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3、; 而且在点x=a附近的左侧,右侧.则点a叫作函数y=f(x)的极小 值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧,右侧.则点b叫作函数y=f(x)的极大 值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. f(x)0 f(x)0f(x)MxD,f(x)minM xD,f(x)MxD,f(x)maxMxD,f(x)maxM x0D,f(x0)MxD,f(x)ming(x)xD,f(x)-g(x)mi
4、n0 (续表) 不等式类型与最值的关系 xD,f(x)g(x)xD,f(x)-g(x)maxg(x2)x1D1,x2D2,f(x1)ming(x2)max x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)ming(x2)min x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)maxg(x2)max x1D1,x2D2,f(x1)g(x2)x1D1,x2D2,f(x1)maxg(x2)min (注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不 等号也改变) 题组一常识题 1.教材改编 函数f(x)=x3-3x2+1的极 小值为. 解
5、析 f(x)=3x2-6x,令f(x)=3x2-6x=0,得 x1=0,x2=2.易知当x(-,0)时,f(x)0; 当x(0,2)时,f(x)0. 故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+ 1=-3. -3 2.教材改编 函数f(x)=x3-12x在区 间-3,3上的最大值是. 解析 由f(x)=3x2-12=0,得x=2, 易知x=-2为函数f(x)的极大值点, 故函数f(x)在区间-3,3上的最大值 f(x)max=maxf(-2),f(3)=max16,-9=16. 16 3.教材改编 当x0时,ln x,x,ex的 大小关系是. 4.教材改编 现有一块边长为a的 正方形铁片
6、,铁片的四角截去四个 边长均为x的小正方形,然后做成 一个无盖方盒,该方盒容积的最大 值是. 题组二常错题 索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念; 忽视连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题. 5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+ a2在x=1处取得极值10,则 a+b=.-7 5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+ a2在x=1处取得极值10,则 a+b=.-7 6.函数g(x)=-x2的极值点是, 函数f(x)=(x-1)3的极值点(填 “存在”或“不存在”). 解析 结合函数图像可知g(x)=-x2的 极值点是x=0. 因为f
7、(x)=3(x-1)20, 所以f(x)=0无变号零点, 所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点. 7.函数g(x)=x2在1,2上的最小值和最 大值分别是,在(1,2)上的最 小值和最大值均(填“存在” 或“不存在”). 解析 易知g(x)在1,2上单调递增, 故g(x)在1,2上的最小值为g(1)=1, 最大值为g(2)=4,根据最值的定义 可得g(x)在(1,2)上的最小值和最大 值均不存在. 8.对任意实数x,不等式sin xa恒成立,则 实数a的取值范围是;存在实数 x0,使不等式sin x0a成立,则实数a的取值 范围是. 解析 对任意实数x,不等式sin xa 恒成立,则(s
8、in x)maxa,即a1. 存在实数x0,使不等式sin x0a成立, 则(sin x)mina,即a-1. 1,+) -1,+) 探究点一利用导数解决函数的极值问题 微点1由图像判断函数极值 思路点拨 由y=xf(x)的图像可以得出y=f(x)在 各区间上的正负情况,然后可得f(x)在各区间上的 单调性,进而可得极值. 解析 由图像可知,当x=-3和x=3时,xf(x)=0,则 f(-3)=f(3)=0;当x0,则f(x)0;当-3x 0时,xf(x)0;当0 x0,则 f(x)0;当x3时,xf(x)0,则f(x)0,f(-1)0,f(-1)0,因此g(-1)0,不满足 条件.故选D.
