1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节基本不等式： abab 2 知 识 梳 理 1.基本不等式： abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号. (3)其中ab 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (2)ab ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (
2、3)a 2b2 2 ab 2 2 (a，bR)，当且仅当 ab 时取等号. (4)b a a b2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x0，y0 则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定 和最小). (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s 2 4 (简记：和定积 最大). 1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资
3、源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 式的逆用等，例如：ab ab 2 2 a 2b2 2 ， abab 2 a2b2 2 (a0，b0)等， 同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 2.使用基本不等式求最值， “一正” “二定” “三相等”三个条件缺一不可. 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 4.基本不等式的一般形式： 1 n(a 1a2a3an)na1a2an(其中 a1， a2， a3， ， an(0，)，当且仅当 a1a2a3an时等号成立). 诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误. (1)当 a0，b0 时，ab 2 ab.()
4、(2)两个不等式 a2b22ab 与ab 2 ab成立的条件是相同的.() (3)函数 yx1 x的最小值是 2.( ) (4)函数 f(x)sin x 4 sin x的最小值为 4.( ) (5)x0 且 y0 是x y y x2 的充要条件.( ) 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(2)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR； 不等式ab 2 ab成立的条件是 a0，b0. (3)函数 yx1 x值域是(，22，)，没有最小值. (4)函数 f(x)sin x 4 sin x无最小值. (5)xy0 是x y y x2 的充分必要条件. 2.设 x0，y0，且 xy18，则
5、 xy 的最大值为() A.80B.77C.81D.82 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案C 解析xy xy 2 2 81，当且仅当 xy9 时取等号. 3.(2021衢州、湖州、 丽水质检)若 a0， b0，则“ab4”是“ ab ab1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 解析因为 a0，b0，ab4，所以 ab ab ab 2 ab ab 2 4 2 1，当且仅当 ab 时，等号成
6、立，所以充分性成立；取 a20，b1 2，则 ab ab1，此时 ab104， 所以必要性不成立.综上，“ab4”是“ ab ab1”的充分不必要条件，故选 A. 4.(2020新高考海南卷改编)已知 a0，b0，且 ab1，则下列错误的是() A.a2b21 2 B.2a b1 2 C.log2alog2b2D. a b 2 答案C 解析因为 a0，b0，ab1，所以 ab2 ab，当且仅当 ab1 2时，等号 成立，即有 ab1 4. 对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121 4 1 2，故 A 正确； 对于 B，2a b22a11 22 2a， 因为 a0，所以 22a1，即 2
7、a b1 2，故 B 正确； 对于 C，log2alog2blog2ablog21 42，故 C 错误； 对于 D，由( a b)2ab2 ab12 ab2，得 a b 2，故 D 正确. 5.(必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大. 答案15 15 2 解析设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，
8、所以 Sxy1 2x(2y) 1 2 x2y 2 2 225 2 ，当且仅当 x2y，即 x15，y15 2 时取等 号. 6.已知正数 x，y 满足 xy1，则 xy 的取值范围为_，1 x x y的最小值为 _. 答案(1，1)3 解析正数 x，y 满足 xy1， y1x，0 x1， y1x， xy2x1，又 0 x1， 02x2，12x10，则 a 8 2a1的最小值为_. (3)设 0m1 2，若 1 m 2 12mk 22k 恒成立，则实数 k 的取值范围是_. 答案(1)1(2)7 2 (3)2，4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与
9、分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)因为 x5 4，所以 54x0， 则 f(x)4x2 1 4x5 54x 1 54x 3 2（54x） 1 54x3231. 当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，等号成立. 故 f(x)4x2 1 4x5的最大值为 1. (2)由题意可知 a 8 2a1a 1 2 4 a1 2 1 22 a1 2 4 a1 2 1 2 7 2， 当且仅当 a1 2 4 a1 2 ，即 a3 2时等号成立.所以 a 8 2a1的最小值为 7 2. (3)因为 0m1 2，则 02m1)的最小值为_.
