1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节含绝对值的不等式 知 识 梳 理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式a0a0a0 |x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R (2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法 |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的
2、思想； 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立； (2)|a|b|ab|a|b|； (3)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时， 等号成立. 1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法. 2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. 3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值， 要注意其中 等号成立的条件. 诊
3、断 自 测 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1.判断下列说法的正误. (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.() (2)不等式|x1|x2|2 的解集为.() (3)对于|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时等号成立.() (4)对于|a|b|ab|，当且仅当|a|b|时等号成立.() (5)对于|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时等号成立.() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)当 c0 时，x0；(3)当 a0b 且|a|b|时，
4、等号成立；(4)当 ab0 且|a|b|时，等号成立. 2.(2021浙江十校联盟联考)已知 a，bR，则“|a|1”是“|ab|b|1”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析当 a1，b3 时，满足|a|1，但此时|ab|b|51，充分性不成立； 若|ab|b|1，则有|ab|b|a|b|b|a|2|b|1，则|a|1，必要性成 立.综上所述，“|a|1”是“|ab|b|1”的必要不充分条件，故选 B. 3.(2020绍兴上虞区期末)若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3， 则实数 a 的值 为() A.5 或 8B
5、.1 或 5 C.1 或4D.4 或 8 答案D 解析分类讨论： 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 a2 时，f(x) 3x1a，xa 2， 显然 xa 2时，f(x) mina 21a3，a4， 当 a2 时，f(x) 3x1a，x1， 显然 xa 2时，f(x) mina 21a3，a8. 4.(2016浙江卷)已知函数 f(x)满足：f(x)|x|且 f(x)2x，xR.() A.若 f(a)|b|，则 abB.若 f(a)2b，则 ab C.
6、若 f(a)|b|，则 abD.若 f(a)2b，则 ab 答案B 解析若 f(a)|b|，则由已知条件 f(x)|x|得 f(a)|a|，即|a|b|，而 ab 不一定 成立，A 错误；若 f(a)2b，由 f(x)2x得 f(a)2a，则 2af(a)2b，则 ab，B 正确； 若 f(a)|b|， 由 f(x)|x|得 f(a)|a|.而 ab 不一定成立， C 错误； 若 f(a)2b， 由 f(x)2x得 f(a)2a，而 2a2b不一定成立，即 ab 不一定成立，D 错误. 5.已知函数 f(x)|x1|2|x1|，则不等式 f(x)1 的解集为_. 答案 2 3，2 解析当 x1
7、 时，f(x)x12x23x1， 解得 x2，此时 1x2； 当1x1，解得 x2 3，此时 2 3x1； 当 x1，解得 x4，此时无解. 综上可知2 3x0). (1)当 a1 时，则不等式 f(x)3x2 的解集为_. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，则 a 的值为_. 答案(1)x|x3 或 x1(2)2 解析(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|2. 由此可得 x3 或 x1. 故当
8、a1 时，不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3 或 x1. (2)由 f(x)0 得|xa|3x0. 此不等式化为不等式组 xa， xa3x0或 xa， ax3x0， 即 xa， xa 4 或 x0，所以不等式组的解集为 x|xa 2 . 由题设可得a 21，故 a 2. 考点一含绝对值的函数不等式的解法 【例 1】 (1)(2017浙江卷)已知 aR，函数 f(x)|x4 xa|a 在区间1，4上的 最大值是 5，则 a 的取值范围是_. 答案 ，9 2 解析当 x1，4时，x4 x4，5，下面对 a 分三种情况讨论： 当 a5 时， f(x)ax4 xa2ax 4 x， 函数的最大值为
9、 2a45， 解得 a 9 2(舍 去)； 当 a4 时，f(x)x4 xaax 4 x5，此时满足题意； 当 4a5 时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a， 则 |4a|a|5a|a， |4a|a5 或 |4a|a|5a|a， |5a|a5， 解得 a9 2或 4a 9 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 综上，a 的取值范围是 ，9 2 . (2)已知函数 f(x)|x1|x2|，求 f(x)5 的解集. 解法一如图，设数轴上与2，1
