1、1/10 3.向心加速度向心加速度 学习目标学习目标：1.物理观念物理观念通过实例通过实例，理解向心加速度的概念理解向心加速度的概念。2.科学思维科学思维 知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系， 并会用来进行简单的计算。并会用来进行简单的计算。3.科学思维科学思维了解分析匀速圆周运动速度变化量时了解分析匀速圆周运动速度变化量时 用到的极限思想。用到的极限思想。4.科学态度与责任科学态度与责任能根据问题情景选择合适的向心加速度能根据问题情景选择合适的向心加速度 公式。公式。 阅读本节教材，回答第阅
2、读本节教材，回答第 31 页页“问题问题”并梳理必要知识点。并梳理必要知识点。 教材第教材第 31 页页“问题问题”提示：天宫二号做匀速圆周运动，所受合力指向轨道提示：天宫二号做匀速圆周运动，所受合力指向轨道 圆的圆心圆的圆心，由牛顿第二定律可知由牛顿第二定律可知，加速度的方向指向圆心加速度的方向指向圆心，加速度大小为合力大加速度大小为合力大 小与天宫二号质量的比值。小与天宫二号质量的比值。 匀速圆周运动的加速度方向和大小匀速圆周运动的加速度方向和大小 1向心加速度定义向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心圆心，我们把我们把 它叫作向心加速度
3、它叫作向心加速度。 2向心加速度方向向心加速度方向：总沿半径指向：总沿半径指向圆心圆心， ，并且与线速度方向并且与线速度方向垂直垂直。 3向心加速度的物理意义向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量：描述线速度方向改变快慢的物理量。 。 4向心加速度的大小向心加速度的大小： (1)基本公式基本公式 anv 2 r 2r。 (2)拓展公式拓展公式 an4 2 T2 rv。 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)匀速圆周运动是匀变速运动匀速圆周运动是匀变速运动。() (2)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心匀速圆周运动的向心加速度的方向指向
4、圆心，大小不变大小不变。() (3)根据根据 anv 2 r 知加速度知加速度 an与半径与半径 r 成反比成反比。() (4)根据根据 an2r 知加速度知加速度 an与半径与半径 r 成正比成正比。() 2/10 2下列关于向心加速度的说法中正确的是下列关于向心加速度的说法中正确的是() A向心加速度的方向始终指向圆心向心加速度的方向始终指向圆心 B向心加速度的方向保持不变向心加速度的方向保持不变 C在匀速圆周运动中在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的向心加速度是恒定的 D在匀速圆周运动中在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化向心加速度的大小不断变化 A向心加速度的方向时刻指向圆心，向
5、心加速度的方向时刻指向圆心，A 正确；向心加速度的大小不变，正确；向心加速度的大小不变， 方向时刻指向圆心，不断变化，故方向时刻指向圆心，不断变化，故 B、C、D 错误。错误。 3关于物体随地球自转的加速度大小关于物体随地球自转的加速度大小，下列说法中正确的是下列说法中正确的是() A在赤道上最大在赤道上最大B在两极上最大在两极上最大 C地球上处处相同地球上处处相同D随纬度的增加而增大随纬度的增加而增大 A物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由物体随地球自转角速度相同，但自转的圆心在地轴上，自转的半径由 赤道向两极逐渐减小，赤道处最大，由公式赤道向两极逐渐减小，赤道处最大
6、，由公式 a2r 知：自转的加速度由赤道向知：自转的加速度由赤道向 两极逐渐减小，因此，选项两极逐渐减小，因此，选项 A 正确，正确，B、C、D 错误。错误。 匀速圆周运动的匀速圆周运动的向心向心 加速度方向加速度方向 甲甲乙乙 问题问题 1：图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加是否具有加 速度？速度？ 问题问题 2： 做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？ 问题问题 3：除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向
