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3、,r(Rr),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可 用下表表示: dR+r 位置关系相离外切相交内切内含 图形 数量的关系 公切线条数43210 dR+rR-rdR+rdR-r dR-r 常用结论 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y- b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0 x+y0y=r2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论
4、 (1)两圆相交时公共弦的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则 有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由-得到,即(D1-D2)x+(E1- E2)y+(F1-F2)=0. (2)两个圆系方程 过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方 程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R); 过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方 程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)
5、(其中不含圆C2,所以注意 检验C2是否满足题意,以防丢解). 题组一常识题 相交但直线不过圆心 1.教材改编直线y=x+1与圆 x2+y2=1的位置关系为 .(从“相 切、直线过圆心、相交但直线不 过圆心、相离”中选择一个合适 的填空) 2.教材改编圆x2+y2-2y=0与圆x2+y2- 4=0的位置关系是. 解析 两圆的方程可化为x2+(y- 1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为 O1(0,1),O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2. 连接O1O2,因为|O1O2|=1=r2-r1,所以 两内切圆内切. 内切 3.教材改编圆x2+y2=4与圆x2+y2- 4x+4y-12=0
6、的公共弦所在的直线方 程为. x-y+2=0 5.教材改编圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且 仅有条. 2 6.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y- a)2=25相切,则常数a=. 题组二常错题 索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率不存在的情形;求半径时 遗漏一解;求弦所在直线的方程时遗漏一解. 7.已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,2)作圆C 的切线,则切线方程为 . x=3或5x+12y-39=0. 8.若半径为1的圆C与圆(x+1)2+ (y-2)2=9相切,则圆C的圆心轨迹为 . 解析 若两圆外切,则点C与点
7、(-1,2)间 的距离为4,点C在以(-1,2)为圆心,4为半 径的圆上;若两圆内切,则点C与点(-1,2) 间的距离为2,点C在以(-1,2)为圆心,2为 半径的圆上.综上可知,圆C的圆心轨迹 为两个圆. 两个圆 9.若直线过点P(4,1)且被圆x2+y2=25 截得的弦长是6,则该直线的方程为 .x=4或15x+8y-68=0 探究点一直线与圆的位置关系 的判断 例1 (1)直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2- 2x-8=0的位置关系为() A.相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切 思路点拨 方法一:由于直线kx-y+2-k=0过 定点(1,2),而点(1,2)在圆内,
8、进而判断直线与 圆的位置关系; 解析方法一:直线kx-y+2-k=0的方程可化 为k(x-1)-(y-2)=0,该直线恒过定点(1,2).因为 12+22-21-80,所以直线kx- y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0相交. C (2)(多选题)直线x-y+1=0与圆C:(x- a)2+y2=2(-3a1)的公共点个数可能 为() A.0B.1 C.2D.3 BC 思路点拨 利用圆心到直线的距离与半 径的大小关系判断. 总结反思 判断直线与圆的位置关系的常用方法: (1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的大小关系判断. (2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式
9、较复杂,则用代数法,联立 方程后利用判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法. C D D (2)2020金华三模已知直线 l1:2x-y+4=0,则过点(1,1)且与l1平 行的直线l2的方为,若l2 与圆C:x2+y2-8y+6=0相交于A,B 两点,则|AB|=. 2x-y-1=0 D (2)2020天津南开中学月考 已知圆x2+y2+2x-2y+2a=0截直线 x+y+2=0所得弦长为4,则实数a的 值是() A.-3B.-2C.-1D.-4 C 角度2圆的切线方程 例3 (1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切线的 方程为 () A.2x+y-5=0
10、B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0 思路点拨由过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切 线有且只有一条,知点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上, 进而可得切线的斜率为-2,利用点斜式得出切 线的方程即可 B 思路点拨连接MP,根据直线l:ax+by-3=0与圆 M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),可得点P在直线l 上且MP与直线l垂直,据此可得a,b的值,代入直线l 的方程即可求得答案. (2)已知直线l:ax+by-3=0与圆 M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(- 1,2),则直线l的方程为 . x+2y-3=0 总结反思求圆的切
11、线方程,常用两种方法 (1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方 程的判别式等于0,求出相关参数. (2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出 相关参数,解决问题.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过点M的圆的切线方程为 x0 x+y0y=r2. 变式题 (1)2019浙江卷已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若 直线2x-y+3=0与圆C相切于点 A(-2,-1),则m=,r=. -2 A 角度3圆的切线有关的最值问题 例4 在平面直角坐标系xOy中,已知 圆C:(x-2)2+y2=4,点A是直线x-y
12、+2 =0上的一个动点,直线AP,AQ分别 切圆C于P,Q两点,则线段PQ的长 的取值范围为. 总结反思涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能 够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,利用求 函数值域的方法求得结果. C D 探究点三圆与圆的位置关系 例5 (1)2020江苏镇江三模已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+1)2 =1外切,则ab的最大值为. 思路点拨 由圆心距等于半径之和得出 a,b的关系式,然后由基本不等式可得最值; 2 总结反思(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径 的和或差
13、的大小关系判断,一般不采用代数法. (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 变式题 已知圆C1:x2+y2-2x-6y- 1=0和圆C2:x2+y2-10 x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在 直线的方程和公共弦的长. 【备选理由】例1考查圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,考查计算求 解能力,属于基础题;例2考查直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式,属于 基础题;例3考查圆与圆的位置关系,两条直线的位置关系,属于中档题. C 例2 配合例3使用已知坐标原 点到直线l的距离为2,且直线l与 圆(x-3)2+(y-4)2=49相切,则满足 条件的直线l有 () A.1条B.2条C.3条D.4条 例3配合例5使用2020陕西铜 川二模已知圆x2+y2=10和圆(x- 1)2+(y-a)2=20相交于A,B两个不同 的点,且直线AB与直线3x-y+1=0垂 直,则实数a=. 3
