1、8.5椭椭圆圆 考试要求1.了解圆锥曲线的实际背景， 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的 作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 1椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 (2)焦点：两个定点 F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半 2椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 范围axa 且bybbxb 且aya 顶点 A1(a,0)
2、，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长短轴长为 2b，长轴长为 2a 焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|2c 对称性对称轴：x 轴和 y 轴，对称中心：原点 离心率ec a(0e1) a， b， c 的关系a2b2c2 微思考 1在椭圆的定义中，若 2a|F1F2|或 2a|F1F2|，动点 P 的轨迹如何？ 提示当 2a|F1F2|时， 动点 P 的轨迹是线段 F1F2； 当 2ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 题组二教材改编 2已知
3、F1(3,0)，F2(3,0)，若点 P 到 F1，F2的距离之和为 10，则 P 点的轨迹方程是 _ 答案 x2 25 y2 161 解析因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 a 5，c3，b a2c24，故点 P 的轨迹方程为x 2 25 y2 161. 3若椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m_. 答案4 或 8 解析当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4 或 8. 4在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦
4、点 F1，F2在 x 轴上，离心率为 2 2 . 过 F1的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且ABF2的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_ 答案 x2 16 y2 8 1 解析如图，设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由椭圆的定义可知，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又ABF2的周长为 16， 所以|AF1|AF2|BF1|BF2|16， 即 4a16，a4，又 ec a 2 2 ， 则 c2 2，b a2c22 2， 故椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 8 1. 5已知点 P 是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦
5、点 F1，F2为顶点的三角形的 面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0) 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1， 所以 y1，把 y1 代入x 2 5 y 2 4 1， 得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ， 所以点 P 的坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1 . 题组三易错自纠 6若方程x 2 m y2 2m11 表示椭圆，则 m 满足的条件是_ 答案m|m 1 2且 m1 解析由方程x 2 m y2 2m11 表示椭圆， 知 m0
6、， 2m10， m2m1， 解得 m1 2且 m1. 7已知椭圆x 2 5 y 2 m1(m0)的离心率 e 10 5 ，则 m 的值为_ 答案3 或25 3 解析若 a25，b2m，则 c 5m， 由c a 10 5 ，即 5m 5 10 5 ，解得 m3. 若 a2m，b25， 则 c m5. 由c a 10 5 ，即 m5 m 10 5 ， 解得 m25 3 . 综上，m3 或25 3 . 8已知点 A(2,0)，B(0,1)在椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)上，则椭圆 C 的方程为_；若 直线 y1 2x 交椭圆 C 于 M，N 两点，则|MN|_. 答案 x2 4 y2
7、110 解析由题意可知，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)中， 由点 A(2,0)，B(0,1)且焦点在 x 轴上，得 a2，b1， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y21； 设 M (x 1，y1)，N (x 2，y2)(x10)，则 x2 4 y21， y1 2x， 解得 x1 2，y1 2 2 ，x2 2，y2 2 2 ， 则|MN| 2 22 2 2 2 2 2 10. 第第 1 课时课时椭圆及其性质椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 例 1(1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交
8、于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是() A椭圆B双曲线 C抛物线D圆 答案A 解析连接 QA(图略) 由已知得|QA|QP|. 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r. 又因为点 A 在圆内，所以|OA|2)上一点， F1， F2分别为 C 的左、 右焦点， 且F1PF260， 则PF1F2的面积为_ 答案 4 3 3 解析由题意知，c a24.又F1PF260，|F1P|PF2|2a，|F1F2|2 a24， |F1F2|2(|F1P|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos 604a23|F1P|PF2|4a216， |F1P|PF2|16 3 ， 1 2
