1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 3 节平面向量的数量积及其应用 知 识 梳 理 1平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OA a，OB b，则AOB (0180)叫做向量 a 与 b 的夹角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos_，规定零向量与任一 向量的数量积为 0，即 0a0. (
2、3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos_的乘积 2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| aa x21y21. (3)夹角：cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20. (5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22. 3平面向量数量积的运算律 (1)a
3、bba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律) 1设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为，则 eaae |a|cos . 2当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，特别地，aa 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 |a|2或|a| a2. 3数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出 bc，两边 不能约去同一个向量 4两个向量的夹角为锐角，则有 ab
4、0，反之不成立；两个向量夹角为钝角， 则有 ab0，反之也不成立 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两个向量的夹角的范围是 0， 2 .() (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量() (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向 量() (4)若 ab0， 则 a 和 b 的夹角为锐角； 若 ab0， 则 a 和 b 的夹角为钝角 () (5)abac(a0)，则 bc.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)两个向量夹角的范围是0， (4)若 ab0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 ab0，a 和 b 的夹角可能为. (5)由
5、 abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c ，所以向量 b 和 c 不一 定相等 2(2021北京昌平区二模)在平行四边形 ABCD 中，ABCD，AB (2，2)，AD (2，1)，则AC DB () A3B2C3D4 答案C 解析在平行四边形 ABCD 中，ABCD，AB (2，2)，AD (2，1)， AC ABAD (4，1)，DB AB AD (0，3)， 则AC DB 40(1)(3)3. 3(2020全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，ab6，则 cos a，a b() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你
6、的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A31 35 B19 35 C.17 35 D.19 35 答案D 解析|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，cos a，aba（ab） |a|ab| a 2ab |a|ab| 256 57 19 35.故选 D. 4(必修 4P104 例 1 改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角120，则向量 b 在 向量 a 方向上的投影为_ 答案2 解析由数量积的定义知 b 在 a 方向上的投影为 |b|cos 4cos 1202. 5(2021浙江名校仿真训练四)
7、已知向量 a(1，x)，b(x，3)，若 a 与 b 共线， 则|a|_；若 ab，则|b|_ 答案23 解析a 与 b 共线得 13x20，解得 x 3，所以|a| 12（ 3）22.由 ab 得 x3x0，解得 x0，所以|b| 02323. 6设平面向量 a(2，1)，b(，1)(R)，则|a|_，若 a 与 b 的 夹角为钝角，则的取值范围是_ 答案5 1 2，2(2，) 解析a(2，1)，|a| 5，a 与 b 的夹角为钝角； cosa，b0，且 a，b 不平行； ab0，且 a，b 不平行；211 2，且2； 的取值范围是 1 2，2(2，) 考点一平面向量的数量积运算 【例 1】
8、 (1)(一题多解)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AF BC的值为( ) A5 8 B.1 8 C.1 4 D.11 8 (2)(2019天津卷)在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2 3，AD5，A30，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BD AE _ 答案(1)B(2)1 解析(1)法一如图所示，根据
