1、新人新人教教A A版版 高中数学必修第二册高中数学必修第二册 精品课件精品课件 8.6空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.1直线与直线垂直直线与直线垂直 8.6.2直线与平面垂直直线与平面垂直 学习目标 1.掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角.2.掌握直线与直线垂直的定义. 3.理解直线与平面垂直的定义.4.理解直线与平面垂直的判定定理. 5.理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明. 6.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题. 7.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 重点：异面直线所成的角的定义，直线与直线垂直的定义，直观感知、操作确认,、概括出
2、 直线与平面垂直的判定定理、性质定理. 难点：求异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明. 一、异面直线的概念一、异面直线的概念 (1)定义：不同在 平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一 个或两个平面来衬托. 任何一个 知识梳理 (3)判断两直线为异面直线的方法 定义法；两直线既不平行也不相交. (4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分： 平行 异面 相交 平行 从是否共面的角度来分： 相交 异面 定义 前提两条异面直线a，b 作法经过空间任一点O作直线aa，bb
3、结论 我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b 所成的角(或夹角) 范围记异面直线a与b所成的角为，则_ 特殊情况当_时，a与b互相垂直，记作_ 锐角(或直角) 090 90ab 二、异面直线所成的角二、异面直线所成的角 定义 如果直线l与平面内的 直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直 记法_ 有关概念 直线l叫做平面的 ，平面叫做直线l的 ，它们唯 一的公共点P叫做_ 任意一条 l 垂线垂面 垂足 三、直三、直线与平面垂直的定义线与平面垂直的定义 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直 文字语言 一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与 此平面
4、垂直 符号语言la，lb，a，b， Pl 图形语言 两条相交直线 ab 四、直四、直线与平面垂直的判定定理线与平面垂直的判定定理 有关概念对应图形 斜线与平面 ，但不和平面 ，图中_ 斜足斜线和平面的 ，图中_ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过_ _和 的直线叫做斜线在这个平面上的射 影，图中斜线PA在平面上的射影为_ 相交垂直直线PA 垂线 斜足 垂 足 直线AO 交点点A 五、直五、直线与平面所成的角线与平面所成的角 直线与平面 所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 图中_ 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条 直线和平面平行，或在平面内，它们
5、所成的角是_ 取值范围设直线与平面所成的角为，_ PAO 90 0 090 文字语言垂直于同一个平面的两条直线_ 符号语言 ab 图形语言 平行 a b 六、六、直直线与平面垂直的性质定理线与平面垂直的性质定理 一异面直线所成的角 常考题型 求异面直线所成的角的一般步骤 （1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角. （2）证：证明作出的角就是要求的角. （3）计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作、二证、三计算”来概括. 同时注意异面直线所成的角的取值范围是0 90. 求两条异面直线所成的角时常用的三种平移方法 1.直接平移法（可利用图中已有的平行线，如平行四边形）； 2.中位
6、线平移法； 3.补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）. 训练题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所 成的角的大小. 解：（方法一）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G， 则OGB1D，EF A1C1， GOA1为异面直线DB1与EF所成的角（或其补角）. GA1GC1，O为A1C1的中点， GOA1C1. 异面直线DB1与EF所成的角为90. 二二线面垂直的判定定理的应用线面垂直的判定定理的应用 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中
7、，ABACAA13，BC2，D是BC的中点， F是CC1上一点. （1）当CF2时，证明：B1F平面ADF；（2）若FDB1D，求三棱锥B1-ADF的体积. （1）【证明】因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B. 因为BCB1BB，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F. 在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2， 所以DCF FC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90， 例2 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，ADCD，ABCD，且PA
8、PC PD3，CDAD2AB4，O为AC的中点.求证：OPBC. 证明线线垂直的方法 （1）根据两直线垂直的定义证明两直线所成的角为90； （2）根据线面垂直的概念证明，即由a，bab； （3）根据平面几何性质（如菱形的对角线互相垂直，等腰三角形底边上的中线垂 直于底边等）证明； （4）根据线面垂直的性质证明，即由a，b ab. 训练题 （1）证明：因为E是AD的中点，PAPD，所以ADPE. 因为底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABBD. 又因为E是AD的中点，所以ADBE. 又PEBEE，PE BE，BE BE， 所以AD平面PBE. 2.如图所示，四边形ABCD为矩形，且AD2，AB
9、1，PA平面ABCD， PA1，E为BC的中点. （1）求证：DEPE；（2）求三棱锥C-PDE的体积； （3）探究在PA上是否存在点G，使得EG平面PCD，并说明理由. 例 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点， MN平面A1DC.求证：（1）MNAD1；（2）M是AB的中点. 三三线面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质定理的应用 【证明】（1） 四边形ADD1A1为正方形， AD1A1D. CD平面ADD1A1， CDAD1. A1DCDD， AD1平面A1DC. 又 MN平面A1DC， MNAD1. 【常用结论】 （1）垂直于同一条直线的两个平
10、面互相平行. （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （3）一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于该平面内的任意一条直 线（定义）. （4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它必垂直于另一 个平面. （5）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面. 训练题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EFA1D，EFAC， 求证：EFBD1. 四四求点到平面的距离求点到平面的距离 求点到平面的距离的常用方法 1.过已知点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离就是点到平面的距离，通过解 三角形求得距离； 2.利用三棱锥等体积转换：将要求的距离转
11、化为一个三棱锥的高，利用该三棱锥 的体积不变求得点到平面的距离. 训练题 如图，四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD， PDDC2，点E， F分别为AD， PC的中点. （1）证明： DFPB ； （2）求点F到平面PBE的距离. 五五求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 求直线与平面所成角的一般步骤 （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线； （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角 即为所求的角； （3）把该角放在某个三角形中，通过解三角形求出该角. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成的角的大小为 ；直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小. 训练题 1.直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论： 若ab，a，则b；若，a，则a. 规律与方法 小结 2.线线垂直的判定方法： (1)异面直线所成的角是90. (2)线面垂直，则线线垂直. 3.求线面角的常用方法： (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算). (2)转移法(找过点与面平行的线或面). (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
