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3、n 基本形式一般形式区别 分类加 法计数 原理 完成一件事有两类不同方案, 在第1类方案中有m种不同 的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法,那么完成这 件事共有N=种不 同的方法 完成一件事有n类不同方案,在第1 类方案中有m1种不同的方法,在第2 类方案中有m2种不同的方法,在 第n类方案中有mn种不同的方法,那 么完成这件事共有N= 种不同的方法 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理,都涉及完 成一件事情的不同方法种 数.它们的区别在于:分类 加法计数原理与分类有关, 各种方法相互独立,用其 中的任何一种方法都可以 完成这件事;分步乘法计 数原理与分步有关,各个 步骤相互依存,只有各个
4、 步骤都完成了,这件事才 算完成 分步乘 法计数 原理 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m种不同的方法, 做第2步有n种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 完成一件事需要n个步骤,做第1步 有m1种不同的方法,做第2步有m2 种不同的方法,做第n步有mn种 不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同 的方法 mn m1m2mn 题组一常识题 解析 由分类加法计数原理知,共有 5+10+6+12=33(种)出行方案. 33 1.教材改编 从甲地到乙地,每 天飞机有5班,高铁有10趟,动车 有6趟,公共汽车有12班.某人某 天从甲地前往乙地,则其出行方 案共有种. 2.教材
5、改编 6名同学争夺3项冠军,不 同的结果有种. 解析 根据分步乘法计数原理,不同的 结果共有666=216(种). 216 3.教材改编 用2,3,4,5,6可以组 成个没有重复数字的两 位数. 解析 设应用分步乘法计数原理,第一 步从5个数中选择一个作为十位数,有5 种选法,第二步从余下的4个数中选择 一个作为个位数,有4种选法,所以可以 组成54=20(个)没有重复数字的两位 数. 20 4.教材改编 李芳有4件不同颜色的衬 衣,3件不同颜色的半身裙,另有2套不同 样式的连衣裙,现在需选择1套服装参加 歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法 共有种. 解析 分两类:第一类,不选择连衣裙, 可分
6、两步完成,第一步选衬衣,有4种选 法,第二步选半身裙,有3种选法,共有 43=12(种)选法;第二类,选择连衣裙, 有2种选法.故李芳选择服装的不同方 法共有12+2=14(种). 14 题组二常错题 索引:分类、分步时标准不清导致出错. 5.有3女2男共5名志愿者要全部分配到 3个社区去参加志愿服务,每个社区1到 2人,甲、乙2名女志愿者需到同一社区, 男志愿者到不同社区,则不同的分法共 有种. 解析 第一步安排甲、乙2名女志愿 者,有3种方法;第二步将剩余1女2男分 为1男1女和1男两组,分组后安排到2个 社区,共有22=4(种)方法.故不同的方 法共有34=12(种). 12 6.在一次
7、游戏中,三个人采用击鼓传花 的方式决定最后的表演者.三个人互相 传递,每人每次只能传一下,由甲开始 传,经过五次传递后,花又被传回给甲, 则不同的传递方式有种.(用 数字作答) 解析 设这三个人分别是甲、乙、丙, 则他们的传递方式如图所示,故共有10 种. 10 7.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选 两个数字,组成无重复数字的三位 数,其中奇数的个数为. 解析 由题分两类情况讨论:第一类,三位 数的百位、十位、个位分别为奇数、偶数、 奇数,个位数有3种选择,十位数有2种选择, 百位数有2种选择,有322=12(个)奇数;第 二类,三位数的百位、十位、个位数分别为 偶数、奇数、奇数,个位数
8、有3种选择,十位 数有2种选择,百位数有1种选择,有 321=6(个)奇数.根据分类加法计数原理 知,共有12+6=18(个)奇数. 18 8.某人有3个电子邮箱,他要发5封不 同的电子邮件,则不同的发送方法 有种. 解析 每封电子邮件有3种不同的 发送方法,要发5封电子邮件,不同的 发送方法有33333=243(种). 243 探究点一分类加法计数原理 例1 (1)2020苏州模拟 如图,某景 观湖内有四个人工小岛,为方便游 客登岛观赏美景,现计划设计三座 景观桥连通四个小岛,每座桥只能 连通两个小岛,且每个小岛最多有 两座桥连接,则设计方案的种数最 多是() A.8 B.12 C.16 D
