1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 1 节导数的概念与导数的计算 知 识 梳 理 1函数 yf(x)在 xx0处的导数 (2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0， f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy0f(x0)(xx0) 2函数 yf(x)的导函数 如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成 一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开
2、区间内的导函数记作 f(x)或 y. 3基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x)c(c 为常数)f(x)0 f(x)x(Q)f(x)x 1 f(x)sin xf(x)cos_x f(x)cos xf(x)sin_x f(x)exf(x)ex f(x)ax(a0 且 a1)f(x)axln_a 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 f(x)ln xf(x)1 x f(x)logax (a0，a1)f(x) 1 xln a 4.导数的运算法则 若 f
3、(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 1f(x0)与 x0的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同 2f(x0)不一定为 0，但f(x0)一定为 0. 3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函 数
4、4函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化 的方向， 其大小|f(x)|反映了变化的快慢， |f(x)|越大， 曲线在这点处的切线越“陡” 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同() (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点() (3)(2x)x2x 1.( ) (4)若 f(x)e2x，则 f(x)e2x.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)f(x0)是函数 f(x)在 x0处的导数，(f(x0)是常数 f(x0)的导数即(f(x0)0； (3)(2x)2xln 2； 本资料分享自新人教版高
5、中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (4)(e2x)2e2x. 2函数 yxcos xsin x 的导数为() Axsin xBxsin xCxcos xDxcos x 答案B 解析y(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x. 3(2020全国卷)设函数 f(x) ex xa.若 f(1) e 4，则 a_ 答案1 解析f(x)e x（xa1） （xa）2 ，可得 f(1) ae （1a）2 e 4，即 a （1a）2 1 4，解得 a 1.
6、4(2019全国卷)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_ 答案y3x 解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 ke033，所以所求切线方程为 y3x. 5(2021南通一调)若曲线 yxln x 在 x1 与 xt 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为_ 答案e 2 解析因为 yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1， ln t2，te 2. 6(2021杭州四中仿真)已知函数 f(x)x3axb 的图象在点(1，f(1)处的切线方 程为 2xy50，则 a_；b_ 答案13 解析由题意得 f(x)3x2a，
7、则由切线方程得 f（1）1ab215， f（1）3a2， 解 得 a1，b3. 考点一导数的运算 【例 1】 求下列函数的导数： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)yx2sin x； (2)ycos x ex ； (3)yxsin 2x 2 cos 2x 2 ； (4)yln(2x5) 解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)y cos x ex（cos x）e xcos x（ex） （ex）2 sin
8、xcos x ex . (3)yxsin 2x 2 cos 2x 2 1 2xsin(4x) 1 2xsin 4x， y1 2sin 4x 1 2x4cos 4x 1 2sin 4x2xcos 4x. (4)令 u2x5，yln u. 则 y(ln u)u 1 2x52 2 2x5， 即 y 2 2x5. 感悟升华求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再 求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根
9、式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导 【训练 1】 分别求下列函数的导数： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)yexln x；(2)yx x21 x 1 x3； (3)yxsinx 2cos x 2；(4)yln 12x. 解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex1 x ln x1 x ex. (2)yx311 x2，y3x 2