9、 PF F S1 2|F 1P|PF2|sin 601 2 16 3 3 2 4 3 3 . 若将本例(2)中“F1PF260”改成“PF1PF2”，求PF1F2的面积 解PF1PF2， |PF1|2|PF2|2|F1F2|24(a24)4a216， 又|PF1|PF2|2a， |PF1|PF2|8， 1 2 PF F S4. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和 离心率等 (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题 跟踪训练 1 (1)设 P 是椭圆x 2 16 y2 9 1 上一点，F1
10、，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|PF2| 12，则F1PF2的大小为_ 答案60 解析由椭圆x 2 16 y2 9 1， 可得 2a8，设|PF1|m，|PF2|n， 可得 mn2a8， mn12， 4c228m2n22mncosF1PF2， 化简可得 cosF1PF21 2，F 1PF260. (2)已知 F 是椭圆 5x29y245 的左焦点， P 是此椭圆上的动点， A(1,1)是一定点， 则|PA|PF| 的最大值为_，最小值为_ 答案6 26 2 解析椭圆方程化为x 2 9 y 2 5 1， 设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， |AF1| 2， |PA|PF|PA
11、|PF1|6， 又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立)， |PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2. 题型二 椭圆的标准方程 例 2 (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于1 2，则 C 的方程是( ) A.x 2 3 y 2 4 1B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y 2 2 1D.x 2 4 y 2 3 1 答案D 解析由题意可知椭圆焦点在 x 轴上， 所以设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意可知 c1，ec a 1 2， 可得 a2，又 a2b2c2，可得 b23， 所以椭圆方程为x 2
12、 4 y 2 3 1. (2)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ 答案 y2 20 x2 4 1 解析方法一(待定系数法)设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(k|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点 位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 (2)椭圆的标准方程的两个应用 方程x 2 a2 y2 b21 与 x2 a2 y2 b2(0)有相同的离心率 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)共焦点的椭圆系方程为 x2 a2k y2 b2k1(ab0，kb 20)，恰当运 用椭圆系方程，可使运
13、算简便 跟踪训练 2 (1)(多选)已知椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准 方程可以为() A. x2 100 y2 841 B.x 2 25 y2 9 1 C.x 2 84 y2 1001 D.x 2 9 y 2 251 答案BD 解析因为椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，所以 2a10， c4， 解得 a5，b2 25169.所以当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆方程为x 2 25 y2 9 1；当椭圆的焦点在 y 轴上 时，椭圆方程为x 2 9 y 2 251. (2)(2020泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为 F1( 5，0)，F2( 5，0)，
14、M 是椭圆上一点，若 MF1MF2，|MF1|MF2|8，则该椭圆的方程是() A.x 2 7 y 2 2 1B.x 2 2 y 2 7 1 C.x 2 9 y 2 4 1D.x 2 4 y 2 9 1 答案C 解析设|MF1|m，|MF2|n， 因为 MF1MF2，|MF1|MF2|8，|F1F2|2 5， 所以 m2n220，mn8， 所以(mn)236，所以 mn2a6，所以 a3. 因为 c 5，所以 b a2c22. 所以椭圆的方程是x 2 9 y 2 4 1. 题型三 椭圆的简单几何性质 命题点 1离心率 例 3 (1)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0
15、)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为() A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 答案D 解析如图，作 PBx 轴于点 B. 由题意可设|F1F2|PF2|2，则 c1， 由F1F2P120， 可得|PB| 3，|BF2|1， 故|AB|a11a2， tanPAB|PB| |AB| 3 a2 3 6 ， 解得 a4，所以 ec a 1 4. (2)过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左 焦点和上顶