9、已知得，DF 3 4AC ，所以AFAD DF 1 2AB 3 4AC ，BCACAB， 则AF BC 1 2AB 3 4AC (AC AB) 1 2AB AC1 2AB 23 4AC 23 4AC AB 3 4AC 21 2AB 21 4AC AB3 4 1 2 1 411cos 60 1 8.故选 B. 法二建立如图所示的平面直角坐标系 则 B 1 2，0，C 1 2，0，A 0， 3 2 ，所以BC (1，0) 易知|DE|1 2|AC|，FECACE60， 则|EF|1 4|AC| 1 4， 所以点 F 的坐标为 1 8， 3 8 ， 则AF 1 8， 5 3 8， 本资料分享自新人教
10、版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以AF BC 1 8， 5 3 8(1，0)1 8. (2)如图，E 在线段 CB 的延长线上， EBAD. DAB30，ABE30. AEBE，EAB30. 又AB2 3，BE2. AD5，EB 2 5AD . AE ABBEAB2 5AD . 又BD AD AB ， BD AE (AD AB )AB 2 5AD AD AB 2 5AD 2AB22 5AD AB 7 5|AD |AB |cos 302 55 2(2 3)2 7 552
11、 3 3 2 101221221. 感悟升华(1)求两个向量的数量积有三种方法： 利用定义； 利用向量的坐标运算； 利用数量积的几何意义 (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量 积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还 是互补 【训练 1】 (1)(一题多解)在 RtABC 中，BCA90，CB2，CA4，P 在边 AC 的中线 BD 上，则CP BP的最小值为( ) A1 2 B0C4D1 (2)(2021绍兴柯桥区模拟)已知ABC 中，C90，AB3，AC2，O 为ABC 所在平面内一点，并且满足OA 2OB 3OC 0，记
12、I1OA OB ，I2OB OC ，I3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 OC OA ，则() AI1I2I3BI2I1I3 CI1I3I2DI3I1I2 答案(1)A(2)A 解析(1)法一由题意知，BD2 2，且CBD45. 因为点 P 在 AC 边的中线 BD 上， 所以设BP BD (01)， 如图所示， 所以CP BP (CB BP )BP (CB BD )BD CB BD 2BD 2|CB |BD |cos 135 2(2 2)28248
13、1 4 2 1 2，当 1 4时，CP BP取得最小值1 2，故选 A. 法二依题意，以 C 为坐标原点，分别以 AC，BC 所在的直线为 x 轴，y 轴，建 立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD 的方程为 y x2，因为点 P 在 AC 边的中线 BD 上，所以可设 P(t，2t)(0t2)，所以 CP (t，2t)，BP(t，t)，所以CPBPt2t(2t)2t22t2 t1 2 2 1 2，当 t1 2时，CP BP取得最小值1 2，故选 A. (2)如图建 立平面直角坐标系 Cxy，则 C(0，0)，A(0，2)，B( 5，0)设点 O(x，y)，
14、则OC (x，y)，OA (x，2y)，OB ( 5x，y)因为OA 2OB 3OC 0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 x2（ 5x）3x0， 2y2y3y0， 解得 x 5 3 ， y1 3， 故 I1OA OB 5 3， I 2OB OC 1， I3OC OA 0，所以 I1I20，b，e1b，e230. 由 be11，得|b|e1|cos 301，|b| 1 3 2 2 3 3 . 法二由题意可得，不妨设 e1(1，0)，e2 1 2，
15、 3 2 ，b(x，y) be1be21， x1，1 2x 3 2 y1，解得 y 3 3 . b 1， 3 3 ，|b|11 3 2 3 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)法一设 O 为坐标原点，aOA ，bOB (x，y)，e(1， 0)，由 b24eb30 得 x2y24x30，即(x2)2y2 1， 所以点 B 的轨迹是以 C(2， 0)为圆心， 1 为半径的圆 因 为 a 与 e 的夹角为 3，所以不妨令点 A 在射线 y 3x(
16、x0) 上，如图，数形结合可知|ab|min|CA |CB| 31.故选 A. 法二由 b24eb30 得 b24eb3e2(be)(b3e)0. 设 bOB ，eOE ，3eOF ，所以 beEB ，b3eFB，所 以EB FB0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直 径的圆上，如图，设 aOA ，作射线 OA，使得AOE 3，所 以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|CA |BC| 31.故选 A. 角度 2平面向量的夹角 【例 22】 (2021厦门质检一)两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向 量 ab 与 a 的夹角为() A. 6
17、B. 3 C.2 3 D.5 6 答案A 解析因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，即 a2b22aba2b22ab， 所以 ab0，所以 ab.因为|ab|2|b|，即 a2b2 4b2，所以|a| 3|b|.因为 |ab|2|b|，所以 cosab，a（ab）a |ab|a| a 2ab 2|b|a| 3b2 2 3b2 3 2 ，所以向量 ab 与 a 的夹角为 6. 角度 3平面向量的垂直 【例 23】 (1)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则() AabB|a|b| CabD|a|b| (2)(2021杭州市质检)设 a，b，c 为非零不共线的向量，若|atc(1t)