10、2 x3. (3)yx1 2sin x，y1 1 2cos x. (4)yln 12x1 2ln(12x)， y1 2 1 12x(12x) 1 12x. 考点二导数的几何意义 角度 1求切线的方程 【例 21】 (1)(2019全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程 为() Axy10B2xy210 C2xy210Dxy10 (2)已知曲线 y1 3x 3上一点 P 2，8 3 ，则过点 P 的切线方程为_ 答案(1)C(2)3x3y20 或 12x3y160 解析(1)设 yf(x)2sin xcos x，则 f(x)2cos xsin x，f()2，曲线 在点(
11、，1)处的切线方程为 y(1)2(x)，即 2xy210.故选 C. (2)设切点坐标为 x0，1 3x 3 0 ，由 y 1 3x 3 x2，得 y|xx0 x20， 即过点 P 的切线的斜率为 x20， 又切线过点 P 2，8 3 ，若 x02，则 x20 1 3x 3 08 3 x02 ， 解得 x01，此时切线的斜率为 1；若 x02，则切线的斜率为 4. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故所求的切线方程是 y8 3x2 或 y 8 34(x2
12、)， 即 3x3y20 或 12x3y160. 角度 2求参数的值 【例 22】 (1)(2020嘉兴期末)设曲线 yx1 x2在点(1，2)处的切线与直线 ax byc0 垂直，则a b( ) A.1 3 B1 3 C3D3 (2)(2021苏州调研)已知直线 ykx2 与曲线 yxln x 相切，则实数 k 的值为 _ 答案(1)B(2)1ln 2 解析(1)由题可得 y 3 （x2）2，所以曲线在点(1，2)处的切线的斜率为3. 因为切线与直线 axbyc0 垂直，所以3 a b 1，解得a b 1 3，故选 B. (2)设切点为(m，mln m)，y1ln x，y|xm1ln m， y
13、mln m(1ln m)(xm)， 即 y(1ln m)xm，又 ykx2， 1ln mk， m2， 即 k1ln 2. 角度 3公切线问题 【例 23】(一题多解)已知曲线 yxln x 在点(1， 1)处的切线与曲线 yax2(a 2)x1 相切，则 a_ 答案8 解析法一yxln x， y11 x，y| x12. 曲线 yxln x 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122
14、854 期待你的加入与分享 a0(当 a0 时曲线变为 y2x1 与已知直线平行) 由 y2x1， yax2（a2）x1消去 y，得 ax 2ax20. 由a28a0，解得 a8. 法二同法一得切线方程为 y2x1. 设 y2x1 与曲线 yax2(a2)x1 相切于点(x0，ax20(a2)x01) y2ax(a2)，y|xx02ax0(a2) 由 2ax0（a2）2， ax20（a2）x012x01，解得 x01 2， a8. 感悟升华(1)求切线方程的方法： 求曲线在点 P 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在点 P 处的导数， 然后利用点斜式写出切线方程； 求曲线过点 P 的
15、切线，则 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切 点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程 (2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数 的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在 曲线上 【训练 2】 (1)(角度 1)(2019天津卷)曲线 ycos xx 2在点(0，1)处的切线方程为 _ (2)(角度 2)已知曲线 f(x)ax3ln x 在(1，f(1)处的切线的斜率为 2，则实数 a 的 值是_ (3)(角度 3)(2020全国卷)若直线 l 与曲线 y x和圆 x2y21 5都相切，则 l 的方 程为() Ay2x1
16、By2x1 2 Cy1 2x1 Dy1 2x 1 2 答案(1)y1 2x1 (2)1 3 (3)D 解析(1)ysin x1 2，将 x0 代入， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 可得切线斜率为1 2. 所以切线方程为 y11 2x，即 y 1 2x1. (2)f(x)3ax21 x， 则 f(1)3a12，解得 a1 3. (3)易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 ykxb，则 |b| k21 5 5 .设直线 l 与曲线 y x的切点坐
17、标为(x0， x0)(x00)，则 y|xx01 2x 01 2k ， x0 kx0b，由可得 b1 2 x0，将 b1 2 x0，k1 2x 01 2代入得 x 01 或 x0 1 5(舍去)，所以 kb 1 2，故直线 l 的方程 y 1 2x 1 2. 基础巩固题组 一、选择题 1(2020全国卷)函数 f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为() Ay2x1By2x1 Cy2x3Dy2x1 答案B 解析f(1)121，切点坐标为(1，1)， 又 f(x)4x36x2， 所以切线的斜率 kf(1)4136122， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1.故选 B. 2设
18、曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，则 a() A0B1C2D3 答案D 解析yeaxln(x1)，yaeax 1 x1，当 x0 时，ya1.曲线 y eaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3.故选 D. 3 若曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1， 则 P 点的坐标为 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 () A(1，3)B(1，3) C(1，3)或(1，3)D(1，