7、外，你还有什么方法可你还有什么方法可 确定向心加速度的方向？确定向心加速度的方向？ 提示：提示：(1)具有加速度。具有加速度。 (2)从动力学角度从动力学角度，由牛顿第二定律确定由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致加速度的方向与合外力方向一致。 3/10 (3)从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度 方向。方向。 对向心加速度的理解对向心加速度的理解 方向方向 向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心与该点的线速度方向垂直。 向心加速度的方向时
8、刻在改变向心加速度的方向时刻在改变。 作用作用只改变速度的方向只改变速度的方向，不改变速度的大小不改变速度的大小。 意义意义 向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的线速度方向变化的 快慢体现了向心加速度的大小快慢体现了向心加速度的大小。 特别提醒特别提醒向心加速度方向的推导向心加速度方向的推导 如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在如图甲所示，一物体沿着圆周运动，在 A、B 两点的速度分别为两点的速度分别为 vA、vB， 可以分四步确定物体运动的加速度方向。可以分四步确定物体运动的加速度方向。 甲甲乙乙丙丙丁丁 第一步第一步，根据曲线
9、运动的速度方向沿着切线方向根据曲线运动的速度方向沿着切线方向，画出物体经过画出物体经过 A、B 两点两点 时的速度方向，分别用时的速度方向，分别用 vA、vB表示，如图甲所示。表示，如图甲所示。 第二步，平移第二步，平移 vA至至 B 点，如图乙所示。点，如图乙所示。 第三步，根据矢量运算法则，作出物体由第三步，根据矢量运算法则，作出物体由 A 点到点到 B 点的速度变化量点的速度变化量v，其，其 方向由方向由 vA的箭头位置指向的箭头位置指向 vB的箭头位置的箭头位置，如图丙所示如图丙所示。由于物体做匀速圆周运由于物体做匀速圆周运 动，动，vA、vB的大小相等，所以的大小相等，所以v 与与
10、vA、vB构成等腰三角形。构成等腰三角形。 第四步，假设由第四步，假设由 A 点到点到 B 点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定点的时间极短，在匀速圆周运动的速度大小一定 的情况下，的情况下，A 点到点到 B 点的距离将非常小，作出此时的点的距离将非常小，作出此时的v，如图丁所示。，如图丁所示。 仔细观察图丁，可以发现，此时，仔细观察图丁，可以发现，此时，v 与与 vA、vB都几乎垂直，因此都几乎垂直，因此v 的方的方 向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度向几乎沿着圆周的半径，指向圆心。由于加速度 a 与与v 的方向是一致的，所以的方向是一致的，所以 从运动学角度分析也可以发现：物
11、体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。从运动学角度分析也可以发现：物体做匀速圆周运动时的加速度指向圆心。 【例【例 1】下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是() A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 4/10 B向心加速度表示角速度变化的快慢向心加速度表示角速度变化的快慢 C向心加速度描述线速度方向变化的快慢向心加速度描述线速度方向变化的快慢 D匀速圆周运动的向心加速度不变匀速圆周运动的向心加速度不变 C匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然匀速圆周运动中速率不变，向心
12、加速度只改变速度的方向，显然 A 项项 错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以 B 项错误；匀速圆周运动中速度项错误；匀速圆周运动中速度 的变化只表现为速度方向的变化的变化只表现为速度方向的变化， 加速度作为反映速度变化快慢的物理量加速度作为反映速度变化快慢的物理量， 向心向心 加速度只描述速度方向变化的快慢，所以加速度只描述速度方向变化的快慢，所以 C 项正确；向心加速度的方向是变化项正确；向心加速度的方向是变化 的，所以的，所以 D 项错误。项错误。 跟进训练跟进训练 1(向心加速度的物理意义向心加速度的物理意义)关于向心加速度的物理意义关于向心加
13、速度的物理意义， ，下列说法中正确下列说法中正确 的是的是() A描述速率变化的快慢描述速率变化的快慢 B描述角速度变化的快慢描述角速度变化的快慢 C描述线速度的大小变化的快慢描述线速度的大小变化的快慢 D描述线速度的方向变化的快慢描述线速度的方向变化的快慢 D向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故 D 正确。正确。 2(对向心加速度的理解对向心加速度的理解)如图所示如图所示，质量为质量为 m 的木块从半径为 的木块从半径为 R 的半球形的半球形 碗口下滑到碗的最低点的过程中碗口下滑到碗的最低点的过程中， 如果由于摩擦力的作用使木块的速率不
