1、新人新人教教A A版版 高中数学必修第二册高中数学必修第二册 精品课件精品课件 8.6.3平面与平面垂直平面与平面垂直 学习目标 1.理解二面角、二面角的平面角的概念. 2.理解两个平面垂直的定义. 3.理解平面与平面垂直的判定定理. 4.能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题. 5.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明. 6.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 重点：直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质定理. 难点：面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明. (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形. (2)相关概念：这条直线叫做二面角的 ，两个半
2、平面叫做二面角 的 . (3)画法： 两个半平面 棱 面 一、二面角的概念一、二面角的概念知识梳理 (4)记法：二面角 或 或 或PABQ. (5)二面角的平面角：若有O l；OA ，OB ；OA l， OB l，则二面角l的平面角是 . lABPlQ AOB (1)平面与平面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ， 就说这两个平面互相垂直. 画法： 直二面角 记作： . 二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 (2)判定定理 文字语言一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言l， 垂线 l 文字语言 两个平面垂直，则 垂直于 的直线与另一 个平面_ 符号
3、语言，l， ， a 图形语言 一个平面内交线 垂直 aal 三、平面与平面垂直的性质定理三、平面与平面垂直的性质定理 例1 如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正 切值等于. 一求二面角 常考题型 求二面角的一般步骤 1.作：找出或作出二面角的平面角. 2.证：证明所找或所作的角就是二面角的平面角. 3.求：在三角形中解出角的大小. 作二面角的平面角的三种方法 1.定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图所示，AOB为二面角-a-的平面角. 2.垂线法：过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线，过
4、垂足作棱的垂线， 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，AFE为二面角A-BC-D 的平面角. 3.垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线， 这两条交线所成的角，即二面角的平面角.如图所示，AOB为二面角-l-的平面 角. 训练题 二平面与平面垂直的判定定理及应用二平面与平面垂直的判定定理及应用 例 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， BADCDA90， PA面ABCD，PAADDC1，AB2. 证明：平面PAC平面PBC. 证明面面垂直的方法步骤 1.利用定义：证明二面角的平面角为直角. 步骤：（1）找出两个相交平面的平面角
5、； （2）证明这个平面角是直角； （3）根据定义，说明这两个平面互相垂直. 2.利用判定定理：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中 找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决. 实质：证明面面垂直，实质上是转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直， 体现了化归与转化的数学思想. 3.性质法：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直 于第三个平面. 训练题 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1AB4，BC2， M，N分别 为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（） A.A，M，N，B四点共面 B.平面A
6、DM平面CDD1C1 C.直线BN与B1M所成的角为60 D.BN平面ADM BC解析：如图所示，对于A，由图知显然AM，BN是异面直线，故A，M， N，B四点不共面，故A错误； 对于B，由题意AD平面CDD1C1，故平面ADM平面CDD1C1，故B正确； 对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C 正确； 对于D，BN平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.故 选BC. 三面面垂直的性质定理及应用三面面垂直的性质定理及应用 【解题提示】根据面面垂直的性质可以得到线面垂直，这样根据已知可以求 出点P到底面的距离，根据球的几何性质，根据勾股定理，可
7、以求出四棱锥P- ABCD外接球的半径，进而求出体积. 训练题 四垂直关系的综合应用与探究四垂直关系的综合应用与探究 例 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底 面ABCD， PAAD，E和F分别是CD和PC的中点. 求证：（1）PA底面ABCD；（2）BE平面PAD； （3）平面BEF平面PCD. 【证明】（1） PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由 平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD. （2） ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BEAD. 又AD平面
8、PAD，BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD. 线面垂直关系间的互化 【提示】 （1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD. （2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BEAD，再利用直线和平面平行的判定定 理证得BE平面PAD. （3）先证明ABED为矩形，可得BE CD.现证CD平面PAD，可得CD PD，再由三角形中 位线的性质可得EFPD，从而证得 CDEF .结合利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF平面PCD. 训练题 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，点P是棱AC的中点. （1）求证：AB1平面PBC1. （2）求证：平面PBC1平面AA1C1C. 1.平面与平面垂直的判定定理的应用思路 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面 面垂直. (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化 为处理线线垂直问题来解决. 小结 2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内 在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下： 规律与方法 3.求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”.
