1、 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用； 2.会用万有引力定律计算天体质量； 3.理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路 和方法。 学习目标 1.物体做圆周运动的向心力公式是什么？分别写物体做圆周运动的向心力公式是什么？分别写 出向心力与线速度、角速度以及周期的关系式。出向心力与线速度、角速度以及周期的关系式。 2 r Mm GF 2 mv F r 2 Fmr 2 2 ()Fmr T 2.万有引力定律的内容是什么？如何万有引力定律的内容是什么？如何 用公式表示？用公式表示？ 重力重力是万有引力的一个分力，是万有引力的一个分力， 当忽略了地球的自转时当忽略了地球的自转时,可可 认为认为重力
2、重力在数值上就在数值上就等于等于万万 有引力大小有引力大小。 3.重力和万有引力的关系？重力和万有引力的关系？ F n R M G m w r F 引引 物体物体m在纬度为在纬度为的位置，的位置， 万有引力万有引力指向地心，分解为指向地心，分解为 两个分力：两个分力：m随地球自转围随地球自转围 绕地轴运动的绕地轴运动的向心力向心力和和重力重力。 2 R mM Gmg “给我一个支给我一个支 点，我可以点，我可以 撬动球。撬动球。” 新课导新课导 入入 那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢那我们又是怎么知道巨大的地球的质量呢? 1.思路：思路：地球的质量不可能用天平称地球的质量不可能用天平称 量
3、量. 万有引力定律是否能给予我们帮助万有引力定律是否能给予我们帮助 呢呢? 重力重力是万有引力的一个分力，当是万有引力的一个分力，当 忽略了地球的自转时忽略了地球的自转时,可认为可认为重力重力 在数值上就在数值上就等于等于万有引力大小万有引力大小。 2 mM mgG R 1.分析：分析：若不考虑地球自转的影响，若不考虑地球自转的影响， 地面上物体的重力等于地球对它的地面上物体的重力等于地球对它的 引力。引力。 2 mM mgG R M 2 gR G 其中其中g、R在卡文迪许之前已经知道，而卡文在卡文迪许之前已经知道，而卡文 迪许测出迪许测出G后，就意味着我们也测出了地球的质后，就意味着我们也测
4、出了地球的质 量。卡文迪许把他自己的实验说成是量。卡文迪许把他自己的实验说成是“称量地球称量地球 的重量的重量”是不无道理的。是不无道理的。 著名文学家马克著名文学家马克吐温满怀吐温满怀 激情地说：激情地说： “科学真是迷人。科学真是迷人。 根据零星的事实，增根据零星的事实，增 添一点猜想，竟能赢添一点猜想，竟能赢 得那么多收获！得那么多收获！” 称量地球的质量称量地球的质量 思考：思考：应用万有引力可算出地球的质量，应用万有引力可算出地球的质量， 能否算出太阳的质量呢能否算出太阳的质量呢? 1、地球公转实际轨道是什么形状？为了解、地球公转实际轨道是什么形状？为了解 决问题的方便，我们通常可以
5、认为地球在绕决问题的方便，我们通常可以认为地球在绕 怎样的轨道做什么运动？怎样的轨道做什么运动？ 近似近似 天体质量的计算天体质量的计算 2、地球作圆周运动的向心力是由什么力、地球作圆周运动的向心力是由什么力 提供的？提供的？ r M m F 天体质量的天体质量的 计算计算 r M m F n FF 引 2 r Mm GF 引 rmF n 2 rm R Mm G 2 2 G r M 32 地球公转角速度地球公转角速度 不能直接测不能直接测 出出,但我们知道但我们知道 地球公转的周期地球公转的周期 T 2 3 2 4 r GT （M与与m无关）无关） 天体质量的天体质量的 计算计算 中心天 体M
6、 环绕天 体m 求解思求解思 路：路： 环行天体的向心力由中心天体对其万有引力环行天体的向心力由中心天体对其万有引力独家独家提供提供 具体方具体方 法：法： r T m r mM G 2 2 ) 2 ( 2 32 4 GT r M 注意：注意：待求天体（待求天体（M）的质量与环行天体（）的质量与环行天体（m） 的质量无关的质量无关 拓展：利用月球求地球质量拓展：利用月球求地球质量 天体质量的天体质量的 计算计算 月球绕地球运行的周期月球绕地球运行的周期 T=27.3天，天， 月球与地球的平均距离月球与地球的平均距离 r=3.84108m r T m r Mm G 2 2 ) 2 ( 2 32
7、4 GT r M M地=5.981024kg 天体天体密度密度的的计算计算 黄金替黄金替 换换 质量为质量为m m的物体在地球的物体在地球( (星体星体) )表面受到的表面受到的 万有引力等于其重力，即万有引力等于其重力，即G Gmgmg。可以得。可以得 到：到：GMGMgRgR2 2 由于由于G G和和M M( (地球质量地球质量) )这两个参数往往不这两个参数往往不 易记住，而易记住，而g g和和R R容易记住。所以粗略计容易记住。所以粗略计 算时，一般都采用上述代换，这就避开算时，一般都采用上述代换，这就避开 了万有引力常量了万有引力常量G G值和地球的质量值和地球的质量M M值值 线速