9、.24 思路点拨 四个人工小岛分别记为A,B,C,D, 用“-”表示桥,对A分有一座桥相连和两座 桥相连,一一列举,即可得到答案. 解析 四个人工小岛分别记为A,B,C,D,对A 分有一座桥相连和两座桥相连,用“-”表示 桥.当A只有一座桥相连时,有A-B-C-D,A-B- D-C,A-C-B-D,A-C-D-B,A-D-B-C,A-D-C-B,共6 种方法;当A有两座桥相连时,有C-A-B- D,D-A-B-C,D-A-C-B,B-A-C-D,B-A-D-C,C-A- D-B,共6种方法.故设计方案最多有 6+6=12(种).故选B. B (2)2020海南琼海一模 若一个三位数的十位数字比
10、个位数字和百位数字都大, 则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数 字的三位数,其中“伞数”有个. 思路点拨注意到十位数字的特殊性,确定按十位数字分类即可. 解析 根据题意,十位数字最大,只能为3,4,5,6,按十位数字分四类: 第1类,当十位数字为3时,百位、个位的数字为1,2,有2种选法; 第2类,当十位数字为4时,百位、个位的数字为1,2,3,有32=6(种)选法; 第3类,当十位数字为5时,百位、个位的数字为1,2,3,4,有43=12(种)选法; 第4类,当十位数字为6时,百位、个位的数字为1,2,3,4,5,有54=20(种)选法. 则根
11、据分类加法计数原理可知,伞数的个数为2+6+12+20=40. 40 总结反思 (1)分类加法计数原理的实质: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方 法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可 以单独完成这件事. (2)使用分类加法计数原理遵循的原则: 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确, 不重不漏”的原则. 变式题 (1)2020辽宁本溪 模拟 若从1,2,3,9这9个 整数中同时取4个不同的数, 其和为偶数,则不同的取法 共有() A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 D (2)若a
12、,b-1,0,1,2,则关于x的 方程ax2+2x+b=0有实数解的有 序数对(a,b)的个数为. 解析 当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,(a,b)的 个数为4;当a0时,要使方程ax2+2x+b=0有实 数解,需使=4-4ab0,即ab1. 若a=-1,则b的值可以是-1,0,1,2,(a,b)的个数为 4; 若a=1,则b的值可以是-1,0,1,(a,b)的个数为3; 若a=2,则b的值可以是-1,0,(a,b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为 4+4+3+2=13. 13 探究点二分步乘法计数原理 例2 (1)2020辽宁辽东湾高中模拟 甲、乙、丙3人站
13、到共有7级的台阶上, 若每级台阶最多站2人,同一级台阶上 的人不区分站的位置,则不同的站法 种数是(用数字作答). 思路点拨 甲、乙、丙各有7种站法,根 据分步乘法计数原理计数,再减去一个 台阶上站3个人的情况即可求解. 解析甲有7种站法,乙有7种站法,丙有7 种站法,故不考虑限制共有 777=343(种)站法,其中三个人站在同 一级台阶上有7种站法,故符合本题要求 的不同站法有343-7=336(种). 336 (2)某次活动中,有30个人排成6行5列, 现要从中选出3人进行礼仪表演,要求 这3人中的任意2人不同行也不同列, 则不同的选法种数为.(用数 字作答) 思路点拨逐个选取,第一次选后
14、把选中的 元素所在的行和列划去,再选取第二个,选 后再划去这个选中元素所在的行和列,再选 取第三个元素. 解析最先选出的1个人有30种方法,则这 个人所在的行和列不能再选人,还剩一个5 行4列的队形,可知选第2个人有20种方法, 则该人所在的行和列也不能再选人,还剩 一个4行3列的队形,可知选第3个人有12种 方法,根据分步乘法计数原理,总的选法种 数是302012=7200. 7200 总结反思 (1)分步乘法计数原理的实质. 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤 相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成该件事,只有当每个步骤都完成后, 才算完成这件事. (2
15、)使用分步乘法计数原理应注意的问题: 明确题目中所要完成的这件事是什么,确定完成这件事需要几个步骤. 将完成这件事划分成几个步骤来执行,各步骤之间有一定的连续性,只有当所 有步骤都完成了,这件事才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各 步的方法数的积就是完成事件的方法总数. 变式题 (1)给一些书编号,准备用三个 字符,其中首字符用A,B,后两个字符 用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共 有种. 解析 分两步:第一步选定首字符,有2种 可能;第二步选后两个字符,又分两小步, 第二个字符有3种可能,第三个字符也有3 种可能.由分步乘法计数原理知,共有 233=18(种)不同编号
