1、强化训练强化训练 4三角函数中的综合问题三角函数中的综合问题 1.(2020北京东城区模拟)九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自 成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几 何？”(一步1.5 米)意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为 () A.135 平方米B.270 平方米 C.540 平方米D.1 080 平方米 答案B 解析根据扇形的面积公式，S1 2lr 1 245 24 2 270(平方米). 2.(2021日照联考)在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点在原点 O，以 x 轴非负半轴为始边
2、， 终边经过点 P(1，m)(m0)，则下列各式的值恒大于 0 的是() A.sin cos B.sin cos C.sin cos D.sin tan 答案D 解析由题意知 sin 0，sin cos 的符号不确定，A 不成立；sin cos 0，B 不成立；sin cos 0，C 不成立；tan 0，D 成立. 3.(2021张家口质检)已知锐角满足 3cos 21sin 2，则 cos 等于() A.2 5 5 B. 5 5 C. 6 5 D. 19 5 答案A 解析3cos 21sin 2可化简为 3(cos2sin2)sin2cos22sin cos ， 即 3(cos sin )(
3、sin cos )(sin cos )2， 因为为锐角，所以 3(cos sin )sin cos ， 化简得到 cos 2sin ， 代入 sin2cos21，解得 cos 2 5 5 . 4.(2020东三省四市模拟)已知直线 y2 与函数 f(x)2sin x 3 (其中0)的相邻两交点 间的距离为，则函数 f(x)的单调递增区间为() A. k 6，k 5 6 ，kZ B. k 12，k 5 12 ，kZ C. k5 6 ，k11 6，kZ D. k5 6 ，k11 12 ，kZ 答案B 解析y2 与函数 f(x)2sin x 3 (其中0)的相邻两交点间的距离为， 函数的周期 T，即
4、2 ，得2， 则 f(x)2sin 2x 3 ， 由 2k 22x 32k 2，kZ， 得 k 12xk 5 12，kZ， 即函数 f(x)的单调递增区间为 k 12，k 5 12 ，kZ. 5.(多选)给出下列函数：ycos|2x|；y|cos x|；ycos 2x 6 ；ytan 2x 4 .其中 最小正周期为的有() A.B.C.D. 答案ABC 解析中，ycos|2x|cos 2x，其最小正周期为；中，知 y|cos x|是 ycos x 将 x 轴下 方的部分向上翻折得到的， 故周期减半， 即 y|cos x|的最小正周期为； 中， ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； 中
5、，ytan 2x 4 的最小正周期 T 2. 6.(多选)(2020宁德模拟)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期为，且将图象 向右平移 12个单位长度后得到的函数为偶函数，则下列关于 f(x)的说法错误的是( ) A.关于点 5 12，0对称B.关于直线 x 6对称 C.在 12， 5 12 上单调递增D.在 12， 7 12 上单调递减 答案ABD 解析f(x)的最小正周期为， T2 ，得2， 此时 f(x)sin(2x)， 将图象向右平移 12个单位长度后得到 ysin 2 x 12 sin 2x 6 ， 若函数为偶函数，则 6k 2，kZ， 得k2 3 ，kZ， |
6、0，0)，则 A_，b _. 答案 5 2 1 2 解析cos2xsin 2x1cos 2x 2 sin 2x 1 2cos 2xsin 2x 1 2 5 2 cos(2x)1 2 5 2 sin 2x 2 1 2(其中 tan 2)， A 5 2 ，b1 2. 9.(2020邯郸模拟)已知为锐角，且 tan m，cos 2 m2 m24，则 sin 2 4 _. 答案 2 3 1 2 解析cos 2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1m 2 1m2 m2 m24，解得 m 22， cos 21 3， 0 2，020)的最小正周期为，且对 xR，f(x)f 3 恒成
7、立，若函数 yf(x)在0，a上单调递减，则 a 的最大值为_. 答案 3 解析因为函数 f(x)cos(x)的最小正周期为，所以2 2， 又对任意的 x，都使得 f(x)f 3 ， 所以函数 f(x)在 x 3处取得最小值， 则2 3 2k，kZ， 即 32k，kZ， 所以 f(x)cos 2x 3 ， 令 2k2x 32k，kZ， 解得 6kx 3k，kZ， 则函数 yf(x)在 0， 3 上单调递减， 故 a 的最大值是 3. 11.已知函数 f(x) 3cos2xsin x 3 sin x 6 3 2 . (1)求 f(x)的最小正周期及对称中心； (2)若 f()1 6，且 12，
8、3 ，求 cos 2的值. 解(1)f(x) 31cos 2x 2 sin 2x 6 sin x 6 3 2 3 2 cos 2x1 22cos x 6 sin x 6 3 2 cos 2x1 2sin 2x 3 3 2 cos 2x1 2 sin 2x1 2cos 2x 3 2 1 2 sin 2x1 2cos 2x 3 2 1 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . 由 2x 3k，kZ 得 x k 2 6，kZ，所以 f(x)的对称中心为 k 2 6，0，kZ. (2)由 f()1 6得 sin 2 3 1 3， 因为 12， 3 ，所以 2 3 2， 所以 c