18、b|a c|(tR)，则() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A(ab)(ac)B(ab)(bc) C(ac)(ab)D(ac)(bc) 答案(1)A(2)D 解析(1)|ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab. ab0.ab. (2)设向量OA a，OB b，OC c，OD b，tc(1t)(b)OP ，则点 P 在直 线 DC 上， 则由|atc(1t)(b)|ac|得|OA OP |OA OC |， 即|PA |CA
19、|， 即点 A 到直线 DC 的最小距离为|CA|，则AC CD ，即(ac)(bc)，故选 D. 角度 4向量的投影 【例 24】 (1)(2021温州适考)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，ab1，则|a b|_，b 在 a 上的投影等于_ (2)(一题多解)已有正方形 ABCD 的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点， 则DE CB 的 值为_；DE DC 的最大值为_ 答案(1) 7 1 2 (2)11 解析(1)因为|ab|2(ab)2a2b22ab2212217，所以|ab| 7， b 在 a 上的投影为ab |a| 1 2. (2)法一如图，DE CB (DA AE
20、 )CBDA CB AECBDA21， DE DC (DA AE )DC 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 DA DC AE DC AE DC |AE |DC |DC |21. 法二以 A 为坐标原点，以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐 标系， 则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设 E(t，0)，t0，1， 则DE (t，1)，CB (0，1)， 所以DE CB (t，1)(0，1)1.因为DC (1
21、，0)， 所以DE DC (t，1)(1，0)t1， 故DE DC 的最大值为 1. 法三由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在CB 方向上的投影都是 CB1， DE CB |CB|11. 当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大即为 DC1， (DE DC )max|DC |11. 感悟升华(1)求两向量的夹角：cos ab |a|b|，要注意0， (2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2aa|a|2或|a| aa. |ab| （ab）2 a22abb2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享
22、自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 若 a(x，y)，则|a| x2y2. (3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|a b|. 【训练 2】 (1)(角度 1)设向量 a，b，c 满足 abc0，ab，|a|1，|b|2， 则|c|2() A1B2C4D5 (2)(角度 2)若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为 钝角，则 k 的取值范围是_ (3)(角度 3)(一题多解)(2020全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60， 则在下列 向量中，与 b 垂直的是() Aa2bB
23、2ab Ca2bD2ab (4)(角度 4)(2021广东四校联考)已知平面向量 a，b 是非零向量，|a|2，a(a 2b)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为() A1B1C2D2 答案(1)D(2) ，9 2 9 2，3(3)D(4)A 解析(1)abc0，所以 cab， |c|2a22abb21045. (2)2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b)c0， 即(2k3，6)(2，1)f(x)max2，所以 t2t2 或 t2t2，解得 t2 或 t0， 故不等式 t2t2 无实数解， 所以 t 的取值范围是(，1)(2，) 感悟升华此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解
24、决 【训练 3】 已知向量 a(cos x，sin x)，b( 6， 2)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解(1)由题意得 6cos x 2sin x0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 tan x 3，又 x0，所以 x 3. (2)f(x)ab 6cos x 2sin x 2 2sin x 3 ， 因为 x0，所以 x 3 3， 2 3 ， 即 f(x)的最大
25、值为 2 2，此时 x 3 2，于是 x 5 6 ； f(x)的最小值为 6，此时 x 3 3，于是 x0. 基础巩固题组 一、选择题 1(2021沈阳监测一)已知 a，b 均为单位向量，若 a，b 夹角为2 3 ，则|ab| () A. 7B. 6C. 5D 3 答案D 解析因为|ab|2a22abb21211 1 2 13，所以|ab| 3， 故选 D. 2(一题多解)(2021武汉调研)设向量 a(1，2)，b(0，1)，向量ab 与向 量 a3b 垂直，则实数() A.1 2 B1C1D1 2 答案B 解析法一因为 a(1，2)，b(0，1)，所以ab(，21)，a3b (1，1)，由
26、已知得(，21)(1，1)0，所以210，解得1，故选 B. 法二因为向量ab 与向量 a3b 垂直，所以(ab)(a3b)0， 所以|a|2(31)ab3|b|20，因为 a(1，2)，b(0，1)， 所以|a|25，|b|21，ab2，所以 52(31)310，解得1，故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 (2021北京延庆区模拟)ABC 的外接圆的圆心为 O， 半径为 1， 若 2OA AB AC 0，且|OA |AB |，则CACB(