14、变如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变， 那那 么么() A加速度为零加速度为零 B加速度恒定加速度恒定 C加速度大小不变加速度大小不变，方向时刻改变方向时刻改变，但不一定指向圆心但不一定指向圆心 D加速度大小不变加速度大小不变，方向时刻指向圆心方向时刻指向圆心 D由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻 指向圆心，指向圆心，D 正确，正确，A、B、C 错误。错误。 匀速圆周运动的匀速圆周运动的向心向心加速度大加速度大 小小 5/10 (教师用书独具教师用书独具)教材第教材第 32 页页“思考与讨论思考与讨论”答案
15、提示答案提示：B、C 两点的向心两点的向心 加速度与半径成正比加速度与半径成正比，因为因为 B、C 两点同轴转动两点同轴转动，角速度角速度相同相同，由由 an2r 知知， an与与 r 成正比；成正比；A、B 两点的向心加速度与半径成反比两点的向心加速度与半径成反比，因为因为 A、B 两点线速两点线速度度 v 大小一样大小一样，由由 anv 2 r 知知，an与与 r 成反比成反比。 如图所示，两个啮合的齿轮，其中如图所示，两个啮合的齿轮，其中 A 点为小齿轮边缘上的点，点为小齿轮边缘上的点，B 点为大齿点为大齿 轮边缘上的点，轮边缘上的点，C 点为大齿轮中间的点。点为大齿轮中间的点。 讨论：
16、讨论：A 和和 B、B 和和 C 两个点的向心加速度与半径有什么关系？两个点的向心加速度与半径有什么关系？ 提示提示： (1)A、 B 两个点的线速度相同两个点的线速度相同， 由由 anv 2 r 知向心加速度与半径成反比知向心加速度与半径成反比。 (2)B、C 两个点的角速度相同，由两个点的角速度相同，由 an2r 知向心加速度与半径成正比。知向心加速度与半径成正比。 1向心加速度的大小向心加速度的大小 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 Fma 和向心力表达式和向心力表达式 Fnmv 2 r ，可得向心加速度的大可得向心加速度的大 小小 anv 2 r 或或 an2r。 特别提示特别提示1.
17、表达式表达式 anv 2 r 、 an2r 中各物理量是同一时刻的量中各物理量是同一时刻的量，即它们即它们 是瞬时对应关系。是瞬时对应关系。 2表达式表达式 anv 2 r 、an2r 不仅适用于匀速圆周运动不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运也适用于变速圆周运 动。动。 2对向心加速度表达式的理解对向心加速度表达式的理解 (1)向心加速度的几种表达式向心加速度的几种表达式 6/10 (2)向心加速度的大小与半径的关系向心加速度的大小与半径的关系 当半径一定时当半径一定时， 向心加速度的大小与角速度的平方成正比向心加速度的大小与角速度的平方成正比， 也与线速度的也与线速度的 平方成正比平
18、方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大随频率的增大或周期的减小而增大。 当角速度一定时当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比向心加速度与运动半径成正比。 当线速度一定时当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比向心加速度与运动半径成反比。 an与与 r 的关系图像的关系图像：如图所示如图所示，由由 anr 图像可以看出图像可以看出，an与与 r 成正比还是成正比还是 反比反比，要看要看恒定还是恒定还是 v 恒定恒定。 【例【例 2】如图所示如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无皮带和两轮之间无 相对滑动相对滑动，大轮的半径是小轮半径的大轮的半
19、径是小轮半径的 2 倍倍，大轮上的一点大轮上的一点 S 离转动轴的距离是离转动轴的距离是 大轮半径的大轮半径的1 3。 。当大轮边缘上的当大轮边缘上的 P 点的向心加速度是点的向心加速度是 12 m/s2时时，大轮上的大轮上的 S 点点 和小轮边缘上的和小轮边缘上的 Q 点的向心加速度各为多少？点的向心加速度各为多少？ 思路点拨思路点拨P 和和 S 在同一轮上，角速度相同，选用在同一轮上，角速度相同，选用 an2r 计算向心加计算向心加 速度。速度。 P 和和 Q 为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度相等，选用 anv 2 r 计算计算 向心加速度