10、(2)当 x0 时，x a x1(a0)的最小值为 3，则实数 a 的值为_. 答案(1)2 32(2)4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)yx 22 x1 （x 22x1）（2x2）3 x1 （x1） 22（x1）3 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当 x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立. (2)因为当 x0， a0 时， x a x1x1 a x112 a1， 当且仅当 x1 a x1 时，等号成立，又 x a x1(
11、a0)的最小值为 3，所以 2 a13，解得 a4. 考点二常数代换法、消元法求最值 【例 2】 (1)(2021浙江“超级全能生”联考)已知正数 x，y 满足 xy1，则 1 1x 1 12y的最小值是( ) A.33 28 B.7 6 C.32 2 5 D.6 5 (2)已知正实数 x，y 满足 xy2x3y42，则 xy5x4y 的最小值为_. 答案(1)C(2)55 解析(1)xy1，2x22y15， 1 1x 1 12y 1 5(2x22y 1) 2 22x 1 12y 1 5 324y 22x 22x 12y 32 2 5 ， 当且仅当 2x24y24x4y 10 时等号成立，故选
12、 C. (2)因为正实数 x， y 满足 xy2x3y42， 所以 y422x 3x 0 且 x0， 解得 0 x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2，则 xy 的最小值 为() A.3B.5C.7D.9 (2)若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则 4 a1 1 bc的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6 答案(1)C(2)3 解析(1)x0，y0，且 1 x1 1 y 1 2，x1y2 1 x1 1 y (x1y) 2 11 y x1 x1 y2 22 y x1 x1 y8，当且仅当 y x1 x1 y ，即 x3， y4 时取等号，xy7，故 xy 的最小值为 7. (2)由题
13、意可得 bc2a0，所以 0a0)，则由 题意得 t222x2y2t，即 22x2yt22t.因为 022x2y2 2x2y 2 2 ，即 0t2 2tt 2 2，当且仅当 2 x2y，即 xy1 时等号成立，解得 20，b0，且1 a 1 b ab，则 a 2b2的最小 值为() A.2B.2 2C.4D.4 2 (2)(2021金华一中月考)已知正实数 a，b 满足 ab1，则 2a a2b b ab2的最大值 是() A.2B.1 2 C.12 3 3 D.13 2 2 答案(1)C(2)C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分
14、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)因为 ab1 a 1 b2 1 a 1 b， 且 a0， b0， 解得 ab2， 则 a 2b22ab4， 当且仅当 ab 2时等号成立，所以 a2b2的最小值为 4，故选 C. (2)因为正实数 a，b 满足 ab1， 所以 2a a2b b ab2 2a a21a 1a a（1a）2 a1 a2a1. 令 ta1(1，2)，则原式 t t23t3 1 t3 t 3 1 2 33 32 3 3 12 3 3 . 当且仅当 t3 t ，即 t 3a1，a 31，b2 3时取等号，故选 C. 基础巩固题组
15、一、选择题 1.下列不等式一定成立的是() A.lg x21 4 lg x(x0) B.sin x 1 sin x2(xk，kZ) C.x212|x| D. 1 x211 答案C 解析当 x0 时，x21 42x 1 2x，所以 lg x21 4 lg x(x0)，故 A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当 xk，kZ 时， sin x 的正负不定，故 B 不正确；显然 C 正确；当 x0 时，有 1 x211，D 不正 确. 2.若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是() A. 1 ab 1 4 B.1 a 1 b1 C. ab2D.a2b28 本资料
16、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析4ab2 ab(当且仅当 ab 时，等号成立)，即 ab2，ab4， 1 ab 1 4， A， C 不成立； 1 a 1 b ab ab 4 ab1， B 不成立； a 2b2(ab)22ab162ab8， D 成立. 3.(2020诸暨期末)已知 a2b1(a0，b0)，则2b a 1 b的最小值为( ) A.4B.2 22 C.5 2 D.2 21 答案B 解析由题意得2b a 1 b 2b a a2b b 2
17、b a a b22 2b a a b22 22， 当且仅当 a 2b 21 时，等号成立，所以2b a 1 b的最小值为 2 22，故选 B. 4.若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是() A.4 3 B.5 3 C.2D.5 4 答案C 解析由 x0，y0，得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等 号成立)，12xy3xy30，即 xy2，当且仅当 x 3，y2 3 3 时取等号，xy 的最大值为 2. 5.已知 a0，b0，ab1 a 1 b，则 1 a 2 b的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.16 答案B 解析由 a
18、0，b0，ab1 a 1 b ab ab ，得 ab1， 则1 a 2 b2 1 a 2 b2 2.当且仅当 1 a 2 b， 即 a 2 2 ，b 2时等号成立.故选 B. 6.若实数 a，b 满足1 a 2 b ab，则 ab 的最小值为( ) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A. 2B.2C.2 2D.4 答案C 解析依题意知 a0，b0，则1 a 2 b2 2 ab 2 2 ab，当且仅当 1 a 2 b，即 b2a 时，“”成立.因为1 a
19、2 b ab，所以 ab 2 2 ab，即 ab2 2(当且仅当 a2 1 4， b2 5 4时等号成立)，所以 ab 的最小值为 2 2，故选 C. 7.(2020台州期末评估)已知实数 a，b 满足 a2b24，则 ab 的取值范围是() A.0，2B.2，0 C.(，22，)D.2，2 答案D 解析a2b24，根据基本不等式得 4a2b22|ab|，|ab|2， 2ab2，ab 的取值范围是2，2，故选 D. 8.已知 xy1 x 4 y8(x，y0)，则 xy 的最小值为( ) A.5 3B.9 C.4 26D.10 答案B 解析由 xy1 x 4 y8 得 xy8 1 x 4 y，则