19、3) 答案C 解析f(x)3x21，令 f(x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1，P(1，3) 或(1，3)，经检验点(1，3)，(1，3)均不在直线 y2x1 上，故选 C. 4已知 f(x)的导函数为 f(x)，若满足 xf(x)f(x)x2x，且 f(1)1，则 f(x)的解 析式可能是() Ax2xln xxBx2xln xx Cx2xln xxDx22xln xx 答案C 解析由选项知 f(x)的定义域为(0，)，由题意得xf（x）f（x） x2 11 x，即 f（x） x11 x，故 f（x） x xln xc(c 为待定常数)，即 f(x)x2(ln xc)x.又 f(1
20、)1，则 c0，故选 C. 5(一题多解)(2018全国卷)设函数 f(x)x3(a1)x2ax.若 f(x)为奇函数，则 曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为() Ay2xByx Cy2xDyx 答案D 解析法一因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，所以 f(x)f(x)，所 以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以 2(a1)x20.因为 xR，所以 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 yx.故选 D. 法二因为函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，所以 f(
21、1)f(1)0，所以1 a1a(1a1a)0， 解得 a1， 此时 f(x)x3x(经检验， f(x)为奇函数)， 所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 y x.故选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法三易知 f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为 f(x)为奇函数，所以 函数 g(x)x2(a1)xa 为偶函数， 所以 a10， 解得 a1， 所以 f(x)x3x， 所以 f(
22、x)3x21，所以 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，0)处的切线方程为 y x.故选 D. 6(2021福州质检)已知函数 f(x)xsin x，f(x)为 f(x)的导函数，则函数 f(x)的部 分图象大致为() 答案A 解析因为 f(x)xsin x，所以 f(x)sin xxcos x， 又因为 f(x)sin(x)xcos(x)sin xxcos x(sin xxcos x)f(x)， 所以 f(x)为奇函数，排除 C，D；设 g(x)f(x)，则 g(x)2cos xxsin x，g(0)2， 排除 B，故选 A. 二、填空题 7(2020全国卷)曲线 yln xx1 的一
23、条切线的斜率为 2，则该切线的方程 为_ 答案2xy0 解析设切点坐标为(x0，y0)， 因为 yln xx1，所以 y1 x1， 所以切线的斜率为 1 x012，解得 x 01. 所以 y0ln 1112，即切点坐标为(1，2)， 所以切线方程为 y22(x1)，即 2xy0. 8若函数 f(x)ax3 x的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2，4)，则 a_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案2 解析f(x)a 3 x2，f(1)a3，f(1)
24、a3，故 f(x)的图象在点(1，a3)处的切 线方程为 y(a3)(a3)(x1)，又切线过点(2，4)，所以 4(a3)a3， 解得 a2. 9(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在 点 A 处的切线经过点(e， 1)(e 为自然对数的底数)， 则点 A 的坐标是_ 答案(e，1) 解析设 A(m，n)，则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yn1 m(xm) 又切线过点(e，1)，所以有 n11 m(me) 再由 nln m，解得 me，n1. 故点 A 的坐标为(e，1) 10若点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点
25、 P 到直线 yx2 距离的最小值 为_ 答案2 解析当曲线 yx2ln x 在点 P 处的切线与直线 yx2 平行时， 切点 P 到直线 yx2 的距离最小对函数 yx2ln x 求导，得 y2x1 x.由 2x 1 x1，可得 切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线 yx2 的距离为 2，即为所求的最小值 三、解答题 11已知点 M 是曲线 y1 3x 32x23x1 上任意一点，曲线在 M 处的切线为 l， 求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线 l 的倾斜角的取值范围 解(1)yx24x3(x2)211， 当 x2 时，ymin1，y5 3， 斜率最小的切线过点 2，5 3
26、，斜率 k1， 切线方程为 y5 31(x2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即 3x3y110. (2)由(1)得 k1，tan 1， 又0，)， 0， 2 3 4 ， . 故的取值范围为 0， 2 3 4 ， . 12已知曲线 y1 3x 34 3. (1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程 解(1)P(2，4)在曲线 y1 3x 34 3上，且 yx 2， 在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y|