10、对应的点分别是 A，B，则不等式的解就是 数轴上到 A，B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数.显然，区间2，1 不是不等式的解集.把 A 向左移动一个单位到点 A1，此时 A1AA1B145.把 点 B 向右移动一个单位到点 B1，此时 B1AB1B5，故不等式的解集为(， 32，). 法二|x1|x2|5 x2， （x1）（x2）5或 2x1， （x1）x25 或 x1， x1x25，解得 x2 或 x3， 所求 f(x)5 的解集为(，32，). 法三将不等式转化为|x1|x2|50. 令 y|x1|x2|5，则 y 2x6，x2， 2，2x1， 2x4，x1. 作出函数的图象，
11、如图所示. 由图象可知，当 x(，32，)时，y0， 不等式的解集为(，32，). 感悟升华形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论 法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b， )(此处设 ab)三个部分， 在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求 解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 何意义：数轴上到点 x1a 和
12、 x2b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图象法：作出 函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合图象求解. 【训练 1】 (1)(2020江苏卷)设 xR，解不等式 f(x)2|x1|x|f(x1)的解 集. 解(1)法一(零点讨论法) 当 x0 时，原不等式可化为 2x2x4，解得 0 x2 3；当1x0 时，原不等 式可化为 2x2x4，解得1x0；当 x1 时，原不等式可化为2x2 x4，解得2x1. 综上，原不等式的解集为 x|2x2 3 . 法二本题也可构造函数，用图象法求解. (2)由题设知 f(x) x3，x1 3， 5x1，1 31. yf(x)的图象如图所示. 函数
13、 yf(x)的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf(x1)的图象，如图所 示. 易得 yf(x)的图象与 yf(x1)的图象的交点坐标为 7 6， 11 6 . 由图象可知，当且仅当 xf(x1)的解集为 ，7 6 . 考点二利用绝对值不等式求最值(或范围) 【例 2】 (1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值； (2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值. 解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1， |y1|y1|(y1)(y1)|2， |x1|x|y1|y1|123. |x1|x|y1|y1|的最小值为 3. (2)|x2y1|(
14、x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x 2y1|的最大值为 5. 感悟升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何 意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间 法. 【训练 2】 (1)x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则 xy 的取值范围为 _. 答案0，2 解析由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点 x 到 0，1 对应点的距离 之和，所以|x|x1|1，当且仅当 x0，1时取“”. 同理|y|y1|1，当且仅当 y0，1时取“”. |x|y|x1|y1|2. 而|x|y|x1|y1|2，
15、|x|y|x1|y1|2， 此时 x0，1，y0，1，(xy)0，2. (2)(2020全国卷)已知函数 f(x)|xa2|x2a1|. 当 a2 时，求不等式 f(x)4 的解集； 若 f(x)4，求 a 的取值范围. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解当 a2 时，f(x) 72x，x3， 1，34. 因此，不等式 f(x)4 的解集为 x|x 3 2或 x 11 2 . 因为 f(x)|xa2|x2a1|a22a1|(a1)2， 故当(a1)24
16、，即|a1|2 时，f(x)4. 所以当 a3 或 a1 时，f(x)4. 当1a3 时，f(a2)|a22a1|(a1)24. 所以 a 的取值范围是(，13，). 考点三含绝对值的不等式的综合应用 【例 3】 (1)(2019浙江卷)已知 aR，函数 f(x)ax3x.若存在 tR，使得|f(t2) f(t)|2 3，则实数 a 的最大值是_. 答案 4 3 解析由题意，得 f(t2)f(t) a(t2)3(t2)(at3t) a(t2)3t32 a(t2t)(t2)2(t2)tt22 2a(3t26t4)22a3(t1)212. 由|f(t2)f(t)|2 3， 得|2a3(t1)212
17、|2 3， 即2 32a3(t1) 2122 3， 2 3a3(t1) 214 3， 2 3 1 3（t1）21a 4 3 1 3（t1）21. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 设 g(t)4 3 1 3（t1）21， 则当 t1 时，g(t)max4 3. 当 t1 时，a 取得最大值4 3. (2)已知函数 f(x)|x1|. 若|a|1，|b|a|f b a . 证明f(ab)|a|f b a ， |ab1|ab|. 因为|a|1，|b|0， 所
