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3、+3在闭 区间0,3上的最大值为, 最小值为. 解析 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x 0,3,当x=1时,函数f(x)取得最小值2; 当x=3时,函数f(x)取得最大值6. 2 4.教材改编若函数y=x2+(a+2)x+3, xa,b的图像关于直线x=1对称,则 b=.6 题组二常错题 索引:二次函数的图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题出错; 二次函数的单调性理解不到位出错;忽略幂函数的定义域出错;幂函数的图像掌握 不到位出错. 5.如图2-7-1,若a0,则函数y=ax2+bx的大致图像是(填序号). 6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a0),若 f(m)
4、”“0时,根据题意知m1,所 以0m1;当m=0时,函数为 y=1(x0),符合题意;当m0时,函数 y=xm的图像过点(1,1),且在(0,+)上 单调递减,符合题意.综上所述,m的 取值范围是(-,1). C 图2-7-2 2.(多选题)若函数f(x)=(m2-m- 1)xm是幂函数,且f(x)的图像与 坐标轴无交点,则f(x)() A.是奇函数 B.是偶函数 C.是其定义域上的增函数 D.没有最小值 AD 3.2020武汉6月模拟若0ab1, m=ab,y=ba,z=bb,则m,y,z的大小关系为( ) A.mzyB.ymz C.yzmD.zym 解析因为0abz=bb,又幂函数 g(x
5、)=xb是增函数,故m=abz=bb,所以 mzy,故选A. A 总结反思幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中 要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等. 探究点二二次函数的解析式 例1 (1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过 P(1,1),Q(2,-1)两点,且抛物线在点Q处 的切线平行于直线y=x-3,则抛物线的 方程为 () A.y=3x2-11x+9 B.y=3x2+11x+9 C.y=3x2-11x-9 D.y=-3x2-11x+9 A 思路点拨利用导数的几何意义,结合已 知点的坐标,利用待定系数法求得结果. f(x)=-4x2-12x+4
6、0 思路点拨选用二次函数解析式的顶 点式,再由|x1-x2|=7求解. 总结反思求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般 式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x 轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 变式题 已知二次函数f(x)满足f(2)= -1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此 二次函数的解析式为 . f(x)=-4x2+4x+7 变式题 已知二次函数f(x)满足f(2)= -1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此 二次函数的解析式为 . f(x)=-4x2+4x+7 变式题 已知二次函数f(x)满足f(
7、2)= -1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此 二次函数的解析式为 . f(x)=-4x2+4x+7 探究点三二次函数的图像与性质问题 微点1通过图像识别二次函数 例2 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 2-7-3所示.给出下列说法:a+b+c0;abc0;b=2a.其中说法 正确的是.(填序号) 思路点拨根据图像,利用当x=1 时,y0以及图像与y轴 交点的纵坐标为正,图像的对称轴在y 轴左侧等信息即可得到结果. 探究点三二次函数的图像与性质问题 微点1通过图像识别二次函数 例2 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图 2-7-3所示.给出下列说法:a+b+c0;abc0
8、;b=2a.其中说法 正确的是.(填序号) 解析当x=1时,y=a+b+c0,故正确; 总结反思 一般地,给出了二次函数的图像,我们可以从图像中得到下列信 息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴方程;(4)特殊点的函数值的大小 (正负). B 思路点拨由于f(x)为R上的偶函数,因 此只需考虑函数f(x)在(0,+)上的单调 性即可. (2)已知函数f(x)=2x2-kx-4在区间-2,4上具有单调性,则k的取值范围是 . (-,-816,+) 总结反思 对于二次函数的单调性,关键是确定其图像的开口方向与对称轴的 位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解. 微点3
9、二次函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0,1上的最大值为2,则a的值为. -1或2 思路点拨分对称轴位于区间0,1的左侧、中间、右侧三种情况进行讨论. 总结反思 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、 轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区 间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分 类讨论. B 思路点拨令t=f(x),则ta,所以f(t)0对 任意ta恒成立,求出f(t)的最小值后,解 不等式即可. B 总结反思由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路:一是分离参 数,二是不分离参数.两种思路都是
10、将问题归结为求函数的最值,若不分离参数, 则一般需要对参数进行分类讨论求解;若分离参数,则af(x)恒成立 af(x)max,af(x)恒成立af(x)min. 应用演练 1. 【微点1】已知二次函数y=ax2+ bx+c(a0)的图像如图2-7-4所示,则下 列说法中正确的是() A.a0 B.当x1时,y随x的 增大而增大 C.c0 D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根 解析由二次函数y=ax2+bx+c(a0)的 图像开口向下,得a1时,y随x的增大而减小,所以B错误; 当x=0时,y=c0,所以C错误;函数图像 的对称轴方程是x=1,且当x=-1时,y=0, 所以当x=3时,y=0
11、,所以D正确.故选D. D 2.【微点3】已知函数f(x)=x2-6x+8, 且函数f(x)在1,a上的最小值为f(a), 则实数a的取值范围是 () A.(1,2 B.(1,3 C.(1,4 D.(1,5 解析由题易知f(x)图像的开口向上,对 称轴为直线x=3,f(x)在1,a上的最小 值为f(a),10的解集是x|1x4,求实数a和b的值; 6.【微点4】已知f(x)=ax2+bx-1(xR). (2)当b=2时,对于一切实数x,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围. 【备选理由】例1主要考查二次函数的图像,以及利用图像求最值问题;例2考 查了余弦函数的值域、二次函数的性质,掌握函数的性
12、质是解题的关键,意在 考查学生的转化能力;例3考查根据函数值域的关系求解参数范围,当两个函 数的值域的交集不为空集时,若从正面分析参数的范围较复杂时,可考虑交集 为空集时对应的参数范围,再求其补集即可求得结果;例4考查由二次函数值 域求解定义域中参数范围,二次函数对称性问题,常规求解思路为:先确定对称 轴,再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间.例5考查与二次函 数有关的恒成立问题. 例1配合例4使用2020北京一 零一中学月考若函数f(x)=x2-2x+1 在区间a,a+2上的最小值为4,则实 数a的取值集合为. 解析因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所 以函数f(x)图像的对称轴方程为x=1, 顶点坐标为(1,0).令x2-2x+1=4,得x2- 2x-3=0,解得x=-1或x=3,所以a+2=-1 或a=3,即a=-3或3,故实数a的取值集 合为-3,3. -3,3 例4配合例4使用已知函数f(x)= -x2+4x,xm,5的值域是-5,4,则实 数m的取值范围是() A.(-,-1)B.(-1,2 C.-1,2D.2,5) 解析如图,函数f(x)图像的对称轴方 程为x=2,且f(2)=4,当x=5时,f(5)=-5, 由二次函数的对称性可知f(-1)=-5, 由题意得m-1,2,故选C. C
