变化，元素间的大小与位置关系，哪些不变，哪些变化. 垂直关系中的探索性问题 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱 形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. （1）求证：ADPB. （2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面 ABCD？证明你的结论. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形， 侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（2）若E为BC的中点， 能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？证明你的结论. 总结： 垂直关系中的探索性问题一
9、般是探索某点在什么位置满足垂直关系， 解题时要充分借助图形特征，利用重要的判定定理与性质定理，先大 胆猜想，再仔细论证. 探索性问题的两种主要类型 一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件. 二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立； 若推出矛盾，则结论为“不存在”. 一.1.二面角定义 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称 为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角. 2.二面角的平面角 在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作 垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面 角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的 平面角大小. 二、平面与平面垂直 A 谢谢观看