8、度线速度v v： v 角速度角速度 ： 周期周期T T： 向心加速度向心加速度a an n： 发现未知天体发现未知天体-海王海王 星星 在在1781年发现的第七个行星年发现的第七个行星天王星的运天王星的运 动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的动轨道，总是同根据万有引力定律计算出来的 有一定偏离有一定偏离.当时有人预测，肯定在其轨道外还当时有人预测，肯定在其轨道外还 有一颗未发现的新星有一颗未发现的新星,这就是后来发现的第八大这就是后来发现的第八大 行星行星海王星海王星. 海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生海王星的实际轨道由英国剑桥大学的学生 亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天亚当斯
9、和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天 王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律王星的观测资料各自独立地利用万有引力定律 计算出来的计算出来的. 发现了太阳系的后来曾被称为第九 大行星的冥王星 常考题型 题组一计算天体质量和密度 题12019广东佛山一中高一检测（1）开普勒第三定律指出：行 星绕太阳运动椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方 成正比，即 =k，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太 阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式 （已知引力常量为G，太阳的质量为M太）； （2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力 系统（如地月系统）都成
10、立。经测定月地距离为3.84108m，月球绕 地球运动的周期为2.36106 s，地球半径取 6 400 km，试估算地球的质量M和密度。（G=6.6710-11 Nm2/kg2，计算结果均保留一位有效数字） 3 2 a T 【解】（1）根据牛顿第二定律： =ma ， 又根据开普勒第三定律：k= ， 由上两式得：k= （2）对地月系统 ： = ， 得：M地= 61024 kg。 地球的密度= = 5103 kg/m3。 【点评】开普勒第三定律 中的k是 一个与中心天体质量有关的常量。 2 M m G a 太 2 2 4 T 3 2 a T 2 4 GM 太 2 M m G r 月地 2 2 4
11、 mr T 月 2 3 2 4 r GT M V 地 3 4 3 M R 地 3 2 a k T 计算天体质量的两个基本思路计算天体质量的两个基本思路 思路一（环绕法）：将行星绕恒 星的运动、卫星绕行星的运动均 视为匀速圆周运动，所需向心力 是由万有引力提供的。有如下关 系： G = m =mr 。 思路二（重力加速度法）：中心 天体表面上物体的重力与所受万 有引力相等，mg= 。 天体密度的计算方法天体密度的计算方法 （1）利用中心天体表面的重力加 速度求密度 其中g为天体表面重力加速度，R 为天体半径。 （2）利用中心天体的卫星求密度 其中R为待求天体半径，r为卫星 的轨道半径。 2 M
12、m r 2 2 v mr r 2 2 4 T 2 M m G R 2 3 3 44 3 GM m mg g R GR MR 2 3 22 23 3 4 3 4 3 M m Gmr r rT GT R MR 题2 某星球的半径为R，表面的重力加速度为g， 引力常量为G，则该星球的平均密度为（） A. B. C. D. 【解析】根据重力近似等于星球的万有引力 ，有 解得M= 。把该星球看做均匀球体，则星球 体积为V= ， 则其密度为 。 【答案】B 2 3 4 g RG 3 4 g RG g RG 2 g RG 2 M m Gmg R 2 gR G 3 4 3 R M V 3 4 g GR “黄金
13、代换法黄金代换法”的应的应 用技巧用技巧 在不考虑地球自转的 影响时，在地球附近 有mg= ，化简得 gR2=GM。此式通常 叫做黄金代换式，适 用于任何天体，主要 用于天体的质量M未 知的情况下，用该天 体的半径R和表面的 “重力加速度”g代换 M。 2 M m G R 题3 2019广东仲元中学高一检测人造卫星绕 地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，轨道半径 为r，已知引力常量为G，根据万有引力定律，可 算出地球的质量为（） A. B. C. D. 2 vr G 2 2 vr G 2 vr G vr G A 【特别提醒特别提醒】 求中心天体的质 量时，需要知道 的半径是以该天 体为圆心做圆
