1、第第 2 节节等差数列及其等差数列及其前前 n 项和项和 考试要求1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解 决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系. 知 识 梳 理 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an1and(nN*，d 为常数). (2)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 Aab 2 . 2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数
2、列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d. (2)前 n 项和公式：Snna1n（n1）d 2 n（a1an） 2 . 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*). (2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman. (3)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列. (4)若 Sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差 数列. (5)若 Sn为等差数列an的前 n 项和，则数列 Sn n 也为等差数列. 常
3、用结论与微点提醒 1.已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等 差数列，且公差为 p. 2.在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若 a10，d0，则 Sn存 在最小值. 3.等差数列an的单调性：当 d0 时，an是递增数列；当 d0 时，an是递减 数列；当 d0 时，an是常数列. 4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数). 5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列， 要注意定义中的三个关键词： “从 第 2 项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)
4、 (1)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.() (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的.() (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.() (4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.() 解析(3)若公差 d0，则通项公式不是 n 的一次函数. (4)若公差 d0，则前 n 项和不是二次函数. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 5P46AT2 改编)设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于() A.31B.32C.33D.34 解析由已知可得 a1
5、5d2， 5a110d30， 解得 a126 3 ， d4 3， S88a187 2 d32. 答案B 3.(老教材必修 5P68T8 改编)在等差数列an中 a3a4a56，则 S7() A.8B.12C.14D.18 解析a3a4a53a46，a42，S71 27(a 1a7)7a414. 答案C 4.(2018全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 3S3S2S4，a12，则 a5 () A.12B.10C.10D.12 解析设等差数列an的公差为 d， 则 3(3a13d)2a1d4a16d， 即 d3 2a 1. 又 a12，d3， a5a14d24(3)10. 答案B 5
6、.(2020东营模拟)已知等差数列an，a1010，其前 10 项和 S1070，则公差 d () A.2 9 B.2 9 C.2 3 D.2 3 解析因为 S101 210(a 1a10)1 210(a 110)70，所以 a14，因为 a10 a19d10，所以 d2 3. 答案D 6.(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a10，a23a1，则S10 S5 _. 解析由 a10，a23a1，可得 d2a1， 所以 S1010a1109 2 d100a1， S55a154 2 d25a1，所以S10 S5 4. 答案4 考点一等差数列基本量的运算 【例 1】 (1)(
7、一题多解)(2019江苏卷)已知数列an(nN*)是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a2a5a80，S927，则 S8的值是_. (2)(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.已知 S40，a55，则() A.an2n5B.an3n10 C.Sn2n28nD.Sn1 2n 22n 解析(1)法一由 S9279（a1a9） 2 27a1a962a56a53，即 a1 4d3. 又 a2a5a802a15d0， 解得 a15，d2. 故 S88a18（81） 2 d16. 法二同法一得 a53. 又 a2a5a803a2a802a22a50a23. da5a2 3 2，a1a2
8、d5. 故 S88a18（81） 2 d16. (2)设首项为 a1，公差为 d. 由 S40，a55 可得 a14d5， 4a16d0，解得 a13， d2. 所以 an32(n1)2n5， Snn(3)n（n1） 2 2n24n. 答案(1)16(2)A 规律方法1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差 数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【训练 1】 (2019全国卷)记 Sn为等差数列an