16、点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是() A. 0， 5 5B. 5 5 ，1 C. 0， 2 2D. 2 2 ，1 答案A 解析由题设知，直线 l： x c y b1，即 bxcybc0，以 AB 为直径的圆的圆心为(c,0)， 根据题意，将 xc 代入椭圆 C 的方程，得 yb 2 a ， 即圆的半径 rb 2 a .又圆与直线 l 有公共点， 所以 2bc b2c2 b2 a ，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 ec a 5 5 .又 0e1， 所以 0e 5 5 .故选 A. 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立
17、关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常 用方法如下： (1)直接求出 a，c，利用离心率公式 ec a求解 (2)由 a 与 b 的关系求离心率，利用变形公式 e1b 2 a2求解 (3)构造 a，c 的齐次式离心率 e 的求解中可以不求出 a，c 的具体值，而是得出 a 与 c 的关 系，从而求得 e. 命题点 2与椭圆有关的最值(或范围)问题 例 4 设 A，B 是椭圆 C：x 2 3 y 2 m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120， 则 m 的取值范围是() A(0,19，)B(0， 39，) C(0,14，)D(0， 34，) 答案A
18、解析方法一设焦点在 x 轴上，点 M(x，y) 过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则 N(x,0) 故 tanAMBtan(AMNBMN) 3x |y| 3x |y| 1 3x |y| 3x |y| 2 3|y| x2y23. 又 tanAMBtan 120 3， 且由x 2 3 y 2 m1，可得 x 233y2 m ， 则 2 3|y| 33y 2 m y23 2 3|y| 13 m y2 3. 解得|y| 2m 3m. 又 0|y| m，即 0 2m 3m m， 结合 0m3 解得 0m1. 对于焦点在 y 轴上的情况，同理亦可得 m9. 则 m 的取值范围是(0,19，)
19、.故选 A. 方法二当 0m3 时，焦点在 x 轴上， 要使 C 上存在点 M 满足AMB120， 则a btan 60 3，即 3 m 3，解得 03 时，焦点在 y 轴上， 要使 C 上存在点 M 满足AMB120， 则a btan 60 3，即 m 3 3，解得 m9. 故 m 的取值范围为(0,19，) 故选 A. 思维升华 利用椭圆的简单几何性质求值或范围的思路 (1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系 (2)将所求范围用 a，b，c 表示，利用 a，b，c 自身的范围、关系求范围 跟踪训练 3 (1)(2020济南质检)设椭圆 E 的两焦点分别为 F1，
20、F2，以 F1为圆心，|F1F2|为半径 的圆与 E 交于 P，Q 两点若PF1F2为直角三角形，则 E 的离心率为() A. 21B. 51 2 C. 2 2 D. 21 答案A 解析不妨设椭圆 E 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，如图所示，PF 1F2为直角三角形， PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，|PF2|2 2c，|PF1|PF2|2c2 2c2a，椭圆 E 的离心率 ec a 21.故选 A. (2)已知点 P(0,1)，椭圆x 2 4 y2m(m1)上两点 A，B 满足AP 2PB，则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大 答案5 解析设 B(x0，y0)
21、，A(x1，y1)， AP (x 1,1y1)，PB (x 0，y01) AP 2PB， x12x0， 1y12y01， 解得 x12x0， y132y0， 将 A，B 两点的坐标代入x 2 4 y2m， 得 x20 4 y20m， 2x02 4 32y02m， 即 x204y204m， x2032y02m， 两式相减，得 y01 4m 3 4. x204m4y201 4m 25 2m 9 4，m1， 当 m 5 2 2 1 4 5 时，x 2 0取得最大值，此时|x0|最大 课时精练课时精练 1与椭圆 9x24y236 有相同焦点，且满足短半轴长为 25的椭圆方程是() A.x 2 25 y
22、2 201 B.x 2 20 y2 251 C.x 2 20 y2 451 D.x 2 80 y2 851 答案B 解析由 9x24y236 可得x 2 4 y 2 9 1，所以所求椭圆的焦点在 y 轴上，且 c2945，b 2 5，a225，所以所求椭圆方程为x 2 20 y2 251. 2若椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 4 答案C 解析依题意可知，cb， 又 a b2c2 2c， 椭圆的离心率 ec a 2 2 . 3已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆
23、在圆 C1内部且和圆 C1相内切， 和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为() A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 答案D 解析设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8， 所以 a8，c4，b a2c24 3， 故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为x 2 64 y2 481. 4(2021广东华附、省实、广雅、深中联考)设 F1，F2分别是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右
24、焦点，若在直线 xa 2 c 上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围 是() A. 0， 2 2B. 0， 3 3C. 2 2 ，1 D. 3 3 ，1 答案D 解析设 P a2 c ，m ，F1(c,0)，F2(c,0)， 由线段 PF1的中垂线过点 F2得|PF2|F1F2|， 即 a2 c c 2m22c， 得 m24c2 a2 c c 2a4 c22a 23c20， 即 3c42a2c2a40， 得 3e42e210，解得 e21 3， 又 0e1，故 3 3 e1. 5(多选)(2021湖南省衡阳八中月考)对于曲线 C： x2 4k y2 k11，下面
