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2、如您遇到有关课件技术方面的问题，请打开网页 或致电010-58818058；有关内容方面的问题，请致电010-58818084。 新高考2 课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题 第二单元 函数、导数及其应用 第 14 讲导数与函数的单调性 考试说明 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 导数到 单调性 单调递增 在区间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在这个区间上单调 单调递减 在区间(a,b)上,若f(x)0,解得x0, 故其单调递增区间是(0,+). (0,+) 2.教材改编比较大小
3、: xlnx(x(1,+). 3.教材改编函数y=ax3-1在 (-,+)上是减函数,则实数a 的取值范围为. 解析 y=3ax2,函数在区间(-,+) 上是减函数,y0在(-,+)上恒成 立,即3ax20恒成立,a0. 当a=0时,y=-1,不是减函数,a0,a=0,a0a=0a0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;解不等式f(x)0,解得x1, 所以函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间 是(1,+),故选A. A (1,+) 探究点二讨论含参函数的单调性 思路点拨 求出f(x),对a分两种情况讨论,即可确定f(x)的单调性. 总结反思 (1)利用导数讨论函数单调性的关键是确定导数的
4、符号.不含参数的 问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数 的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解. (2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围. 变式题 (1)已知函数f(x)=lnx-ax2+a(aR),讨论f(x)的单调性. (2)2020安徽庐江模拟已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,aR,求f(x)的单调区间. 思路点拨 先对函数f(x)求导,再根据在x=0处 的切线斜率可得到参数a的值,代入x=0,求出 f(0)的值,则b即可得出. 探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围 思路点拨 根据函数f(
5、x)在R上是增函数,可得f(x)0, 即3ex-x-a0恒成立,再进行参变分离得a3ex-x,构造 函数g(x)=3ex-x,对g(x)进行求导分析,找出最小值,即 实数a的最大值. 解:由题意可知f(x)0,即3ex-x-a0恒成立,a3ex-x 恒成立.设g(x)=3ex-x,则g(x)=3ex-1. 令g(x)=3ex-1=0,解得x=-ln3. 令g(x)0,解得x0,解得x-ln3, g(x)在(-,-ln3)上单调递减,在(-ln3,+)上单调递 增,g(x)在x=-ln3处取得极小值,也是最小值, g(x)min=g(-ln3)=1+ln3.a1+ln3, 故a的最大值为1+ln
6、3. 总结反思 (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f(x)0(0)在D上恒成立即可.如 果能够分离参数,则分离参数后可转化为参数值与函数最值之间的关系. (2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴 x=x0与区间D的相对位置,一般分x0在区间左侧、内部、右侧进行讨论. 变式题 (1)2020衡阳模拟若函 数f(x)=ax+e-x-ex在R上单调递减, 则实数a的取值范围为() A.a2B.a1 C.a1D.a2 解析 由题意可得,f(x)=a-(e-x+ex)0恒成立, 即ae-x+ex恒成立, e-x+ex2(当且仅当x=0时取等号), a2, 故选A
7、. A (2)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上 不单调,则实数a的取值范围是() A.(2,e+1) B.2,e+1 C.(-,2e+1,+) D.(-,2)(e+1,+) 解析 f(x)=ex-(a-1)x+1, f(x)=ex-a+1, 若f(x)在(0,1)上不单调, 则f(x)在(0,1)上有变号零点, 又f(x)单调递增,则f(0)f(1)0, 即(1-a+1)(e-a+1)0,解得2ae+1, a的取值范围是(2,e+1). 故选A. A 探究点四函数单调性的简单应用 思路点拨 求导,利用导数与函数单调性的关 系分析可得函数f(x)在(1,+)上单调递增,结合
8、120.32log25,即可得结论. B (2)2021云南昆明一中月考 已知函数f(x)=xex-lnx-x,若存 在x0(0,+),使得f(x0)a,则a 的取值范围为() A.1,+)B.e-1,+) C.2,+)D.e,+) 思路点拨 存在x0(0,+),使得f(x0)a,即af(x)min,先 证明exx+1恒成立,利用对数恒等式结合不等式放缩 求出f(x)的最小值,可得a的取值范围. 解析构造函数y=ex-x-1,则y=ex-1, 当x0时,y0时,y0,函数在(0,+)上单调递增. ymin=0,则y0恒成立,即exx+1恒成立. 当x0时,f(x)=xex-lnx-x=elnx
9、ex-lnx-x=elnx+x-lnx-x (lnx+x+1)-lnx-x=1,当lnx+x=0时取等号, f(x)的最小值为1, a1,故选A. A 总结反思 利用导数比较大小或解不等式,常常需要把比较大小或求解不等 式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解 不等式. 变式题 (1)已知函数f(x)=x3+2x+1, 若f(ax-ex+1)1在x(0,+)时有解, 则实数a的取值范围为() A.1,e) B.(0,1) C.(-,1) D.(1,+) 解析 由题意可知,f(x)在定义域上单调 递增,f(0)=1,则由f(ax-ex+1)1=f(0),得ax- ex+
10、10,即ax+1ex. 令g(x)=ax+1,h(x)=ex,则当x(0,+)时, 存在g(x)的图像在h(x)的图像上方. g(0)=1,h(0)=1,g(x)=a,h(x)=ex, 则需满足g(0)h(0),即a1. 故选D. D 解析 由题可得f(x)=ax2+bx+c, f(x)0的解集为(-3,1), 故f(x)=a(x+3)(x-1),a0, 可得b=2a,c=-3a, bac, 故选C. C 【备选理由】例1主要考查了利用导数求函数的单调区间,利用函数的单调性 确定参数的取值范围问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平;例2主 要考查了利用导数判断函数的单调性,以及不等式的证明,合理分类讨论是解 答的关键,本题还着重考查了推理与运算能力;例3考查了利用函数单调性确 定参数的取值范围,采用参变分离法,将其转化为函数的最值问题是解题的关 键,考查了学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力;例4主要考查了利用 导数判断函数单调性及已知函数单调性求参数范围,同时考查了转换化归的 数学思想;例5主要考查了构造函数,函数单调性的应用. 例1 配合例1、例3使用2020哈尔滨 师大附中月考(1)求函数f(x)=xsinx+ cosx(0 x0, 且满足f(x)f(x)2f(x),若 f(1)=kf(2),则实数k的取值范 围为.
