1、新人新人教教A A版版 高中数学必修第二册高中数学必修第二册 精品课件精品课件 6.4.3余弦定理、正弦定理 第六章 平面向量及其应用 学习目标 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握余弦定理、正弦定理. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 重点：余弦定理、正弦定理及其应用. 难点：余弦定理、正弦定理的应用. 知识梳理 例1 一 利用余弦定理解三角形 1.已知两边及其夹角解三角形 常考题型 【解题提示】已知三角形的两边及其夹角，求另一角，可利用余弦定理 求出已知角的对边，已知三边求角，可用余弦定理的推论解决. 已知两边及其夹角解三角形的方法 1.先利用余弦定理求
2、出第三边. 2.角的求解有两种思路： （1）先利用余弦定理的推论求出另一角，再利用三角形内角和定理求出第三角； （2）利用正弦定理（已知两边和一边的对角），求出另一角，再利用三角形内角 和定理求出第三角. 解题归纳 训练题 D 1. 2. 7 例2 2.已知三边解三角形 已知三边解三角形的方法 1.先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角； 2.利用余弦定理的推论或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角； 3.利用三角形的内角和定理求出第三个角. 解题归纳 训练题 A A 例3 3.已知两边和其中一边的对角解三角形 已知两边和其中一边的对角求第三边的方法 1.可利用余弦定理列
3、关于第三边的方程.如已知a，b，A，由余弦定理有a2 b2+c2-2bccosA，进而得c2-（2bcosA）c+（b2-a2）0，则边长c的值即是 方程的正根.由此法可以判断三角形解的个数（即方程正根的个数）. 2.此类问题亦可运用正弦定理求解.但需要讨论解的个数. 解题归纳 2020福建三明高一期中在ABC中，已知a7，c3，A60，则b . 训练题 8 例4 二 利用正弦定理解三角形 1.已知两角及任意一边解三角形 解题归纳 训练题 1. 2. 5 14 3 6 例5 2.已知两边和其中一边的对角解三角形 解题归纳 训练题 C 例6 3.判断三角形解的个数 下列关于ABC的说法正确的是（
4、） A.若a7，b14，A30，则B有两解 B.若a30，b25，A150，则B只有一解 C.若a6，b9，A45，则B有两解 D.若b9，c10，B60，则C无解 解题归纳 训练题 1. 2. C )2 ,2( 三 利用正、余弦定理实现边角互化 1.边角互化求值 例7 【解题提示】已知等式是一个边角混合式，观察发现，利用正弦定理化 角为边后会出现边的关系式，想到可利用余弦定理的推论求解. 进行边角互化的方法 1.一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系. 2.选用正弦定理和余弦定理进行边角互化的注意点： （1）如果遇到的式子中含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理. （2）如果遇到的式子中
5、含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理. （3）若特征不明显，则考虑两个定理都有可能用. 3.应用正、余弦定理时，注意公式变形的应用.解决三角形问题时，注意角的范围. 解题归纳 训练题 2. 判断三角形的形状 例7 解题归纳 训练题 D 1. 训练题 2. 解题归纳 四 利用正、余弦定理解决实际问题 1.测量距离问题 例8 解题归纳 测量距离问题的基本模型及解法 1.距离问题的解题思路： 在航海、航空和日常生活中，少不了比较距离的远近或距离大小的测量等问题 ，这些问题的解决，首先是要利用特定工具测出所构造三角形的有关的边和角 ，再利用正、余弦定理解三角形求相应的距离来实现. 2.三个基本模型
6、及解法： 模型1：测量一条河两侧两点之间的距离. 设A（可达），B（不可达）是地面上两点，测量者在A点的附近选定一点C，测 出AC的距离为am，A，C.求A，B两点间的距离. 训练题 1. B 训练题 2.2019福建福州高一期中如图所示，A，B，C为山脚 两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为， ，.计划沿直线AC开通穿山隧道，请根据表格中的数 据，计算隧道DE的长度. cos ADEBBC 4560 训练题 3.2020浙江温州高一检测某人见一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在 北偏西30方向.此人沿北偏西70方向行走了3km后到达C，则见A在其北偏 东56方向上，B在其北偏东74
7、方向上，试求A，B这两个建筑物之间的距离. 2.测量高度问题 例92019四川雅安高一期末如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶 600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此 山的高度CDm. 解题归纳 测量高度问题的解法 1.在军事、航空、天文、地理测量以及日常生活中，经常需要测量一些底部不能到 达或者无法直接测量的物体的高度，这些物体的高度一般不能直接用解直角三角形 的方法去解决，常常用正弦定理或余弦定理计算出建筑物等物体的顶部或底部到一 个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题. 2.两
8、个基本模型及解法： 模型1：点B与C，D共线（求AB）. 测得CDa及C与ADB的度数.先用正弦定理求出AC与AD，再解直角三角形得 AB的值. 模型2：点B与C，D不共线（求AB）. 测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数.在BCD中由正弦定理求得BC，再解 直角三角形得AB的值. 训练题 2019江苏扬州高一期末如图所示，某数学学习小组要测量地面上一建筑物 CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点 ，其距离为100米，然后在A处测得DAB60，在B处测得DBA75， DBC30，则此建筑物CD的高度为米. 1. 训练题 2019天津高三模拟如图所示，在离地
9、面200m高的热气球上，观测到山 顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC 为. 2. 300 m 训练题 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿 途测得塔的最大仰角为30，求塔高. 3. 3.测量角度问题 例10 如图，为了了解某海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量.已知AB50m，BC120m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200m，于C处测得水深CF110m，求 DEF的余弦值. 【解题提示】把DEF放到某一个三角形中利用余弦定理求解，因此关键是 求出该三角形的三边的长度. 解题归纳
10、 测量角度问题的解法 1.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位， 观察某一建筑物的视角等. 2.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形 中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中 抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到 实际问题的解. 训练题 如图，在倾斜角一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的 倾斜角为15，向山顶前进100m后到达点B，又从点B测得CBD45，假 设建筑物高50m，求此山相对于地平面的倾斜角的余弦值. 1. 训练题 2. 训练题 2019山东济南高三模拟如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向 的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正 北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2小时追上，此时到达C处. （1）求渔船甲的速度； （2）求sin的值. 3. 五 三角形中的几何计算 1.计算三角形的面积 例11 例12 训练题 1. 2. 2.平面图形中线段长度和角度的计算 例13 解题归纳 训练题 小结 1.正弦定理 2.余弦定理
