1、大一轮复习讲义 第二章2.2函数的基本性质 第3课时函数性质的综合问题 例1(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)ln xex.若a f()，bf(log23)，cf(20.2)，则a，b，c的大小关系为 A.bac B.cba C.abc D.acb 题型一函数的单调性与奇偶性 师生共研 解析当x0时，f(x)ln xex为增函数， f(x)的图象关于y轴对称，且在(，0)上单调递减，在(0，)上单 调递增，af()f()， 又3log23120.20， f()f(log23)f(20.2)， abc. (2)(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单
2、调递 减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是 A.1,13，) B.3，10,1 C.1,01，) D.1,01,3 解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)0. 又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示. 当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0， 得1x0. 当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0， 得1x3. 故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3. 高考改编题若函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(2)0，且在(0，) 上单调递增，则满足f(
3、x1)0的x的取值范围是_， 满足 0的x的取值范围是_. 1,13，) (2,0)(0,2) 解析由函数f(x)的性质，作出函数f(x)的大致图象如图所示， f(x1)0，则2x10或x12， 解得1x1或x3. 即2x0或0 xf(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的 性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式. 思维升华 跟踪训练1(1)已知函数f(x)满足以下两个条件：任意x1，x2(0，) 且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0；对定义域内任意x有f(x)f(x)0， 则符合条件的函数是 A.f(x)2x B.f(x)1|x| C.f(x)
4、x3 D.f(x)ln(x23) 解析由知f(x)在(0，)上单调递减，由知f(x)为奇函数. (2)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1) 的x 的取值范围是_. 解析依题意有f(x)在0，)上单调递增，在(，0上单调递减， 题型二函数的奇偶性与周期性 师生共研 例2(1)(2021德州联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)， 当0 x1时，f(x)x2，则f(2 023)等于 A.2 0192 B.1 C.0 D.1 解析根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)， 则有f(x4)f(x2)f(x)， 即函数是周期为4的周期函数， 则f(2 02
5、3)f(12 024)f(1)， 又函数yf(x)为奇函数， 且x0,1时，f(x)x2， 则f(1)f(1)1，故f(2 023)1. (2)(多选)(2021济南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4) f(x)，且在区间0,2上单调递增，则 A.f(2 019)f(2 017) B.f(2 019)f(2 020) C.f(2 020)f(2 018) 解析因为f(x)满足f(x4)f(x)， 所以f(x8)f(x)， 所以f(x)是以8为周期的函数，则f(2 017)f(1)，f(2 018)f(2)， 而由f(x4)f(x)得f(2 019)f(3)f(3)f(14)f(1
6、)，f(2 020) f(4)f(0)0， 又因为f(x)在0,2上单调递增， 所以f(2)f(1)f(0)0，即f(2 019)f(2 017)，f(2 020)f(2 019). 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变 换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未 知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解. 思维升华 跟踪训练2(1)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 020) f(2 021)_. 解析依题意f(x)为奇函数，且周期为2， f(2 020)f(2 021)f(0)f(1)， f(x)为奇函数，f(0)0
7、，且f(1)f(1)， 又周期为2，f(1)f(1)， 由解得f(1)f(1)0， f(2 020)f(2 021)0. 0 (2)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)2a3，则 实数a的取值范围是_. 解析f(x)为偶函数，且周期为3， f(5)f(56)f(1)f(1)， f(1)1，f(5)2a31， 即a2. (，2) 题型三函数的奇偶性与对称性 师生共研 例3(1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4x)f(x)， 则f(x)的周期为 A.4 B.2 C.4 D.6 解析f(4x)f(x)， f(x)的图象关于点(2,0)对称， f(x)f
8、(x4)， 又f(x)f(x)， f(x4)f(x). T4. (2)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的 图象关于点(1,0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_.4 解析因为函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数， 所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 021)f(50541)f(1)4， 所以f(2 020)f(2 022)f(2 020)f(2 0202) f(2 020)f(2 0
9、20)f(2 020)f(2 020)0， 所以f(2 020)f(2 021)f(2 022)4. 由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称 性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利 用图象判断周期性. 思维升华 跟踪训练3函数f(x)满足f(x1)为奇函数，f(x1)为偶函数，则下列说 法正确的是_.(填序号) f(x)的周期为8； f(x)关于点(1,0)对称； f(x)为偶函数； f(x7)为奇函数. 解析f(x1)为奇函数，f(x1)的图象关于(0,0)对称， f(x)的图象关于点(1,0)对称， 又f(x1)为偶函数， f(x1)的图象关于直
10、线x0对称， f(x)的图象关于直线x1对称， f(x)的图象关于点(1,0)和直线x1对称， f(x)的周期为8， 正确，不正确. T8，f(x7)f(x1)， 又f(x1)为奇函数，f(x7)为奇函数，故正确. 题型四函数的周期性与对称性 师生共研 例4(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称， 且f(x3)f(x3)，若当x0,3时，f(x)4x2x11，则下列结论正 确的是 A.f(x)为偶函数 B.f(x)在6，3上单调递减 C.f(x)关于x3对称 D.f(100)9 解析f(x)的图象关于x3对称， 则f(x)f(x6)， 又f(x3)f(x3)，则f(x)的
11、周期T6， f(x)f(x6)f(x)， f(x)为偶函数，故A正确； 当x0,3时，f(x)4x2x11单调递增， T6，故f(x)在6，3上也单调递增，故B不正确； f(x)关于x3对称且T6， f(x)关于x3对称，故C正确； f(100)f(1664)f(4)f(2)f(2)9，故D正确. 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考 中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、 对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再 利用单调性解决相关问题. 思维升华 跟踪训练4函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x4)f(x)，f(x4
12、) f(x)，且当x0,2时，f(x)2xlog2x，则f(80)，f(25)，f(11)的 大小关系为_. f(25)f(80)f(11) 解析依题意，f(x)的周期为8，且f(x)是奇函数，其图象关于x2对称， 当x0,2时，f(x)单调递增， f(x)在2,2上单调递增， 又f(80)f(0)，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)， f(1)f(0)f(1). 即f(25)f(80)f(11). KESHIJINGLIAN 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 1.函数f(x)x (x0)是 A.奇函数，且在(0,3)上是增函数 B.