25、四个说法正确的是 () A曲线 C 不可能是椭圆 B“1k4”是“曲线 C 是椭圆”的充分不必要条件 C“曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3k4”的必要不充分条件 D“曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆”是“1k2.5”的充要条件 答案CD 解析对于 A，当 1k0， k10， k14k， 解得 2.5k4，所以“曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆”是“3k0， 4k0， 4kk1， 解 得 1k2.5，所以 D 正确 6 (多选)(2020海南模拟)设椭圆x 2 9 y 2 3 1 的右焦点为 F， 直线 ym(0m16 5 ，B(3,0)，则|PA|PB| 的最小值为_ 答案36m
26、2 解析如图，点 P 为线段 AB 与椭圆的交点时|PA|PB|最小，其最小值为|AB| 62m2 36m2. 8已知椭圆x 2 9 y 2 251 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，当 m 取最大值时，点 P 的坐 标是_ 答案(3,0)或(3,0) 解析记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2， 由题意知 a5，b3，|PF1|PF2|2a10. 则 m|PF1|PF2| |PF1|PF2| 2 225，当且仅当|PF1|PF2|5 时，等号成立， 即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25. 所以此时点 P 的坐标为(3,0)或(3,0) 9已知椭圆x 2 a2 y2 b
27、21(ab0)，F 为椭圆的右焦点，AB 为过原点 O 的弦，则ABF 面积的 最大值为_ 答案b a2b2 解析如图， 设 E 为椭圆的左焦点， 则 SABFSAOFSBOFSAOFSAOESAEFb a2b2. 10 (2019全国)设 F1， F2为椭圆 C： x2 36 y2 201 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限 若 MF1F2为等腰三角形，则 M 的坐标为_ 答案(3， 15) 解析不妨令 F1， F2分别为椭圆 C 的左、 右焦点， 根据题意可知 c 36204.因为MF1F2 为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84. 设 M(x，y)，则
28、x2 36 y2 201， |F1M|2x42y264， x0， y0， 得 x3， y 15， 所以 M 的坐标为(3， 15) 11.如图所示，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F 1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上 顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 2F2B ，求椭圆的方程 解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即 bc. 所以 a 2c，ec a 2 2 . (2)由题意知 A(0，b)，F2(1,0)，设 B(x，y)， 由AF2 2F2B
29、，得 2x11， 2yb， 解得 x3 2，y b 2. 代入x 2 a2 y2 b21，得 9 4 a2 b2 4 b2 1. 即 9 4a2 1 41，解得 a 23. 所以椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1. 12已知 F1，F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F1PF260. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 (1)解设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，|PF 1|m，|PF2|n，则 mn2a. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2m2n22mncos 60(mn)23mn 4a23mn4a23 mn 2 24a23
30、a2a2(当且仅当 mn 时取等号)，c2 a2 1 4， 即 e1 2.又 0eb0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F2的直线 交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1. (1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率 e. 解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故 a2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF2， 因此 2c|F1F2| |PF1|2|PF2|2 (2 2)2(2 2)22 3， 所以 c 3，从而 b 22(3)21， 故所求椭圆的标准方程为x 2 4 y21. (2)连接 F1Q，如图所示， 由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a. 从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|， 有|QF1|4a2|PF1|. 设|PF1|m，所以|QF1|4a2m，|QF2|2m2a， |PF2|2am， 又由 PF1PQ，|PF1|PQ|， 所以 |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， |QF1| 2|PF1|， 即 m2(2am)24c2， 4a2m 2m， 解得 c 6 4 m， a2 2 4 m， 所以 ec a 6 4 m 2 2 4 m 6 3.