20、(xy8)(xy) 1 x 4 y (xy)5 y x 4x y 52 y x 4x y 9，当且仅当y x 4x y ，即 y2x 时，等号成立，令 txy， 所以(t8)t9，解得 t1 或 t9，因为 xy0，所以 xy9，所以 xy 的 最小值为 9，故选 B. 9.已知 a，b，c，d0，)，abcd2，则(a2c2)(b2d2)的最大值是 () A.4B.8C.16D.32 答案C 解析 （a2c2） （b2d2）a 2c2b2d2 2 （ab） 2（cd）2 2 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中
21、数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (a2c2)(b2d2)16，当 ad2，bc0 或 bc2，ad0 时取到等号， 故选 C. 二、填空题 10.(2019天津卷)设 x0， y0， x2y5， 则（x1） （2y1） xy 的最小值为_. 答案4 3 解析x0，y0， xy0. x2y5，（x1） （2y1） xy 2xyx2y1 xy 2xy6 xy 2 xy 6 xy2 124 3， 当且仅当 2 xy 6 xy，即 x3，y1 或 x2，y 3 2时取等号. （x1） （2y1） xy 的最小值为 4 3. 11.(2021镇海中学模拟)已知a， b为正
22、数且a2b3， 则1 a 2 b的最小值是_. 答案3 解析因为 a， b0， 且 a2b3， 所以1 a 2 b 1 a 2 b a 3 2b 3 1 3 4 3 2 3 a b b a 5 3 2 32 a b b a 5 3 4 33，当且仅当 a b b a，即 ab1 时取等号. 12.(2018江苏卷)在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC120， ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_. 答案9 解析因为ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以ABDCBD 60，由三角形的面积公式可得 1 2a
23、csin 120 1 2a1sin 60 1 2c1sin 60， 化简得 acac， 又 a0， c0， 所以1 a 1 c1， 则 4ac(4ac) 1 a 1 c 5c a 4a c 52 c a 4a c 9，当且仅当 c2a 时取等号，故 4ac 的最小值为 9. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 13.若正数 a，b 满足1 a 1 b1，则 1 a1 9 b1的最小值为_. 答案6 解析正数 a，b 满足1 a 1 b1， abab，1 a
24、1 1 b0， 1 b1 1 a0， b1，a1， 则 1 a1 9 b12 9 （a1） （b1）2 9 ab（ab）16(当且仅当 a 4 3， b4 时等号成立)， 1 a1 9 b1的最小值为 6. 14.若实数 x， y， z 满足 x2y3z1， x24y29z21， 则 z 的最小值是_. 答案1 9 解析法一因为 19z2(x2y)22x2y(x2y)22 x2y 2 2 ，又 x2y1 3z，则 19z21 2(13z) 2，解得1 9z 1 3，即 z 的最小值为 1 9. 法二由 x2(2y)219z2，设 x 19z2cos ，2y 19z2sin ，则 13z 19z
25、2(cos sin ) 2（19z2）sin 4 ，由三角函数的有界性，得|1 3z| 2（19z2），解得1 9z 1 3，即 z 的最小值为 1 9. 能力提升题组 15.设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xy z 取得最大值时，2 x 1 y 2 z的 最大值为() A.0B.1C.9 4 D.3 答案B 解析由已知得 zx23xy4y2，(*) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则xy z xy x23xy4y2 1 x y
26、4y x 3 1，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*) 式，得 z2y2，所以2 x 1 y 2 z 1 y 1 y 1 y2 1 y1 2 11. 16.(一题多解)(2017北京卷改编)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的最小 值为_，最大值为_. 答案 1 2 1 解析法一x0，y0 且 xy1， 2 xyxy1，当且仅当 xy1 2时取等号，从而 0 xy 1 4， 因此 x2y2(xy)22xy12xy， 所以1 2x 2y21. 法二xy1，x0，y0， y1x，x0，1， x2y2x2(1x)22x22x12 x1 2 2 1 2，对称轴为 x 1 2，故
27、x 1 2时， 有最小值为1 2，x0 或 x1 时有最大值为 1. 法三可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围.AB上的点 到原点距离的范围为 2 2 ，1 ，则 x2y2的取值范围为 1 2，1. 17.(2021杭州四中仿真)设 ab2，b0，则当 a_时， 1 2|a| |a| b 取得最小值为_. 答案2 3 4 解析由于 ab2， 所以 1 2|a| |a| b ab 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b ， 由于 b0，|a|0， 所以 b 4|a| |a| b 2 b 4|a| |a| b 1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323
28、031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因此当 a0 时， 1 2|a| |a| b 的最小值是1 41 5 4. 当 a0 时， 1 2|a| |a| b 的最小值是1 41 3 4. 故 1 2|a| |a| b 的最小值为3 4，此时 b 4|a| |a| b ， a0， 即 a2. 18.(2020全国卷)设 a，b，cR，abc0，abc1. (1)证明：abbcca0； (2)用 maxa，b，c表示 a，b，c 的最大值，证明：maxa，b，c34. 证明(1)由题设可知 a，b，c 均不为零， 所以 abbcca1 2(abc) 2(a2b2c2)1 2(a 2b2c2)0，b0，c0. 由 bc（bc） 2 4 ，可得 abca 3 4 ， 当且仅当 bca 2时取等号，故 a 3 4， 所以 maxa，b，c34.