13、奇函数，且在(0,3)上是减函数 C.偶函数，且在(0,3)上是增函数 D.偶函数，且在(0,3)上是减函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以f(x)在(0,3)上是减函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x5)f(x)，T5， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)， 则x的取值范围是 A.(0，e2) B.(e2，) C.(e2，) D.(e2，e2) 解析根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增， 则f(ln x
14、)f(2)|ln x|2， 即2ln x2，解得e2xe2， 即x的取值范围是(e2，e2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)(2020济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x1)与f(x2)都为 奇函数，则 A.f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数 C.f(x3)为奇函数 D. f(x4)为偶函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由f(x1)与f(x2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1,0)，(2,0) 对称， 所以f(x)f(2x)0，f(
15、x)f(4x)0， 所以f(2x)f(4x)，即f(x)f(x2)， 所以f(x)是以2为周期的函数. 所以函数f(x)的图象关于点(3,0)，(2,0)，(1,0), (0,0)对称. 所以f(x)，f(x3)，f(x4)都是奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)(2020全国改编)关于函数f(x)sin x 有如下四个命题， 其中为真命题的是 A.f(x)的图象关于y轴对称 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的图象关于直线x 对称 D.f(x)的最小值为2 f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确. 12345678910 11
16、 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.偶函数f(x)在区间1,3上单调递减，且f(x)2,4，那么，当x 3，1时，f(3)_，f(x)max_. 解析偶函数的图象关于y轴对称， f(3)f(3)2， f(x)maxf(1)f(1)4. 24 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.f(x)为R上的奇函数，在(0，)上单调递减，且f(1)0，则不等式 xf(x)0的解集为_. 解析不等式xf(x)0， 画出f(x)的图象如图所示， (1,0)(0,1)
17、xf(x)0的解集为(1,0)(0,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x1对称，且f(x4) f(x2).若当x4，1时，f(x)6x，则f(919)_. 解析由f(x4)f(x2)，得f(x6)f(x). 故f(x)是周期为6的函数. 所以f(919)f(61531)f(1). 因为f(x)的图象关于直线x1对称， 所以f(1)f(3). 又x4，1时，f(x)6x， 所以f(3)6(3)216. 从而f(1)216，故f(919)216. 216 12345678910 11 12 13 14 15 16 1
18、0.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x) |x3|，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)_.0 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数， 所以f(x1)f(x1)f(x1)， 所以f(x2)f(x)， 所以f(x4)f(x2)f(x)， 所以函数f(x)的周期为4， 所以f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1).在f(x1)f(x1)中， 令x1，可得f(2)f(0)0， 所以f(1)f(2)f(3)f(4)0. 所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)5
19、05f(1)f(2)f(3)f(4)0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解f(0)log210， f(2)f(0)0， f(3)f(12)f(1)log2(11)1. 11.已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2) f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，求： (1)f(0)，f(2)，f(3)的值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解依题意得，当x0时，f(x4)f(x2)f(x)， 即当x0时，f(x)是以4为周期的函数. 因此，f(2 021)f(2 022)f(2 021)f(2 022)f(
20、1)f(2). 而f(2)0，f(1)log2(11)1， 故f(2 021)f(2 022)1. (2)f(2 021)f(2 022)的值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)h(x)2x，若存在 x1,1，使得不等式mg(x)h(x)0有解，求实数m的最大值. 解因为g(x)h(x)2x， 所以g(x)h(x)2x. 又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)h(x)2x， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 技
21、能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由已知得函数f(x)为偶函数， 所以f(x)f(|x|)， 由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|). 所以函数f(x)在0，)上单调递增. 由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|， 两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10时，f(x)f(x2)1， 则f(2 021)f(2 019)1f(2 017)2 f(1)1 010f(1)1 011, 而f(1)0，故f(2 021)1 011. 1 011 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.已知
22、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上单 调递增.若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3， x4，则x1x2x3x4_.8 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为定义在R上的奇函数满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x). 由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x2对称，且f(0)0. 由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)， 所以函数的周期为8.又因为f(x)在区间0,2上单调递增， 所以函数在区间2,0上也单调递增，作出函数f(x)的大致图象如图所示， 那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设 x1x2x30， 解得a1或a3， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