9、的前 n 项和.已知 S9a5. (1)若 a34，求an的通项公式； (2)若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围. 解(1)设an的公差为 d. 由 S9a5得 9a198 2 d(a14d)，即 a14d0. 由 a34 得 a12d4. 于是 a18，d2. 因此an的通项公式为 an102n. (2)由(1)得 a14d， 故 an(n5)d，Snn（n9）d 2 . 由 a10 知 d0；当 n6 时，an0，当 n6 时，an0； 所以 Sn的最小值为 S5S630. 规律方法求等差数列前 n 项和的最值， 常用的方法： (1)利用等差数列的单调性， 求出其正负转折项，或
10、者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用 公差不为零的等差数列的前 n 项和 SnAn2Bn(A，B 为常数，A0)为二次函数， 通过二次函数的性质求最值. 角度 2等差数列项的最值 【例 42】 (2020淮北模拟)Sn是等差数列an的前 n 项和，S2 020S2 018，S2 019S2 020，则 Sn0 时 n 的最大值是() A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038 解析因为 S2 020S2 018，S2 019S2 020，所以 a2 020a2 0190.所以 S4 038 4 038（a1a4 038） 2 2 019(a2 020a2 019
11、)0，可知 Sn0 时 n 的最大值是 4 038. 答案D 规律方法本题借助等差数列的性质求出 Sn0，则其前 n 项 和取最小值时 n 的值为() A.6B.7C.8D.9 (2)(角度 2)设等差数列an满足 a3a736，a4a6275，且 anan1有最小值，则这 个最小值为_. 解析(1)由 d0 可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即 a15da110d，所以 a115d 2 ，则 a8d 20，所以前 8 项和为 前 n 项和的最小值.故选 C. (2)设等差数列an的公差为 d，因为 a3a736，所以 a4a636，又 a4a6275， 联立，解
12、得 a411， a625 或 a425， a611，当 a411， a625 时，可得 a110， d7， 此时 an7n 17，a23，a34，易知当 n2 时，an0，所以 a2a3 12 为 anan1的最小值；当 a425， a611 时，可得 a146， d7，此时 a n7n53，a7 4，a83，易知当 n7 时，an0，当 n8 时，an1， nN*，满足 Sn1Sn12(Sn1)，则 S10的值为() A.90B.91C.96D.100 解析对任意 n1，nN*，满足 Sn1Sn12(Sn1)， Sn1SnSnSn12， an1an2. 数列an在 n2 时是等差数列，公差为
13、 2. 又 a11，a22，S1019298 2 291. 故选 B. 答案B 4.(2020临沂质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十 六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄 大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是() A.174 斤B.184 斤C.191 斤D.201 斤 解析用 a1，a2，a8表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列 a1，a2，a8是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， 8a187 2
14、17996，解之得 a165. a865717184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤. 答案B 5.等差数列an中，a12 019，a2 019a2 01516，则数列an的前 n 项和 Sn取得 最大值时 n 的值为() A.504B.505C.506D.507 解析数列an为等差数列，a2 019a2 01516， 数列an的公差 d4， ana1(n1)d2 0234n，令 an0，得 n2 023 4 . 又 nN*，Sn取最大值时 n 的值为 505. 答案B 二、填空题 6.(2019全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和.若 a35，a713，则 S10 _. 解析
15、an为等差数列，a35，a713， 公差 da7a3 73 135 4 2， 首项 a1a32d5221， S1010a1109 2 d100. 答案100 7.设 Sn是等差数列an的前 n 项和，S1016，S100S9024，则 S100_. 解析依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等 差数列的公差为 d.又 S1016，S100S9024，因此 S100S902416(101)d 169d，解得 d8 9，因此 S 10010S10109 2 d1016109 2 8 9200. 答案200 8.(多填题)(2019北京卷)设等差数列an的前
16、n 项和为 Sn，若 a23，S510， 则 a5_，Sn的最小值为_. 解析由题意得 a2a1d3，S55a110d10， 解得 a14，d1， 所以 a5a14d0， 故 ana1(n1)dn5. 令 an0，则 n5，即数列an中前 4 项为负，a50，第 6 项及以后项为正. Sn的最小值为 S4S510. 答案010 三、解答题 9.已知等差数列an的公差 d0.设an的前 n 项和为 Sn，a11，S2S336. (1)求 d 及 Sn； (2)求 m，k(m，kN*)的值，使得 amam1am2amk65. 解(1)由题意知(2a1d)(3a13d)36， 将 a11 代入上式，