14、周 运动的轨道半径， 不是中心天体的 半径，也不是做 圆周运动的天体 的半径。 题4 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面 处的重力加速度是地面上的重力加速度的2倍，则该 星球的质量将是地球质量的（） A. B. 8倍 C. 16倍 D. 64倍 1 4 B 题5 2019石家庄一中高一检测“嫦娥四号”探测器已于 2019年1月3日在月球背面安全着陆，开展月表形貌与地质构 造调查等科学探测。已知月球半径为R0，月球表面处重力加 速度为g0，地球和月球的半径之比为 ，表面重力加速度 之比为 ，则地球和月球的密度之比 为（） A. B. C. 4 D. 6 0 4 R R 0 6 g g 2
15、3 3 2 B 题6 2019辽宁大连高三一模如图 所示，“嫦娥三号”的环 月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的 运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为 弧度，已知引力常量为G，则月球的质量是（） A. B. C. D. 3 3 l G t 3 2 Gl t 3 2 l G t 2 3 t G l C 题7 2019安徽宿州高一期末地球表面的重力 加速度为g，则离地面高度等于地球半径的地方， 重力加速度为（） A.0.25g B.0.5g C.2gD.4g 【解析】地面上方高h处： mg=G ，地面 上mg=G ，联立解得g=0.25g。 【答案】A 题
16、组二天体表面及离天体某高度处的重力加速度 2 M m R h 2 M m R 题8 2015重庆卷航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进 行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现 象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径 为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（ ） A.0B. C. D. 2 () GM R h 2 () GM m R h 2 GM h B 题9 假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地 之比为M火M地=p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火R地 =q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加 速度g地之比g火g地等于
17、（） A. pq2 B. C.pq D. p q 2 p q D 题10 已知地题球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的 4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物 体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月s地约为（ ） A.94 B.61 C.32D.11 【解析】对于处在星球表面的物体，其所受的重力近似等于万有引力， 由公式 =mg，代入数据可解得 = ；又由平抛运动的规律 可知s=vt，t= ，整理得s= ，则 s月s地=94。 【答案】A 题组三万有引力定律与抛体运动知识的综合应用 2 M m G R g g 月 地 16 81 2h g 2h
18、 v g 题11 某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若 从地球上高h处平抛一物体，射程为60 m，则在该星球上，从 同样高度、以同样的初速度平抛同一物体，射程应为（） A. 10 m B.15 m C.90 mD.360 m A 内容小结 1.万有引力定律在天文学中的应用，一万有引力定律在天文学中的应用，一 般有两条思路：般有两条思路： (1) 地面（或某星球表面）的物体的地面（或某星球表面）的物体的重力重力近近 似等于似等于万有引力万有引力 2 R mM Gmg (2) 环绕天体所需的环绕天体所需的向心力向心力由中心天体对环由中心天体对环 绕天体的绕天体的万有引力万有引力提供提供 n FF 引 r T mrm r Mm G 22 2 ) 2 ( 2.了解了万有引力定律在天文学中具有了解了万有引力定律在天文学中具有 的重要意义的重要意义.