9、D 2.【微点2】函数f(x)=x2-6x+2ex 的极值点所在的区间为() A.(0,1)B.(-1,0) C.(1,2)D.(-2,-1) 解析 f(x)=x2-6x+2ex,f(x)=2x-6+2ex, 且函数f(x)单调递增. 又f(0)=-6+2e0=-40, 函数f(x)在区间(0,1)内存在唯一的零点, 即函数f(x)的极值点在区间(0,1)内. 故选A. A 3.【微点2】2021南城二中月考 函数f(x)=x6-3x2有() A.一个极大值和一个极小值 B.两个极大值和一个极小值 C.一个极大值和两个极小值 D.两个极大值和两个极小值 解析 由题意知函数f(x)=x6-3x2
10、,则f(x)= 6x5-6x=6x(x2+1)(x-1)(x+1),令f(x)0,即 6x(x2+1)(x-1)(x+1)0,解得-1x1, 令f(x)0,即6x(x2+1)(x-1)(x+1)0,解得x- 1或0 x1,所以函数f(x)在区间(-1,0),(1, +)上单调递增,在区间(-,-1),(0,1)上单 调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极小 值,当x=0时,函数f(x)取得极大值,即函数 f(x)有一个极大值和两个极小值.故选C. C 4.【微点3】若函数f(x)=x3-3bx+3 在(-1,2)内有极值,则实数b的取值 范围是() A.(0,4)B.0,4) C.1,4)
11、D.(1,4) 解析 f(x)=3x2-3b,令f(x)=0,得x2=b. f(x)在(-1,2)内有极值,0b4. 若b=0,则f(x)=x3+3在R上单调递增,没有 极值,故0b4. 故选A. A B 思路点拨 利用导数求出函数f(x)在a=-1时的极大值,此极大值即为函数的最大值. 探究点二利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=ax+ln x,其中常数a0. (1)当a=-1时,求f(x)的最大值; 例4 已知函数f(x)=ax+ln x,其中常数a1时,对任意的x0,1,ax-10,ln a0, 恒有f(x)0;当0a1时,对任意的x0,1,ax-10,ln a0.所以f
12、(x)在0,1上单调递增.对任意的x1,x2 0,1,不等式|f(x2)-f(x1)|a-2恒成立,则f(x)max-f(x)mina-2, f(x)max=f(1)=a+e-ln a,f(x)min=f(0)=1+1=2,所以a-2a+e- ln a-2,即ln ae,得aee.故选B. B 变式题 (1)2020南充三诊 已知函 数f(x)=aex-x+2a2-3的值域为M,集 合I=(0,+),若IM,则实数a的取 值范围是. (-,1 (2)2020合肥二模 若关于x的 不等式ax-2a2x-ln x-4有且只 有两个整数解,则实数a的取值 范围是() A.(2-ln 3,2-ln 2
13、 B.(-,2-ln 2) C.(-,2-ln 3 D.(-,2-ln 3) C (2)2020合肥二模 若关于x的不等式ax- 2a2x-ln x-4有且只有两个整数解,则实 数a的取值范围是() A.(2-ln 3,2-ln 2 B.(-,2-ln 2) C.(-,2-ln 3 D.(-,2-ln 3) C 探究点三利用导数解决实际问题 图2-15-3 图2-15-3 令f(x)=0,得x=20. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下: 所以当x=20时,f(x)取得最小值. 答:当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低. x(0,20)20(20,40) f(x)-0+ f(
14、x)极小值 总结反思 (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取 合适的自变量建立函数模型. (2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为 实际问题的答案. D 图2-15-4 D 图2-15-4 【备选理由】例1通过图像考查导数的几何意义、函数的单调性与极值,分析 图像不难求解;例2考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力及转 化思想,利用求导得到函数的单调性进而求得最值是解题的关键;例3考查根 据函数的极值求参数的取值范围,考查学生的转化能力和运算能力;例4考查 利用导数求函数最值、单调区间以及利用放缩法证不等式、利用裂项相消 法求和,考
15、查综合分析论证与求解能力,属于难题;例5考查导数在实际问题中 的应用,根据题意建立函数关系式是解题的关键,考查分析问题和解决问题的 能力. 例1 配合例1使用 如图,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0) 处的切线方程为y=g(x),设h(x)=g(x)-f(x),h(x)为h(x)的 导函数,则下列结论中正确的是() A.h(x0)=0,x0是h(x)的极大值点 B.h(x0)=0,x0是h(x)的极小值点 C.h(x0)0,x0不是h(x)的极值点 D.h(x0)0,x0是h(x)的极值点 解析 由题得,当x (-,x0)时,h(x)单调递 减,当x(x0,+)时, h(x)单调递增
16、,又h(x0) =g(x0)-f(x0)=0,则x0 是h(x)的极小值点, 故选B. B B B 例4 配合例4使用2020河南部分重 点高中联考 已知函数f(x)=xln x-ax+3 的最小值为2. (1)求a的值以及f(x)的单调区间; 例5 配合例6使用 如图所示,ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的 等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个 点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三 角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm. (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问 x应取何值? 例5 配合例6使用 如图所示,ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的 等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个 点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状 的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三 角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm. (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应 取何值?