18、以|ab1|ab|.故所证不等式成立. 感悟升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数 来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 【训练 3】 已知函数 f(x)|x1|x2|，则： (1)不等式 f(x)1 的解集为_； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，则 m 的取值范围为_. 答案(1)1，)(2) ，5 4 解析(1)f(x) 3，x2. 当 x2 时，f(x)31 恒成立. 故 f(x)1 的解集为1，). (2)不等式 f(x)x2xm 等价于 f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x 有 解. 又|x1|x2|x2x
19、|x|1|x|2x2|x| |x|3 2 2 5 4 5 4，当且仅当 x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 2时，|x1|x2|x 2x5 4.故 m 的取值范围是 ，5 4 . 基础巩固题组 一、选择题 1.已知 a，bR，则使不等式|ab|0B.ab0D.ab0 时，|ab|a|b|，当 ab0 时，|ab|f( 2)，则 a 的取值范围是( ) A. ，1 2B. ，1 2 3 2， C. 1 2， 3 2D. 3 2， 答案C 解析因为 f
20、(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以 f(x)f(x)，且 f(x)在(0，)上单调递减.由 f(2|a 1|)f( 2)，f( 2)f( 2)可 得 2|a 1| 2，即|a1|1 2，所以 1 2a1， 所以“a2b21”是“|a|b|1”的必要不充分条件，故选 B. 法二a2b21 与|a|b|1 分别表示平面直角坐标系 aOb 中的单位圆盘(单位 圆及圆内部)与正方形盘，如图，由正方形盘对应的集合为单位圆盘对应集合的真 子集知，“a2b21”是“|a|b|1”的必要不充分条件，故选 B. 7.(2021杭州质检)“a3”是“函数 f(x)|x1|xa|(xR
21、)的最小值等于 2” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案A 解析因为|x1|xa|x1(xa)|a1|，则|a1|2，解得 a3 或 a 1， 所以“a3”是“函数 f(x)|x1|xa|(xR)的最小值等于 2”的充分不 必要条件，故选 A. 8.设 x，yR，下列不等式成立的是() A.1|xy|xy|x|y| B.12|xy|x|y| C.12|xy|x|y|
22、D.|xy|2|xy|x|y| 答案A 解析对于 B，令 x100，y100，不成立；对于 C，令 x100，y 1 100，不 成立；对于 D，令 x1 2，y 1 2，不成立，故选 A. 9.设 f(x)1 ax 2bxc，不等式 f(x)f(1t2)，则 实数 t 的取值范围为() A.(3，1)B.(3，3)C.(1，3)D.(1，1) 答案B 解析f(x)0，f(x)的对称轴是 x1，且 ab2. f(x)在1，)上单调递增. 又7|t|7，1t21， 由 f(7|t|)f(1t2)，得 7|t|1t2. |t|2|t|60，解得3t3.故选 B. 10.设 a，b 为实数，则“|a
23、b2|ba2|1”是“ a1 2 2 b1 2 2 3 2”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析 a1 2 2 b1 2 2 3 2a 2a1 4b 2b1 4 3 2a 2ab2b1b2a a2b1，令 b2ax，a2by，则|x|y|xy|xy，所以|x|y|1x y1，故充分性成立，必要性不成立，故选 A. 二、填空题 11.若不等式|3xa|4 的解集
24、为 x|2 3x2，则实数 a 的值为_. 答案2 解析由|3xa|4 可得a4 3 x4a 3 . 因为解集为 x|2 3x2，所以 a4 3 2 3， 4a 3 2， 解得 a2. 12.若关于x的不等式|x|xa|b的解集为(2， 1)， 则实数对(a， b)为_. 答案(1，3) 解析由题意知2，1 是方程|x|xa|b 的两个根，则 2|a2|b， 1|a1|b，解得 a1， b3，所以实数对(a，b)(1，3). 能力提升题组 13.(2020金华十校调研)若 a，b，cR，且|a|1，|b|1，|c|1，则下列说法正 确的是() A.|abbcca 3 2| a 2| B.|ab
25、bcca 3 2| ab 2 | C.|abbcca 3 2| abc 2 | D.以上都不正确 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析当 a，b，c 都为 1 或1 时，abbcca 取得最大值，当 a，b，c 一个取 1， 另两个取 1 时， abbcca 取得最小值1， 由题意知， 1abbcca3， 对于 A，|abbcca 3 2|1 2，| a 2|1 2，显然不等式成立.对 a，b，c 分别取 特殊值，取 a1，b1，c0，排除 B
26、，取 a1，b0，c1，排除 C，故 选 A. 14.已知 f(x)2x24x1，设有 n 个不同的数 xi(i1，2，n)满足 0 x1x2xn3， 则满足|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|M 的 M 的最小值是() A.10B.8C.6D.2 答案A 解析f(x)2x24x12(x1)23， f(x)在0，1上单调递减，且 f(x)3，1，f(x)在1，3上单调递增，且 f(x) 3，5. |f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|f(0)f(1)|f(1)f(3)|28 10M，故 M 的最小值为 10. 15.记 maxp
27、，q p，pq， q，p0，若集合 AxZ|2x2xa2|2x2 xa2|2a中的元素有且仅有两个，则实数 a 的取值取值范围是_. 答案1，2) 解析|2x2xa2|2x2xa2|(2x2xa2)(2x2 xa2)|2a，当且仅当(2x2xa2)(2x2xa2)0， 即|2x2x2|a 时等号成立， 即集合 A 中的元素为使得|2x2x 2|a 成立的整数 x，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)|2x2x2|的图象，由 图易得要使不等式成立的集合 A 中元素的个数为两个， 即函数图象位于直线 ya 下方(包括函数图象与直线的交点)的部分有且仅有两个横坐标为整数的点，则 1a2，即实数 a 的取值范围为1，2).