17、解得 d2 或 d5. 因为 d0，所以 d2.从而 an2n1，Snn2(nN*). (2)由(1)得 amam1am2amk(2mk1)(k1)， 所以(2mk1)(k1)65. 由 m，kN*知 2mk1k11， 故 2mk113， k15， 解得 m5， k4. 即所求 m 的值为 5，k 的值为 4. 10.已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n 项和为 Sn，且 Sk110. (1)求 a 及 k 的值； (2)设数列bn的通项公式 bnSn n ，证明：数列bn是等差数列，并求其前 n 项和 Tn. (1)解设该等差数列为an，则 a1a，a24，a33a， 由已知有
18、a3a8，得 a1a2，公差 d422， 所以 Skka1k（k1） 2 d2kk（k1） 2 2k2k， 由 Sk110，得 k2k1100， 解得 k10 或 k11(舍去)，故 a2，k10. (2)证明由(1)得 Snn（22n） 2 n(n1)， 则 bnSn n n1， 故 bn1bn(n2)(n1)1， 即数列bn是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 所以 Tnn（2n1） 2 n（n3） 2 . B 级能力提升 11.(2020福州模拟)设数列an满足 a11，a22，且 2nan(n1)an1(n1)an 1(n2 且 nN*)，则 a18( ) A.25 9 B.26 9
19、 C.3D.28 9 解析令 bnnan，则 2bnbn1bn1(n2)， 所以bn为等差数列， 因为 b11，b24，所以公差 d3，则 bn3n2， 所以 b1852， 则 18a1852，所以 a1826 9 . 答案B 12.(2020烟台质检)已知数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列bn满 足a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn 1 2n，数列b n的前 n 项和为 Sn，则 S5的值为() A.454B.450C.446D.442 解析数列an是首项为 1，公差为 2 的等差数列， an12(n1)2n1. 数列bn满足a1 b1 a2 b2 a3 b3 a
20、n bn 1 2n， n2 时，a1 b1 a2 b2 an1 bn1 1 2n 1， 两式相减可得an bn 1 2n 1 2n 1，可得 bn(12n) 2 n(n2). n1 时， 1 b1 1 2，解得 b 12，不符合上式， bn 2，n1， （12n）2n，n2，S 52322523724925450. 答案B 13.(2020广州质检)设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，且对任意正整数 n 都有 an1 SnSn11，则 S n_. 解析对任意正整数 n 都有 an1 SnSn11， Sn 1Sn Sn1Sn 1 Sn 1 Sn11， 即 1 Sn1 1 Sn1，又
21、1 S11. 数列 1 Sn是首项与公差都为 1 的等差数列. 1 Sn1n1n，解得 S n1 n. 答案 1 n 14.设数列an的各项都为正数，其前 n 项和为 Sn，已知对任意 nN*，Sn是 a 2 n和 an的等差中项. (1)证明：数列an为等差数列； (2)若 bnn5，求anbn的最大项的值并求出取最大值时 n 的值. (1)证明由已知可得 2Sna2nan，且 an0， 当 n1 时，2a1a21a1，解得 a11. 当 n2 时，有 2Sn1a2n1an1， 所以 2an2Sn2Sn1a2na2n1anan1， 所以 a2na2n1anan1， 即(anan1)(anan
22、1)anan1， 因为 anan10，所以 anan11(n2). 故数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列. (2)解由(1)可知 ann，设 cnanbn， 则 cnn(n5)n25n n5 2 2 25 4 ， 因为 nN*，所以 n2 或 3，c2c36，因此当 n2 或 n3 时，anbn取最大 项，且最大项的值为 6. C 级创新猜想 15.(数学文化题)(2020晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的著作张邱建算经 有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入， 得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更 给，问各得金几何？则
23、据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得 金相差数额绝对值的最小值是() A. 6 78斤 B. 7 39斤 C. 7 78斤 D. 1 11斤 解析设第 n 个人得金 an斤，由题意可知an是等差数列，设公差为 d， 则有 a1a2a33a13d4， a7a8a9a104a130d3， 解得 a137 26， d 7 78， 则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是 7 78斤.故选 C. 答案C 16.(多选题)已知数列an是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn.若对任意的 nN*，都有 SnS3，则a6 a5的值可能为( ) A.2B.5 3 C.3 2 D.4 3 解析设等差数列an的公差为 d(d0).其前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*，都 有 SnS3， S1S3， S2S3， S4S3， a13a132 2 d， 2a1d3a132 2 d， 4a143 2 d3a132 2 d， 3da12d(d0)，代入选项知当a6 a5 a15d a14d2 时，a 13d 成立；当a6 a5 a15d a14d 5 3时，a 15 2d 成立；当 a6 a5 a15d a14d 3 2时，a 12d 成立；当a6 a5 a15d a14d 4 3时，a 1d 不成立.故选 ABC. 答案ABC
