1、第第 1 节节空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图 考试要求1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用 斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图 与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 知 识 梳 理 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台 图形 底面互相平行且全等多边形互相平行且相似 侧棱平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线交
2、于一点 侧面形状平行四边形三角形梯形 (2)旋转体的结构特征 名称圆柱圆锥圆台球 图形 母线互相平行且相相交于一点延长线交 等，垂直于底面于一点 轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆 侧面展 开图 矩形扇形扇环 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴、y轴所在 平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原 来的一半. 3.三视图 (1)几何体的三
3、视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正 左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 基本要求：长对正，高平齐，宽相等. 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 常用结论与微点提醒 1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形. 2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线 用虚线表示出来， 即“眼见为实、 不见为虚”.在三视图的判断与识别
4、中要特别注 意其中的虚线. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.() (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.() (3)用斜二测画法画水平放置的A 时，若A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 A90，则在直观图中，A45.() (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.() 解析(1)反例： 由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件， 但不是棱柱. (2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥. (3)用斜二测画法画水平放置的A 时，把 x，y 轴画成相交成 45或 13
5、5，平行于 x 轴的线段还平行于 x 轴，平行于 y 轴的线段还平行于 y 轴，所以A 可能为 45 也可能为 135. (4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯 视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第二册 P112T5 改编)一个菱形的边长为 4 cm，一内角为 60，用斜 二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为() A.2 3 cm2B.2 6 cm2C.4 6 cm2D.8 3 cm2 解析直观图的面积为 2 4 3 2 422 6(cm2). 答案B 3.(老教材必修 2P10B 组 T1 改编)如
6、图，长方体 ABCDABCD被截去一部分， 其中 EHAD.剩下的几何体是() A.棱台B.四棱柱 C.五棱柱D.六棱柱 解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱. 答案C 4.(2020衡水中学联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中 有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问： 积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈、长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视 图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为() A.3 丈B.6 丈 C.8 丈D.(5 13)丈 解析由题意可知
7、该楔体的侧视图是等腰三角形，它的底边长为 3 丈，相应高为 2 丈， 所以腰长为22 3 2 2 5 2(丈)， 所以该楔体侧视图的周长为 32 5 28(丈). 答案C 5.(2019济宁一中月考)如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几 何体为() A.圆锥B.三棱椎 C.三棱柱D.三棱台 解析三由视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选 C. 答案C 6.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫 头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与 某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()
8、解析由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所 以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 答案A 考点一空间几何体的结构特征 【例 1】 (1)给出下列命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3 (2)(多选题)下列说法正确的是() A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C.存在每个面都是直角三角形的四面体
9、 D.棱台的侧棱延长后交于一点 解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以 斜边所在直线为旋转轴时， 其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥， 如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似 且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. (2)A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边 形，但不一定全等；B 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交 线平行于侧棱，又垂直于底面；C 正确，如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中的三棱锥 C1ABC，四个面都是直角三角形；D 正确，由棱台的概念可知. 答案(1