16、的书. 18 (2)如图10-56-2所示,小明从街道的E 处出发,先到F处与小红会合,再一起 到位于G处的老年公寓参加志愿者 活动,则小明到老年公寓可以选择的 最短路径的条数为() A.24B.18 C.12D.9 解析 由E到F有6条最短路径,由F到G有3 条最短路径,由分步乘法计数原理知,共 63=18(条)最短路径. B 思路点拨 按第一组开关接通的个数分类,计算 第二组开关接通的方法数,再根据分步乘法计数 原理求出每一类的方法数,最后相加,求总方法数. 探究点三两个计数原理的综合 例3 (1)2020济南模拟 如图10-56- 3所示,要使电路接通,开关不同的 开闭方式有() A.1
17、1种 B.20种 C.21种 D.12种 解析 按第一组开关接通的个数分类:第1类,若 第一组开关只接通1个,有2种方法;第二组开关可 能接通1个、2个或3个,有1+3+3=7(种)方法,根据 分步乘法计数原理,此时有27=14(种)接通方法. 第2类,若第一组开关接通2个,有1种方法;第二组 开关可能接通1个、2个或3个,有1+3+3=7(种)方 法,根据分步乘法计数原理,此时有7种接通方法. 根据分类加法计数原理,总共有14+7=21(种)接通 方法.故选C. C 思路点拨 按照颜色的种数或是按照区域 着色具体进行操作,根据分步乘法和分类加 法计数原理解答. (2)如图10-56-4,一个
18、地区分为5个 行政区域,现给地图着色,要求相 邻区域不得使用同1种颜色,现有4 种颜色可供选择,则不同的着色方 法共有种.(用数字作答) 72 思路点拨 按照颜色的种数或是按照区域着 色具体进行操作,根据分步乘法和分类加法计 数原理解答. (2)如图10-56-4,一个地区分为5个 行政区域,现给地图着色,要求相 邻区域不得使用同1种颜色,现有4 种颜色可供选择,则不同的着色方 法共有种.(用数字作答) 72 总结反思 (1)涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法: 按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分 类讨论,用分类加法计数原理分析. (2
19、)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类; 分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成.若 综合利用两个计数原理,一般先分类再分步. 变式题 (1)甲组有5名男同学,3名女同 学;乙组有6名男同学,2名女同学.若从 甲、乙两组中各选出2名同学,则选出 的4名同学中恰有1名女同学的不同 选法共有() A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 D (2)将一个四棱锥的每个顶点染上1 种颜色,并使同一条棱的两个端点 异色,若只有4种颜色可供使用,则 不同的染色方法有() A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 解析 如图所
20、示,若点B与点D所染颜色 相同,则不同的染色方法有 4322=48(种);若点B与点D所染颜色 不同,则不同的染色方法有 43211=24(种).由分类加法计数原 理可知不同的染色方法有48+24=72(种). B 【备选理由】 例1考查分步乘法计数原理;例2考查两个计数原理的综合应用. 例1 配合例2使用 甲、乙、丙、 丁、戊5名同学进行数学应用知识 比赛,决出第1名至第5名(没有重名 次).已知甲、乙均未得到第1名,且 乙不是最后一名,则5名同学的名次 排列情况有( ) A.27种 B.48种 C.54种 D.72种 解析 分五步完成:第一步,决出第1名 有3种情况;第二步,决出第5名有3
21、种情 况;第三步,决出第2名有3种情况;第四 步,决出第3名有2种情况;第五步,决出 第4名有1种情况.根据分步乘法计数 原理可知,5名同学的名次排列情况有 33321=54(种). C 例2配合例3使用 某班有9名运动员, 其中5人会打篮球,6人会踢足球,现从 中选出2人分别参加篮球赛和足球赛, 则不同的选派方案有( ) A.28种 B.30种 C.27种 D.29种 解析 由题意知,9名运动员中,有2人既会踢 足球又会打篮球,有3人只会打篮球,有4人只 会踢足球.选派两种球都会的运动员有2种方 案;选派两种球都会的运动员中的一名踢足 球,只会打篮球的一名运动员打篮球,有 23=6(种)方案;选派两种球都会的运动员中 的一名打篮球,只会踢足球的一名运动员踢 足球,有24=8(种)方案;选派只会打篮球和只 会踢足球的各一名运动员分别打篮球和踢足 球,有34=12(种)方案.综上可知,共有 2+6+8+12=28(种)不同的选派方案.故选A. A