20、。向心加速度。 解析解析同一轮子上的同一轮子上的 S 点和点和 P 点的角速度相同，点的角速度相同， 即即SP 由向心加速度公式由向心加速度公式 an2r，得，得aS aP rS rP 故故 aSrS rPa P1 3 12 m/s24 m/s2 又因为皮带不打滑又因为皮带不打滑， 所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等， 即即 vPvQ 由向心加速度公式由向心加速度公式 anv 2 r 得得aP aQ rQ rP 7/10 故故 aQrP rQa P212 m/s224 m/s2。 答案答案4 m/s224 m/s2 向心加速度公式的应用技巧
21、向心加速度公式的应用技巧 跟进训练跟进训练 3(传动装置中的向心加速度传动装置中的向心加速度)如图所示为两级皮带传动装置如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带转动时皮带 均不打滑均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的中间两个轮子是固定在一起的，轮轮 1 的半径和轮的半径和轮 2 的半径相同的半径相同，轮轮 3 的半径和轮的半径和轮 4 的半径相同的半径相同， 且为轮且为轮 1 和轮和轮 2 半径的一半半径的一半， 则轮则轮 1 边缘的边缘的 a 点与点与轮轮 4 边缘的边缘的 c 点相比点相比() A线速度之比为线速度之比为 14 B角速度之比为角速度之比为 41 C向心加速度之比为向心加速度之
22、比为 81 D向心加速度之比为向心加速度之比为 18 D由题意知由题意知 2va2v3v2vc，其中，其中 v2、v3为轮为轮 2 和轮和轮 3 边缘的线速度边缘的线速度， 所以所以 vavc12，A 错误；设轮错误；设轮 4 的半径为的半径为 r，则，则 aav 2 a ra vc 2 2 2r v 2 c 8r 1 8a c， 即即 aaac18，C 错误，错误，D 正确；正确；a c va ra vc rc 1 4， ，B 错误。错误。 4(向心加速度的计算向心加速度的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动滑板运动是深受青少年喜爱的运动， ，如图所示如图所示，某某 滑板运动员恰好从滑板运动
23、员恰好从 B 点进入半径为点进入半径为 2.0 m 的的1 4圆弧轨道 圆弧轨道，该圆弧轨道在该圆弧轨道在 C 点与水点与水 8/10 平光滑轨道相接平光滑轨道相接，运动员滑到运动员滑到 C 点时的速度大小为点时的速度大小为 10 m/s。求他到达求他到达 C 点前点前、 后瞬间的加速度后瞬间的加速度(不计各种阻力不计各种阻力)。 解析解析运动员到运动员到达达 C 点前的瞬间做圆周运动点前的瞬间做圆周运动， 加速度大加速度大小小 av 2 r 10 2 2 m/s2 50 m/s2，方向在该位置指向圆心即竖直向上。运动员到达，方向在该位置指向圆心即竖直向上。运动员到达 C 点后的瞬间做匀点后的
24、瞬间做匀 速直线运动，加速度为速直线运动，加速度为 0。 答案答案50 m/s2，方向竖直向上方向竖直向上0 1关于圆周运动的概念关于圆周运动的概念，以下说法中正确的是以下说法中正确的是() A匀速圆周运动是速度恒定的运动匀速圆周运动是速度恒定的运动 B做匀速圆周运动的物体做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大向心加速度越大，物体的速度增加得越快物体的速度增加得越快 C做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心做圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心 D物体做半径一定的匀速圆周运动时物体做半径一定的匀速圆周运动时，其线速度与角速度成正比其线速度与角速度成正比 D匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时
25、刻改变，故匀速圆周运动的速度方向是轨迹切线方向，时刻改变，故 A 错误；做错误；做 匀速圆周运动的物体匀速圆周运动的物体，速度大小不变速度大小不变，方向改变方向改变，向心加速度越大向心加速度越大，速度方向改速度方向改 变的越快，故变的越快，故 B 错误；只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运错误；只有匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，变速圆周运 动的加速度不指向圆心动的加速度不指向圆心，故故 C 错误错误；物体做半径一定的匀速圆周运动时物体做半径一定的匀速圆周运动时，根据根据 v r，其线速度与角速度成正比，故，其线速度与角速度成正比，故 D 正确。正确。 2如图所示如图所示，一球体