10、)A(2)BCD 规律方法1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概 念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一 个反例. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中 各元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台 为锥”的解题策略. 【训练 1】 下列命题正确的是() A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所 围成的旋转体是圆台 D.用
11、平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析如图所示，可排除 A，B 选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得 的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分. 答案C 考点二空间几何体的三视图多维探究 角度 1由几何体的直观图判断三视图 【例 21】 (2020衡阳模拟)如图， 正方体 AC1的顶点 A， B 在平面上， AB 2， 若平面 ABCD 与平面所成角为 30，由如图所示的俯视方向，正方体 AC1在平面 上的俯视图的面积为() A.2B.1 3C.2 3D.2 2 解析依题意知，直线 AB 在平面内，且平面与平面 ABCD 所成的角为 30， 与平面 B1A1AB 所成的角为 60
12、，故所得的俯视图的面积 S2(cos 30cos 60) 1 3. 答案B 规律方法由直观图确定三视图， 一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认. 二要熟悉常见几何体的三视图. 角度 2由三视图判断几何体 【例 22】 (2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图.圆 柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A， 圆柱表面上的点 N 在侧视图上的对应 点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为() A.2 17B.2 5C.3D.2 解析由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周 长为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图
13、所示，连接 MN，则 MS2，SN4， 则从 M 到 N 的路径中， 最短路径的长度为 MN MS2SN2 22422 5.故选 B. 答案B 规律方法由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应 的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【训练 2】 (1)(角度 1)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BB1的 中点，过点 A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图 为() (2)(角度 2) (2019恩施二模)某圆锥的母线长为 2，高为4 2
14、3 ，其三视图如图所示， 圆锥表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A， 圆锥表面上的点 N 在侧视图上的对 应点为 B，则在此圆锥侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为() A.2B.2 2 C. 82 3D.2 2 3 解析(1)如图所示，过点 A，E，C1的截面为 AEC1F，则剩余几何体的侧视图为 选项 C 中的图形. (2)因为圆锥的母线长为 2，高为4 2 3 ， 所以底面半径 r22 4 2 3 2 2 3， 所以底面周长为 2r4 3， 所以侧面展开图中扇形中心角为2r 2 4 3 2 2 3，如图所示， 连接 MN，则 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 MN
15、，在OMN 中，由余弦定 理得 MN2222222cos 62 2 3. 答案(1)C(2)D 考点三空间几何体的直观图 【例 3】 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面 积为() A. 3 4 a2B. 3 8 a2C. 6 8 a2D. 6 16a 2 解析如图所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知， ABABa， OC1 2OC 3 4 a， 在图中作 CDAB于 D， 则 CD 2 2 OC 6 8 a.所以 SABC1 2ABCD 1 2a 6 8 a 6 16a 2. 答案D 规律方法1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(
16、两坐 标轴成 45或 135)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半， 平行于 x 轴和 z 轴的 线段长度不变)来掌握. 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直 观图 2 4 S原图形. 【训练 3】 某几何体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是矩形 O1A1B1C1，如图，其中 O1A16，O1C12，则该几何体的侧面积为() A.48B.64C.96D.128 解析由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，因为它的俯视图的直观图 是矩形 O1A1B1C1，O1A16，O1C12，所以它的俯视图的直观图面积为 12，所以 它的俯视图的面积为
17、24 2，所以它的俯视图是边长为 6 的菱形，棱柱的高为 4， 故该几何体的侧面积为 46496. 答案C A 级基础巩固 一、选择题 1.如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是() 解析由圆柱切削后的几何体及其正视图知，截得的截面为椭圆，结合正视图， 可知侧视图中右边的轮廓线不可见，故用虚线表示，故选 B. 答案B 2.下列说法中，正确的是() A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析棱柱的侧面都是平行四边形，选项 A 错误；其他侧面可能是平行四边形， 选项 B 错误；棱
18、柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项 D 错误；易知选项 C 正确.故选 C. 答案C 3.用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之 比为() A.1 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 4 解析设原矩形的长为 a，宽为 b，则其直观图是长为 a，高为 b 2sin 45 2 4 b 的 平行四边形，所以S 直观 S矩形 2 4 ab ab 2 4 .故选 D. 答案D 4.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与 俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为() 解析由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示. 该几何