9、os 2 3 1sin2 2 3 1 1 3 22 2 3 ， 所以 cos 2cos 2 3 3 cos 2 3 cos 3sin 2 3 sin 3 2 2 3 1 2 1 3 3 2 32 2 6 . 12.设 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)把函数 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象 向左平移 3个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g 6 的值. 解(1)由 f(x)2 3sin(x)sin x(sin xcos x)2 2 3sin2x(12sin
10、xcos x) 3(1cos 2x)sin 2x1 sin 2x 3cos 2x 31 2sin 2x 3 31. 由 2k 22x 32k 2(kZ)， 得 k 12xk 5 12(kZ). 所以 f(x)的单调递增区间是 k 12，k 5 12 (kZ) 或 k 12，k 5 12 kZ . (2)由(1)知 f(x)2sin 2x 3 31， 把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得到 y2sin x 3 31 的图象， 再把得到的图象向左平移 3个单位长度， 得到 y2sin x 31 的图象， 即 g(x)2sin x 31. 所以 g 6 2si
11、n 6 31 3. 13.(2020厦门质检)已知函数 f(x)sin x 6 cos x(0)在0，上的值域为 3 2， 3，则 实数的取值范围是() A. 1 6， 1 3B. 1 6， 1 2C. 1 3， 1 2D. 1 2，1 答案A 解析f(x)sin x 6 cos x 3 2 sin x3 2cos x 3sin x 3 ， 因为 x0，所以x 3 3， 3 ， 因为 f(x)在0，上的值域为 3 2， 3， 所以 2 3 2 3 ，所以1 6 1 3. 14.已知函数 f(x)2cos(x)1 0，|1 对任意 x 12， 6 恒成立，则的取值范围是_. 答案 4，0 解析由
12、题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个 交点的距离为2 3 ，f(x)的周期 T2 3 ，2 2 3 ，解得3， f(x)2cos(3x)1.f(x)1 对任意 x 12， 6 恒成立，2cos(3x)11，即 cos(3x )0 对任意 x 12， 6 恒成立， 42k 2，kZ 且 22k 2，kZ，解 得2k 4，kZ 且2k，kZ，即 2k 42k，kZ.结合| 2可得，的取值范 围为 4，0. 15.(2020安庆模拟)已知函数 f(x)2(|cos x|cos x)sin x，给出下列五个命题： f(x)的最小正周期为； f(x)的图象关
13、于直线 x 4对称； f(x)在区间 4， 4 上单调递增； f(x)的值域为2,2； f(x)在区间2，2上有 6 个零点. 其中所有正确的编号是() A.B. C.D. 答案C 解析f(x)2(|cos x|cos x)sin x2|cos x|sin xsin 2x，函数 f 3 3，f 4 3 0， f 3 f 4 3 ，故函数 f(x)的最小正周期不是，故错误； 由于 f 2x2 |cos 2x |cos 2xsin 2x2(|sin x|sin x)cos xf(x)， 故 f(x)的图象不关于直线 x 4对称，故错误；在区间 4， 4 上，2x 2， 2 ， f(x)2|cos
14、x|sin xsin 2x2sin 2x 单调递增，故正确；当 cos x0 时，f(x)2|cos x|sin x sin 2x2sin xcos xsin 2x2sin 2x，故它的最大值为 2，最小值为2；当 cos x0 时，f(x) 2|cos x|sin xsin 2x2sin xcos xsin 2x0，综合可得，函数 f(x)的最大值为 2，最小值 为2，故正确；当 cos x0 时，f(x)0，在区间2，2上有无数个零点，故错误. 16.如图所示，四边形 ABCD 是一块边长为 7 米的正方形铁皮，其中 ATN 是一半径为 6 米的 扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利
15、用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边 落在 BC 与 CD 上的长方形铁皮 PQCR，其中 P 是弧 TN 上一点.设TAP，长方形 PQCR 的面积为 S 平方米. (1)求 S 关于的函数解析式； (2)求 S 的最大值. 解(1)延长 RP 交 AB 于 E，延长 QP 交 AD 于 F(图略)， 由四边形 ABCD 是正方形，四边形 PRCQ 是矩形， 可知 PEAB，PFAD， 由TAP，可得 EP6sin ，FP6cos ， PR76sin ，PQ76cos ， SPRPQ(76sin )(76cos ) 4942(sin cos )36sin cos ， 故 S 关于的函数解析式为 S4942(sin cos )36sin cos 0 2 . (2)令 sin cos t，可得 t2(sin cos )212sin cos ， 即 sin cos t 21 2 ， S4942t18(t21)18t242t31. 又由 0 2，可得 4 4 3 4 ， 故 tsin cos 2sin 4 1， 2， S 关于 t 的表达式为 S18t242t31(t1， 2)， 又由 S18 t7 6 213 2 ，t1， 2， 可知当 t 2时，S 取最大值，最大值为(6742 2)平方米.
