1、第第 4 节节随机事件的概率随机事件的概率 考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以 及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 知 识 梳 理 1.概率与频率 (1)频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数， 称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为 事件 A 出现的频率. (2)概率：对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增 加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2.事件的
2、关系与运算 定义符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称 事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA (或 AB) 相等关系若 BA 且 ABAB 并事件(和事 件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发 生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或 和事件) AB (或 AB) 交事件(积事 件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 生， 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或 积事件) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事
3、件，那 么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB P(AB)1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E)1. (3)不可能事件的概率 P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B). 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B). 常用结论与微点提醒 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组 成的集合的补集.
4、 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广， 即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.() (2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.() (3)若随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0P(A)1.() (4)6 张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中 奖的概率.() 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 3P123A3 改编)容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 分组1
5、0，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70 频数234542 则样本数据落在区间10，40)的频率为() A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65 解析由表知10，40)的频数为 2349， 所以样本数据落在区间10，40)的频率为 9 200.45. 答案B 3.(老教材必修 3P121T5 改编)某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学 去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”() A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 解析“至少有一名女
6、生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种 情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与 “全是男生”既是互斥事件，也是对立事件. 答案C 4.(2020广州一中月考)从正五边形的五个顶点中， 随机选取三个顶点连成三角形， 对于事件 A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是() A.事件 A 发生的概率是1 5 B.事件 A 发生的概率是2 5 C.事件 A 是不可能事件 D.事件 A 是必然事件 解析从正五边形的五个顶点中， 随机选取三个顶点连成三角形都是等腰三角形， 故事件 A 是必然事件. 答案D 5.(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支
7、付的概率为 0.45，既用现金支付 也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为() A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用 现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为 1(0.150.45) 0.4. 答案B 6.(多选题)(2020福州调研)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100 件产品， 其 中一等品为 20 件，合格品有 70 件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一 件产品，设事件 A“是一等品”，B“是合格品”，C“是不合格品”，则 下列结果正确的是() A.P(B) 7 10 B
8、.P(AB) 9 10 C.P(AB)0D.P(AB)P(C) 解析由题可知 A，B，C 为互斥事件，故 C 项正确，又因为从 100 件中抽取产 品符合古典概型的条件，则 P(B) 7 10，P(AB) 9 10，即 A，B 两项正确，很明 显 P(AB)P(C)，D 项错误.故选 ABC. 答案ABC 考点一随机事件的关系 【例 1】 (1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每 人一本，则事件 A：“甲分得语文书”，事件 B：“乙分得数学书”，事件 C： “丙分得英语书”，则下列说法正确的是() A.A 与 B 是不可能事件 B.ABC 是必然事件 C.A 与 B
9、不是互斥事件 D.B 与 C 既是互斥事件也是对立事件 (2)一袋中装有 5 个大小形状完全相同的小球，其中红球 3 个，白球 2 个，从中任 取 2 个小球， 若事件“2 个小球全是红球” 的概率为 3 10， 则概率是 7 10的事件是( ) A.恰有一个红球B.两个小球都是白球 C.至多有一个红球D.至少有一个红球 解析(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故 A，B 两项 错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C 项正确；“B”与“C”既不互 斥，也不对立，D 项错误.故选 C. (2)因为 7 101 3 10， 所以概率是 7 10的事件是“2
10、个小球全是红球”的对立事件， 应 为“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红 球”. 答案(1)C(2)C 规律方法1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发 生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的 两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥 事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一 定是互斥事件. 【训练 1】 (多选题)下列说法错误的是() A.对立事件一定是互斥事件 B.若 A，B 为两个事件，则
11、P(AB)P(A)P(B) C.若事件 A，B，C 两两互斥，则 P(A)P(B)P(C)1 D.事件 A，B 满足 P(A)P(B)1，则 A，B 是对立事件 解析对于 A， 对立事件是互斥事件中其中一个不发生， 另一个必然发生的事件， 所以正确.对于 B，只有互斥事件才满足 P(AB)P(A)P(B)，不是任意事件都 满足，故 B 错误.对于 C，若 A、B、C 三事件两两互斥，不一定(AB)是 C 的对 立事件，则 P(A)P(B)P(C)1 不一定成立，C 错误；对于 D，对立事件的概 率之和为 1，但概率之和为 1 的两个事件不一定是对立事件，D 错误. 答案BCD 考点二随机事件的
12、频率与概率 【例 2】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货 成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天 全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果 最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量 为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40 天数216362574 以最高气
13、温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的 进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率. 解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶， 当且仅当最高气温低于 25， 由表中 数据可知，最高气温低于 25 的频率为21636 90 0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20，则 Y2006(450200)245
14、04100； 若最高气温位于区间20，25)，则 Y3006(450300)24504300； 若最高气温不低于 25，则 Y450(64)900， 所以，利润 Y 的所有可能值为100，300，900. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频 率为362574 90 0.8. 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 规律方法1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率 是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频 率来作为随机事件概率的估计值. 2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，