26、绕轴一球体绕轴 O1O2以角速度以角速度旋转旋转，A、B 为球体上两点为球体上两点。下下 列说法中正确的是列说法中正确的是() 9/10 AA、B 两点具有相同的角速度两点具有相同的角速度 BA、B 两点具有相同的线速度两点具有相同的线速度 CA、B 两点具有相同的向心加速度两点具有相同的向心加速度 DA、B 两点的向心加速度方向都指向球心两点的向心加速度方向都指向球心 AA、B 都随球体一起绕轴都随球体一起绕轴 O1O2旋转，转一周所用时间相等，故角速度旋转，转一周所用时间相等，故角速度 相等相等， 有有AB， A 正确正确； A 做圆周运动的轨道平面与轴垂直做圆周运动的轨道平面与轴垂直，
27、交点为圆心交点为圆心， 设球半径为设球半径为 R，故，故 A 的轨道半径的轨道半径 rARsin 60，B 的轨道半径的轨道半径 rBRsin 30，所，所 以两者的线速度以两者的线速度 vArA 3 2 R，vBrB1 2R，显然， ，显然，vAvB，B 错误；两错误；两 者的向心加速度者的向心加速度 aArA2 3 2 R2，aBrB21 2R 2， ，显然显然，两者的向心加速度两者的向心加速度 也不相等也不相等，C 错误错误；又两者的向心加速度指向各自的圆心又两者的向心加速度指向各自的圆心，并不指向球心并不指向球心，所所以以 D 错误。错误。 3A、B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动两艘
28、快艇在湖面上做匀速圆周运动， ，在相同时间内在相同时间内，它们通过的它们通过的 路程之比是路程之比是 43，运动方向改变的角度之比是运动方向改变的角度之比是 32，则它们则它们() A线速度大小之比为线速度大小之比为 43 B角速度大小之比为角速度大小之比为 34 C圆周运动的半径之比为圆周运动的半径之比为 21 D向心加速度大小之比为向心加速度大小之比为 12 A因为相同时间内他们通过的路程之比是因为相同时间内他们通过的路程之比是 43，根据，根据 vs t，则它们的线 ，则它们的线 速度之比为速度之比为 43，故，故 A 正确；运动方向改变的角度之比为正确；运动方向改变的角度之比为 32，
29、根据，根据 t ， 则角速度之比为则角速度之比为 32，故，故 B 错误；根据错误；根据 vr 可得圆周运动的半径之比为可得圆周运动的半径之比为r1 r2 4 3 2 3 8 9， ，故故 C 错误错误；根据根据 av得得，向心加速度之比为向心加速度之比为a1 a2 v11 v22 4 3 3 2 2 1， ，故故 10/10 D 错误，故错误，故 A 正确。正确。 4(多选多选)如图所示如图所示，皮带传动装置中皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动 右边两轮连在一起共轴转动，图中图中 三轮半径分别为三轮半径分别为 r13r，r22r，r34r；A、B、C 三点为三个轮边缘上的点三点为三个轮
30、边缘上的点， 皮带不打滑皮带不打滑。向心加速度分别为向心加速度分别为 a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是则下列比例关系正确的是() Aa1 a2 3 2 Ba1 a2 2 3 Ca2 a3 2 1 Da2 a3 1 2 BD由于皮带不打滑由于皮带不打滑，v1v2，av 2 r ，故故a1 a2 r2 r1 2 3， ，A 错误错误，B 正确正确；由由 于右边两轮共轴转动，于右边两轮共轴转动，23，ar2， a2 a3 r2 r3 1 2， ，C 错误，错误，D 正确。正确。 5情境情境：科幻电影科幻电影星际穿越星际穿越中描述了空间站中模拟地球上重力的装置中描述了空间站中模拟地球上重力的装
31、置。 这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置， 外侧壁相当于外侧壁相当于“地板地板”。 让环形让环形 实验装置绕实验装置绕 O 点旋转点旋转，能使能使“地板地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同上可视为质点的物体与在地球表面处有同 样的样的“重力重力”。 问题问题： (1)则旋转角速度应为则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为地球表面重力加速度为 g， 装置的外半径为装置的外半径为 R)? (2)不同质量的人受力相同吗？感受相同吗？不同质量的人受力相同吗？感受相同吗？ 解析解析(1)为使为使“地板地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的 “重力重力”，则物体的向心加速度应等于，则物体的向心加速度应等于 g，根据，根据 g2R 可得可得 g R。 。 (2)不同质量的人受力不相同，感受相同。不同质量的人受力不相同，感受相同。 答案答案见解析见解析