27、x24. 曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)， 即 4xy40. (2)设曲线 y1 3x 34 3与过点 P(2，4)的切线相切于点 A x0，1 3x 3 04 3 ，则切线的斜率 为 y|xx0 x20. 切线方程为 y 1 3x 3 04 3 x20(xx0)，即 yx2 0 x2 3x 3 04 3.点 P(2，4)在切线上， 42x202 3x 3 04 3，即 x 3 03x2040，x30 x204x2040， x20(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02， 故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40. 能力提
28、升题组 13若曲线 yex在 x0 处的切线也是曲线 yln xb 的切线，则 b() A1B1C2De 答案C 解析yex的导数为 yex，则曲线 yex在 x0 处的切线斜率 k1， 则曲线 yex在 x0 处的切线方程为 y1x，即 yx1. 设 yx1 与 yln xb 相切的切点为(m，m1) 又 y1 x，则 1 m1，解得 m1.所以切点坐标为(1，2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 2bln 1，得 b2. 14(2021温州适
29、应性测试)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y1 x(x0)在 点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_ 答案(1，1) 解析yex， 曲线 yex在点(0， 1) 处的切线的斜率 k1e01.设 P(m， n)， y1 x(x 0)的导数为 y1 x2(x0)，曲线 y 1 x(x0)在点 P 处的切线斜率 k 2 1 m2(m 0)，因为两切线垂直，所以 k1k21，所以 m1，n1，则点 P 的坐标为(1， 1) 15若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b_ 答案1ln 2 解析yln x2 的切线为 y 1 x1xln x 11
30、(设切点横坐标为 x1) yln(x1)的切线为 y 1 x21xln(x 21) x2 x21(设切点横坐标为 x 2) 1 x1 1 x21， ln x11ln（x21） x2 x21， 解得 x11 2，x 21 2， bln x111ln 2. 16 关于x的方程2|xa|ex有3个不同的实数解， 则实数a的取值范围为_ 答案(1ln 2，) 解析由题意，临界情况为 y2(xa)与 yex相切的情况， yex2，则 xln 2，所以切点坐标为(ln 2，2)， 则此时 a1ln 2， 所以只要 y2|xa|图象向左移动，都会产生 3 个交点， 所以 a1ln 2，即 a(1ln 2，)
31、 17设函数 f(x)axb x，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y12 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积 为定值，并求此定值 解(1)方程 7x4y120 可化为 y7 4x3， 当 x2 时，y1 2.又 f(x)a b x2，于是 2ab 2 1 2， ab 4 7 4， 解得 a1， b3. 故 f(
32、x)x3 x. (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点， 由 y1 3 x2知曲线在点 P(x 0，y0)处的切线方程为 yy0 13 x20(xx0)，即 y x03 x0 13 x20(xx0)令 x0，得 y 6 x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐 标为 0，6 x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0， 2x0) 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S 1 2| 6 x0|2x0|6. 故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值， 且此定值为 6. 18如图，从点 P1
33、(0，0)作 x 轴的垂线交曲线 yex于点 Q1(0，1)，曲线在 Q1点 处的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2，依次重复上述过 程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记 Pk点的坐标为(xk，0)(k1， 2，n) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)试求 xk与 xk1的关系(k2，n)； (2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|. 解(1)设点 Pk1的坐标是(xk1，0)， yex，yex， Qk1(xk1， exk 1)， 在点 Qk 1(xk1， exk1)处的切线方程是 yexk 1exk1(xxk 1)， 令 y0，则 xkxk11(k2，n) (2)x10，xkxk11， xk(k1)， |PkQk|exke (k1)， 于是有|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn| 1e 1e2e(n1) 1e n 1e 1 ee1 n e1 ， 即|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|ee 1n e1 .