15、事件发生的频率 会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率. 【训练 2】 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影 的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率 发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数
16、据发生变化， 那么哪类电影的好评 率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的 电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解(1)由题意知，样本中电影的总部数是 14050300200800510 2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550. 故所求概率为 50 2 0000.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.258000.25100.1561045 5016051372. 故所求概率估计为 1 372 2 0000.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类
17、电影的好评率. 考点三互斥事件与对立事件的概率 【例 3】 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 排队人数012345 人及 5 人以上 概率0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率； (2)(一题多解)至少 3 人排队等候的概率. 解记“无人排队等候”为事件A， “1人排队等候”为事件B， “2人排队等候” 为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥. (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC， 所以 P(
18、G)P(ABC)P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56. (2)法一记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则 HDEF， 所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 法二记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H) 1P(G)0.44. 规律方法1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用 已知概率的事件表示出来. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概 率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事 件的概率，再由 P(A)1P(
19、A )求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多 考虑间接法. 【训练 3】 (1)(2020泰安一中月考)已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P(AB)0.7， P(B)0.2，则 P(A )() A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8 (2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1 2，乙获胜的概率是 1 3，则乙不输的概 率是_. 解析(1)随机事件 A 和 B 互斥， 且 P(AB)0.7， P(B)0.2， P(A)P(AB) P(B)0.70.20.5，P(A )1P(A)10.50.5. (2)乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为 1 2 1 3
20、 5 6. 答案(1)A(2)5 6 A 级基础巩固 一、选择题 1.下列说法正确的是() A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3 5，则比赛 5 场，甲胜 3 场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%， 前 9 个病人没有治愈， 则第 10 个病人一 定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.天气预报中，预报明天降水概率为 90%，是指降水的可能性是 90% 解析由概率的意义知 D 正确. 答案D 2.从存放号码分别为 1，2，3，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每 次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码12345678910 取到次数138576131810119
21、则取到号码为奇数的频率是() A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37 解析取到号码为奇数的频率为13561811 100 0.53. 答案A 3.把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一 张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”() A.是对立事件B.是不可能事件 C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件 解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分 给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件. 答案C 4.(2020石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正 常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是
22、5%和 3%，则抽检一件是正品 (甲级)的概率为() A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08 解析记“抽检的产品是甲级品”为事件 A，是“乙级品”为事件 B，是“丙级 品”为事件 C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为 P(A)1P(B)P(C)1 5%3%92%0.92. 答案C 5.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点)一次， 观察掷出向上的点数， 设事件 A 为掷出向上为偶数点， 事件 B 为掷出向上为 3 点， 则 P(AB)() A.1 3 B.2 3 C.1 2 D.5 6 解析事件 A 为掷出向上为偶数点，所以 P(A)1 2.事件
23、B 为掷出向上为 3 点，所 以 P(B)1 6，又事件 A，B 是互斥事件，所以 P(AB)P(A)P(B) 2 3.故选 B. 答案B 6.设 A 与 B 是互斥事件，A，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是 () A.A 与B 互斥 B.A 与B 互斥 C.P(AB)P(A)P(B) D.P(A B )1 解析根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以 A 与B 互 斥，A 与B 互斥是不正确的；P(AB)P(A)P(B)正确；A 与B 既不一定互斥，也 不一定对立，所以 D 项错误.故选 C. 答案C 7.设事件 A，B，已知 P(A)1 5，
24、P(B) 1 3，P(AB) 8 15，则 A，B 之间的关系一定 为() A.两个任意事件B.互斥事件 C.非互斥事件D.对立事件 解析因为 P(A)P(B)1 5 1 3 8 15P(AB)，所以 A，B 之间的关系一定为互斥 事件. 答案B 8.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是1 7，都是白 子的概率是12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( ) A.1 7 B.12 35 C.17 35 D.1 解析设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都是白子”为事 件 B，“任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 CAB，
25、且事件 A 与 B 互 斥. 由于 P(A)1 7，P(B) 12 35. 所以 P(C)P(A)P(B)1 7 12 35 17 35. 答案C 二、填空题 9.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠 军的概率为3 7，乙夺得冠军的概率为 1 4，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概 率为_. 解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事 件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为3 7 1 4 19 28. 答案 19 28 10.“键盘侠”一
26、词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在 网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程 度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态度，其余持反对态度，若 该地区有 9 600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有_人. 解析在随机抽取的 50 人中，持反对态度的频率为 114 50 18 25，则可估计该地区 对“键盘侠”持反对态度的有 9 60018 256 912(人). 答案6 912 11.(2019合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事 件 B抽到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.