19、体的侧视图为选项 B 中的图形. 答案B 5.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形， ACB90，AB 2，PABC1，则此几何体的侧视图的面积是() A.1 4 B.1C. 3 2 D.1 2 解析由题知，BCAC，BCPA，又 ACPAA， BC平面 PAC，该几何体的侧视图为直角三角形，两直角边长分别等于 PA 的长与 AC 的长， AB 2， BC1， AC1PA， 侧视图的面积 S1 211 1 2. 答案D 6.下列结论正确的是() A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C.棱锥的侧棱长
20、与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析如图 1 知，A 不正确.如图 2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何 体不是旋转体，则 B 不正确. 若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六 边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C 错误.由圆锥母线的概念知，选项 D 正确. 答案D 7.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下面的四个图中可以作 为该几何体的俯视图的是() A.B.C.D. 解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体， 故正确. 答案A 8.(2020西
21、安联考)已知四棱锥 SABCD 的三视图如图所示，则围成四棱锥 S ABCD 的五个面中最大面的面积是() A.3B.6C.8D.10 解析如图，由三视图知四棱锥 SABCD 的侧面 SAD 与底面 ABCD 垂直，底面 为矩形，矩形的相邻两边长分别为 2，4，底面面积为 248.由正视图可得该 四棱锥的高为 3222 5， SAD 的面积为1 24 52 5.侧面 SAB 与侧面 SCD 为直角三角形，其面积 均为1 2323.侧面 SBC 为等腰三角形，底边上的高为 （ 5） 2223， SBC 的面积为1 2436.围成四棱锥 SABCD 的五个面中最大面的面积 为 8. 答案C 二、填
22、空题 9.(多填题)如图所示，图是图表示的几何体的三视图，其中图是 _，图是_，图是_(写出视图名称). 解析观察几何体的结构特征，不难发现其下层长为两个小长方体的长，宽为两 个小长方体的宽，高为两个小长方体的高.所以正视图应为，侧视图为，俯视 图为. 答案正视图侧视图俯视图 10.有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是_. 解析命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六 面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定 是平
23、行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的. 答案 11.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4 m，一只小虫从圆锥的底 面圆上的点 P 出发， 绕圆锥表面爬行一周后回到点 P 处.若该小虫爬行的最短路程 为 4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m. 解析圆锥顶点记为 O，把圆锥侧面沿母线 OP 展开成如图所示的扇形， 由题意 OP4，PP4 3， 则 cos POP4 242（4 3）2 244 1 2， 又POP为POP一内角， 所以POP 2 3 . 设底面圆的半径为 r，则 2r2 3 4，所以 r4 3. 答案 4 3 12.一水平放置的平面四边形 OABC，用
24、斜二测画法画出它的直观图 OABC如图 所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 的面积为 _. 解析因为直观图的面积是原图形面积的 2 4 倍，且直观图的面积为 1，所以原图 形的面积为 2 2. 答案2 2 B 级能力提升 13.(2019泉州二模)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的侧视图中的虚线部 分是() A.圆弧B.抛物线的一部分 C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分 解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面 截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选 D. 答案D 14.(2020广州月考)一个几何体的三视图
25、如图所示，在该几何体的各个面中，面积 最小的面的面积为() A.8B.4C.4 3D.4 2 解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，PA平面 ABC，DB平面 ABC，ABAC，PAABAC4，DB2，则易得 SPACSABC 8，SCPD12，S梯形ABDP12，SBCD1 24 224 2，故选 D. 答案D 15.如图，点 O 为正方体 ABCDABCD的中心，点 E 为面 BBCC的中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是 _(填出所有可能的序号). 解析空间四边形DOEF在正方体的面DCCD及其对面ABBA上的正投
26、影是； 在面 BCCB及其对面 ADDA上的正投影是； 在面 ABCD 及其对面 ABCD上的 正投影. 答案 16.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示， 图中小方格是单位 正方形，那么组合体的侧视图的面积为_. 解析由题意可得侧视图如图所示， 上面是一个三角形， 其底为 11 2 3 2， 高为 2， 三角形的面积 S11 2 3 22 3 2；下面是一个梯形，上底为 2，下底为 4，高为 2， 梯形的面积 S21 2(24)26，所以组合体的侧视图的面积 SS 1S23 26 15 2 . 答案 15 2 C 级创新猜想 17.(多选题)用一个平面去截正方体，关于截面的形状
27、，下列判断正确的是() A.直角三角形B.正五边形 C.正六边形D.梯形 解析画出截面图形如图： 可以画出三角形但不是直角三角形(如图 1)，故 A 错误；如图 2 经过正方体的一 个顶点去截就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故 B 错误；正方体有六 个面，如图 3 用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六 边形，故 C 正确；可以画出梯形但不是直角梯形(如图 4)，故 D 正确. 答案CD 18.(数学文化题)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构 造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成， 相对的两个曲面在同 一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图 1， 图 2 中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时， 它的正视图和俯视图分别可能是() 图 1 图 2 A.a，bB.a，cC.c，bD.b，d 解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方， 正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选 A. 答案A
