1、11.1.6 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积祖暅原理与几何体的体积 第十一章第十一章 立体几何初步立体几何初步 一个几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积， 长方体的体积，圆柱的体积都等于底面积乘以高.那么能 否求出其他几何体的体积呢？ 尝试与发现 同一摞书，当改变摆放书的形状时（如图所示），这摞书的 总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？ 祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异. 水平截面面积高 这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被 平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总 相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图所示. 问题：问题
2、：柱体被平行于底面的平面所截，得到的图形共同特 征是什么呢？那么它的体积公式是什么呢？ 分析：分析：由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个柱体体积相 等.我们学过长方体的体积，等于底面积乘以高，所以如果 柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为： ShV 柱体 柱体的体积 棱柱与圆柱统称为柱体柱体. 问题：问题：由祖暅原理可知，等底面积等高的两个锥体体积有什 么关系？ 分析：分析： 当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与 底面相似，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面 的距离之比，从而由祖暅原理可知等底面积、等高的两个锥 体，体积相等. 锥体的体积 棱锥与圆锥统称为锥体. 直
3、三棱柱和三棱锥体积之间有什么关系？由此能得到三 棱锥的体积计算公式吗？ 尝试与发现 分析分析: :直三棱柱可以分成三个三棱锥，如果锥体的底面积为S, 高为h，则锥体的体积计算公式为 . 3 1 锥体 ShV A C A1 B B1 C1 A1 B B1 C1 A A1 B C1 A CB C1 A1 B B1 C1 A A1 B C1 A CB C1 思考：1.长方体和锥体的体积公式是什么呢？ 2.这个棱锥的体积如何求？谁是底，谁是高？ 3.为什么它是底，它是高？ 教材P83 例1 如图所示，在长方体ABCD-ABCD中，求棱锥D-ACD的体积 与长方体的体积比. 因此所求体积之比为1:6.
4、解：已知的长方体可以看成直四棱柱 ADDA-BCCB,设它的底面积ADDA 面积为S，高为h,则长方体的体积为 VADDA-BCCB = Sh 因为棱锥D-ACD可以看成棱锥C-ADD, 且ADD的面积为 ，棱锥C-ADD的高是h, 所以VD-ACD=VC-ADD= ShSh 6 1 2 1 3 1 , 2 1 S 补充练习： 1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 ，则圆锥的 体积是（ ） 216 2128.64. 3 128 . 3 64 .DCBA A 教材P87 练习B 3 九章算术中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放
5、米 （如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已 知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周 率为3，估算出堆放的米约有（ ） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 B B 问题问题：我们学过柱体和锥体的体积公式，那么台体的体积可以 通过我们已知的知识得到吗？ 台体的体积 棱台与圆台统称为台体. 小锥体大锥体台体 VVV 例2：已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求 这个棱台的体积。 问题问题：柱体、锥体、台体它们的体积公式之间有怎样的联系呢？ h 3 1 h 3 1 h 0 SVSSSSVSV SSS
6、 其中S表示台体下底面积，S表示台体上底面积。 空间几何体体积常用方法： （1）公式法 （2）等积法 （3）割补法 问题：问题：（1）你能想出什么办法测出一个兵乓球的体积？ （2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，右 边是半球，左边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分， 用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，所得截 面分别是什么形状？两个截面面积大小关系怎样？由此你能 得到球的体积公式吗？ 球的体积 3 3 4 RV 球 例例3 3.如图，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四 棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这 种零件一盒共50kg，取铁的密
7、度为7.8g/cm3， （1）估计有多少个这样的零件； （2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料， 则需要能涂多少平方厘米的材料（球与接口处的面积不计，结果 精确到1cm2）？ 14. 3 3 3 cm 6 2 2 1 3 4 211 2541 123 . 1 50000 例例3 3解:(1)每个零件的体积为 g123 . 18 . 7 6 2 因此每个零件的质量为 因此可估计出零件的个数为 2 2 cm10 2 1 4421211 (2)每个零件的表面积为 2 cm33389102541 因此零件的表面积之和约为 即需要能涂33389cm2的材料 教材P87 练习题B 5 已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这 个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的体积 课堂小结 课后作业： 教材87页A组第1、2、3、4题； 89页习题11-1A第1、2、3、4题 教材87页B组第6题 89页习题11-1A第16题 谢谢观看