27、65，P(B)0.2， P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_. 解析事件“抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件，由于 P(A)0.65， 所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为 p1P(A) 10.650.35. 答案0.35 12.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示： 年降水量(mm)(100，150)(150，200)(200，250)(250，300) 概率0.210.160.130.12 则年降水量在(200，300)(mm)范围内的概率是_. 解析设年降水量在(200，300)、(200，250)、(250，300)的事
28、件分别为 A，B，C， 则 ABC，且 B、C 为互斥事件，所以 P(A)P(B)P(C)0.130.120.25. 答案0.25 B 级能力提升 13.(2020山东师大附中模拟)2019 年 1 月 1 日， 济南轨道交通 1 号线试运行， 济南 轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济 南地铁 App 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘， 小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中 的概率为() A.1 6 B.1 3 C.2 3 D.5 6 解析小王和小李至多 1 人被选中的反面为小王和小李都被选中.设
29、A小李和 小王至多 1 人被选中，B小李和小王都被选中，则 B 包含 1 个基本事件，所 有基本事件的个数为 6，P(A)1P(B)11 6 5 6. 答案D 14.甲袋中有 3 个白球 5 个黑球，乙袋中有 4 个白球 6 个黑球，现从甲袋中随机取 出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋 中白球没有减少的概率为() A.35 44 B.25 44 C.37 44 D. 5 44 解析若先从甲袋中取出的是白球，则满足题意的概率为 p13 8 5 11 15 88；若先 从甲袋中取出的是黑球，则满足题意的概率为 p25 8，易知这两种情况不可能同 时发生，故所求概
30、率为 pp1p215 88 5 8 35 44. 答案A 15.某城市 2019 年的空气质量状况如表所示： 污染指数 T3060100110130140 概率 p 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数 T50 时，空气质量为优；50T100 时，空气质量为良，100 T150 时，空气质量为轻微污染，则该城市 2019 年空气质量达到良或优的概率 为_. 解析由题意可知 2019 年空气质量达到良或优的概率为 p 1 10 1 6 1 3 3 5. 答案 3 5 16.(2019宜昌模拟)小明需要从甲城市编号为 114 的 14 个工厂或乙城市编号为 1532
31、 的 18 个工厂中选择一个去实习， 设“小明在甲城市实习”为事件 A， “小 明在乙城市且编号为 3 的倍数的工厂实习”为事件 B，则 P(AB)_. 解析由题意可知 A， B 两事件互斥， 且 P(A)14 32， P(B) 6 32.所以 P(AB)P(A) P(B)14 32 6 32 5 8. 答案 5 8 C 级创新猜想 17.(多选题)(2020青岛二中调研)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各 2 张，一次 取出 2 张卡片， 则下列事件与事件 “2 张卡片都为红色”互斥而非对立的是() A.2 张卡片都不是红色B.2 张卡片恰有 1 张红色 C.2 张卡片至少有 1 张红色D.2
32、 张卡片都为绿色 解析对于 A， 事件“2 张卡片都不是红色”与事件“2 张卡片都为红色”是互斥 不对立事件； 对于B， 事件“2张卡片恰有1张红色”与事件“2张卡片都为红色” 是互斥不对立事件； 对于 C， 事件“2 张卡片至少有 1 张红色”与事件“2 张卡片 都为红色”不是互斥事件； 对于 D， 事件“2 张卡片都为绿色”与事件“2 张卡片 都为红色”是互斥不对立事件. 答案ABD 18.(多填题)某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有 39，32，33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示. 现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是_，他属于不超过 2 个小组的概率是_. 解析“至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况， 故他属于至 少 2 个小组的概率为 p 111078 6788101011 3 5. “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”，其对立事件是“3 个小 组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 p1 8 6788101011 13 15. 答案 3 5 13 15