27、 ) A.3 2 B. 3C3D2 3 答案C 解析2OA AB AC0，OB OC ，故点 O 是 BC 的中点，且ABC 为 直角三角形， 又ABC 外接圆半径为 1， |OA |AB |， 所以 BC2， CA 3， BCA 30，CA CB|CA|CB|cos 302 33 2 3. 4(2021北仑中学模拟)设向量 a，b 满足：|a|1，|b|2，a(ab)0，则 a 与 b 的夹角是() A30B60C90D120 答案D 解析设 a 与 b 的夹角为，因为|a|1，|b|2，a(ab)0，所以 a2ab1 2cos 0，即 cos 1 2，因为 0180，所以 a 与 b 的夹
28、角120，故选 D. 5(2021北京东城区综合练习)已知向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)， 那么下列结论正确的是() Aab 与 c 为共线向量Bab 与 c 垂直 Cab 与 a 的夹角为钝角Dab 与 b 的夹角为锐角 答案B 解析根据题意，向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)，则 ab(4， 8)，又由 c(2，1)，有(4)(1)(2)8，则(ab)与 c 不是共线向量， c(2，1)，则(ab)c(4)(2)(1)80，则(ab)与 c 垂直 6若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|4，则向量 a 在 ab 上的投影 为() A. 3B3C. 6
29、D6 答案B 解析由|ab|ab|，得 a22abb2a22abb2，即 ab0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由|ab|2|b|，得 a22abb24b2，即 a23b2，所以|a| 3|b|2 3，所以向 量 a 在 ab 上的投影为a（ab） |ab| a2 |ab|3. 二、填空题 7(2021北京朝阳区期末)已知四边形的顶点 A，B，C，D 在边长为 1 的正方形 网格中的位置如图所示，则AC DB _ 答案7 解析如图，以 A 为坐标原
30、点，以 AC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(4，2)，C(7，0)，D(3，2)， AC (7，0)，DB (1，4)， AC DB 71047. 8如图，四个边长为 1 的正方形排成一个正方形，AB 是大正方形的一条边，Pi(i 1，2，7)是小正方形的其余的顶点，则AB AP i(i1，2，7)的不同值的 个数为_ 答案3 解析AB AP|AB|AP|cosAB， AP20，或 21，或 22，有 3 个不同的 值 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48312
31、2854 期待你的加入与分享 9(2021浙江十校联盟适考)已知|a|2|b|2，ab1，b(tab)(tR)，则|a 2b|_，t_ 答案21 解析由题意得|a2b|2|a|24ab4|b|244(1)414，所以|a2b| 2，由 b(tab)得 b(tab)tab|b|2t10，解得 t1. 10(2021鄞州中学检测)在ABC 中，AB2 3，AC4，AD 13，D 为线段 BC 的中点，则 BC_，SABC_ 答案22 3 解析因为点 D 为线段 BC 的中点，所以AD 1 2(AB AC)，两边平方得|AD |2 1 4 (|AB |22AB AC |AC |2)，解得AB AC
32、12，则|BC |（AC AB）2 |AC |22ACAB|AB|22.cosAB， AC AB AC |AB |AC| 3 2 ，则 sinAB ， AC1 2， 所以 SABC1 2|AB|AC|sin BAC2 3. 11(2021广州测试)已知单位向量 e1与 e2的夹角为 3，若向量 e 12e2与 2e1ke2 的夹角为5 6 ，则实数 k 的值为_ 答案10 解析依题意，|e1|e2|1，e1e211cos 3 1 2.又向量 e 12e2与 2e1ke2的 夹 角 为 5 6 ， 所 以 (e1 2e2)(2e1 ke2) |e1 2e2|2e1 ke2|cos 5 6 124
33、1 241 2 4124k1 2k 212 3 2 .又(e12e2)(2e1ke2) 2e21ke1e24e1e22ke2245 2k，故整理得 85k 21 k 22k4，所以 85k0， （85k）221（k22k4） ，解得 k10. 三、解答题 12已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61， (1)求 a 与 b 的夹角； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)求|ab|； (3)若AB a，BCb，求ABC 的面积 解(1)(2a
34、3b)(2ab)61， 4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 644ab2761， ab6.cos ab |a|b| 6 43 1 2. 又 0，2 3 . (2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， |ab| 13. (3)AB 与BC的夹角2 3 ， ABC2 3 3. 又|AB |a|4，|BC|b|3， SABC1 2|AB |BC|sinABC1 243 3 2 3 3. 13已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的
35、x 的值 解(1)ab，3sin x 3cos x， 3sin x 3cos x0， 即 sin x 6 0. 0 x， 6x 6 7 6， x 6，x 5 6 . (2)f(x)ab3cos x 3sin x2 3sin x 3 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 x0，x 3 3， 2 3 ， 3 2 sin x 3 1， 2 3f(x)3， 当 x 3 3，即 x0 时，f(x)取得最大值 3； 当 x 3 2，即 x 5 6 时，f(x)取得最
36、小值2 3. 能力提升题组 14(2017浙江卷)如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2， CD3，AC 与 BD 交于点 O，记 I1OA OB ，I2OB OC ，I3OC OD ，则() AI1I2I3BI1I3I2 CI3I1I2DI2I1I3 答案C 解析如图所示，四边形 ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得 AOAF，而AFB90，AOB 与COD 为钝角，AOD 与BOC 为锐角， 根据题意，I1I2OA OB OB OC OB (OA OC )OB CA |OB |CA |cosAOB0， I1I3，作 AGBD 于 G， 又 ABAD， OB
37、BGGDOD，而 OAAFFCOC， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 |OA |OB |OC |OD |， 而 cosAOBcosCODOC OD ， 即 I1I3.I3I1 2)，点 P(rcos ，rsin )，则点 A(1，1)，B(1，1)，C(1， 1)，D(1，1)，所以PA (1rcos ，1rsin )，PB(1rcos ，1rsin )， PC (1rcos ，1rsin )，PD (1rcos ，1rsin )，所以PA PBr2
38、2rsin ，PA PC2r2，PAPD r22rcos ，PB PCr22rcos ，PBPD 2r2，PC PD r22rsin ，PA 22r22r(cos sin )，PB22r22r(cos sin )，PC 22r22r(cos sin )，PD22r22r(cos sin ).PAPC PB PD 42r2，为定值，故 A 正确；PA PBPBPCPCPD PD PA 4r2， 为定值，故 B 正确；当0 时，|PA |PB|PC|PD |2|PA |2|PB|；当 4时， |PA |PB|PC|PD |PA |PC|2|PB|，显然 2|PA|2|PB|PA|PC|2|PB|，
39、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故|PA |PB|PC|PD |不是定值， 故选项C 错误； PA 2PB2PC2PD284r2， 为定值，故选项 D 正确综上，故选 C. 16.(2018天津卷改编)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABBC， ADCD， BAD120， ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点， 则AE BE的最小值为_ 答案 21 16 解析以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， 建立如图的平面 直角坐标系， 因为
40、在平面四边形 ABCD 中，ABAD1，BAD120，所 以 A(0，0)，B(1，0)，D 1 2， 3 2 .设 C(1，m)，E(x，y)，所以 DC 3 2，m 3 2 ，AD 1 2， 3 2 ，因为 ADCD，所以 3 2，m 3 2 1 2， 3 2 0，则3 2( 1 2) 3 2 m 3 2 0，解得 m 3，即 C(1， 3)因为 E 在 CD 上， 所以 3 2 y 3，由 kCEkCD，得 3y 1x 3 3 2 11 2 ，即 x 3y2，因为AE (x， y)，BE (x1，y)，所以AEBE(x，y)(x1，y)x2xy2( 3y2)2 3y 2y24y25 3y
41、6，令 f(y)4y25 3y6，y 3 2 ， 3 .因为函数 f(y)4y2 5 3y6 在 3 2 ，5 3 8上单调递减，在 5 3 8 ， 3 上单调递增，所以 f(y)min 4 5 3 8 25 35 3 8 621 16.所以AE BE的最小值为21 16. 17(2021杭州质检)如图，在ABC 中，BAC2 3 ，AD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3DB ，P 为 CD 上一点，且满足AP mAC1 2AB ，若ABC 的面积为
42、 2 3. (1)求 m 的值； (2)求|AP |的最小值 解(1)由题意得AP mAC1 2AB mAC2 3AD ，且 C，P，D 三点共线， 所以 m2 31，即 m 1 3. (2)由(1)可知AP 1 3AC 1 2AB ， 设|AB |c，|AC|b， 所以 SABC1 2bcsin 2 3 2 3，解得 bc8， 所以|AP |2 1 3AC 1 2AB 2 b 2 9 c 2 4 1 3AC AB. 因为AC ABbccos2 3 4， 所以|AP |2b2 9 c 2 4 4 32 bc 6 4 3 4 3， 故|AP |2 3 3 ，当且仅当 b2 3，c4 3 3 时取
43、等号， 故|AP |的最小值为2 3 3 . 18在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c 1 2， 3 2 . (1)若|ab|c|，求 sin()的值； (2)设5 6 ，0，且 a(bc)，求的值 解(1)向量 a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，c 1 2， 3 2 ， |a|b|c|1，且 abcos sin sin cos sin() |ab|c|， |ab|2|c|2，即|a|22ab|b|21. 12sin()11，即 sin()1 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)5 6 ，a 3 2 ，1 2 . 依题意，bc sin 1 2，cos 3 2 . a(bc)， 3 2 cos 3 2 1 2 sin 1 2 0，化简得， 1 2sin 3 2 cos 1 2，sin 3 1 2. 0， 3 3 2 3 . 3 6，即 2.
