1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 7.5空间向量及其应用 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向 量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 考试要求 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSH
2、I 主干梳理 基础落实 1 1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念 知识梳理 名称概念表示 零向量模为_的向量0 单位向量长度(模)为_的向量 相等向量方向_且模_的向量ab 相反向量方向_且模_的向量a的相反向量为a 0 1 相同相等 相反相等 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直 线互相_的向量 ab 共面向量平行于同一个_的向量 平行或重合 平面 2.空间向量中的有关定理空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在唯一的实数，使得ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p_，其中x，yR，a，b为不共 线向量. (3)空间向
3、量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序 实数组x，y，z，使得p_，a，b，c叫做空间的一个基底. xaybzc xayb 3.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 则AOB 叫做向量a，b的夹角，记作_，其范围是_，若 a，b ，则称a与b_，记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积， 记作_，即ab_. 0a，ba，b 互相垂直 |a|b|cosa，b ab|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律 (a
4、)b_. 交换律：ab_. 分配律：a(bc)_. (ab) ba abac 4.空间向量的坐标表示及其应用空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量表示坐标表示 数量积ab_ 共线ab(b0，R)_ 垂直ab0(a0，b0)_ 模|a|_ 夹角 余弦值 cosa，b (a0，b0) cosa，b _ a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30 5.空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表 示的向量，一条直线的方向向量有无
5、数个. (2)平面的法向量 直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量. (3) 位置关系向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1l2n1n2n1n2 l1l2n1n2n1n20 直线l的方向向量为n，平面的法向 量为m lnmnm0 lnmnm 平面，的法向量分别为n，m nmnm nmnm0 1.基向量和基底一样吗？0是否能作为基向量？ 微思考 提示不一样.基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因 为0与其他两个非零向量共面，所以0不能作为基向量. 2.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
6、提示需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的 垂直关系转化为向量间的关系. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)对于非零向量b，若abbc，则ac.() (2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).() (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.() (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.若a，b，c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量 的基底的一组向量是 A.a，ab，ab B.b，ab，ab C.c，a
7、b，ab D.ab，ab，a2b 解析对于A，因为(ab)(ab)2a， 所以a，ab，ab共面，不能构成基底，排除A； 对于B，因为(ab)(ab)2b， 所以b，ab，ab共面，不能构成基底，排除B； 所以ab，ab，a2b共面，不能构成基底，排除D； 对于C，若c，ab，ab共面， 则c(ab)(ab)()a()b， 则a，b，c共面，与a，b，c为空间向量的一组基底相矛盾， 故c，ab，ab可以构成空间向量的一组基底. 解析如图，连接ON， 4.设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2， 则m_. 10 解析l1l2，ab，ab64m0， m10.
8、 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.向量m是直线l的方向向量，向量n是平面的法向量，“mn”是 “l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析由l，得mn，所以mn是l的必要条件； 而由mn不一定有l，也可能l， 故mn不是l的充分条件. 6.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足 ，则点M_(填“属于”或“不属于”)平 面ABC. 属于 M，A，B，C四点共面. 即点M平面ABC. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一空间向量的线性运算 自主演练 用基向量表示指定向量的方法 (1)结
9、合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 思维升华 题型二共线向量定理、共面向量定理的应用 师生共研 (2)判断点M是否在平面ABC内. 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 证明空间四点P，M，A，B共面的方法 思维升华 题型三空间向量数量积及其应用 师生共研 例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和 对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD 的中点，计算： 则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60， 引申探究 已知MN是正方体内切球的一条直
10、径，点P在正方体表面上运动，正方体 的棱长是2，则 的取值范围为 A. 0，4 B. 0，2 C. 1，4 D. 1，2 解析设正方体内切球的球心为O，则OMON1， MN为球O的直径， 又P在正方体表面上移动， 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b， a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 ab计算准确. 思维升华 跟踪训练2如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F， G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设 试采用向量法解决下列问题： 解因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD 中
11、各棱的中点， 题型四向量法证明平行、垂直 师生共研 例3如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，AB AC3， 点E和F分别为BC和A1C 的中点. (1)求证：EF平面A1B1BA； 证明因为ABAC，E为BC的中点， 所以AEBC. 因为AA1平面ABC，AA1BB1， 所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 所以AE2， 设平面AA1B1B的一个法向量为n(x，y，z)， 又EF 平面A1B1BA， 所以EF平面A1B1BA. (2)求证：平面AEA1平面BCB1. 证明因为EC平面AEA1， 又EA平面BCB1， 故平
12、面AEA1平面BCB1. (1)利用向量法证明平行问题 线线平行：方向向量平行. 线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直. 面面平行：两平面的法向量平行. 思维升华 (2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法 线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数 量积为零 线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂 直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直问题 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理 转化为证明线面垂直 跟踪训练3如图正方形ABCD的边长为 ，四边形BDEF是平行四边形， BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO ，且FO平面ABCD
13、. (1)求证：AE平面BCF； 证明如图， 取BC的中点H，连接OH，则OHBD， 又四边形ABCD为正方形， ACBD，OHAC， 故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面BCF的一个法向量为n(x，y，z). 又四边形BDEF为平行四边形， 又AE 平面BCF， AE平面BCF. (2)求证：CF平面AEF. 即CFAF，CFAE， 又AEAFA，AE，AF平面AEF， CF平面AEF. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直， 则k的值是 12345678910 11 12 13 14 15 16 基
14、础保分练 解析因为a(1，1，0)，b(1，0，2)， 又kab与2ab互相垂直， 所以(kab)(2ab)0，即2k|a|2kab2ab|b|20， 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC与BD的交点为O， 点M在BC上，且BM2MC，则下列向量中与 相等的向量是 12345678910 11 12 13 14 15 16 在平行六面体ABCDABCD中， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图， a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca0. 12345678910 11 12
15、13 14 15 16 4.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四 边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B， D两点间的距离是 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若a(1，2)，b(2，1,1)，a与b的夹角为120，则 的值为 A.17 B.17 C.1 D.1 解析由已知ab224， 解得17或1，故选AC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于D，设平面ABC的一个法向量是n(x，y，z)，
16、所以平面ABC的一个法向量为n(1，2,5)，所以正确，故选CD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若a(1,1,0)，b(1,0,2)，则与ab同方向的单位向量是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(x，y，15)三点共线，则xy_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 xy2. 10.在一直角坐标系中，已知A(1，6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面 折成60的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_. 12345678910 11 12 13 14 1
17、5 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析在直角坐标系中，已知A(1，6)， B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60 的二面角后， A(1，6)在平面Oxy上的射影为C， 作BDx轴，交x轴于点D， 11.如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点， ACBCBB1. (1)求证：BC1AB1； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明如图，以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ACBCBB12， 12345678910 11 12 13 14 15 16
18、 则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)， B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2). 连接AB1， (2)求证：BC1平面CA1D. 12345678910 11 12 13 14 15 16 且ED和BC1不重合，则EDBC1. 又ED平面CA1D，BC1平面CA1D， 故BC1平面CA1D. 证明取A1C的中点E，连接DE， 12.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B，D1D上，且 . 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求证：A，E，C1，F四点共面； 证明连接AC1(图略)，
19、A，E，C1，F四点共面. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知向量abbcac，b(3，0，1)，c(1，5，3)， 下列等式中正确的是 A.(ab)cbc B.(ab)ca(bc) C.(abc)2a2b2c2 D. | abc | abc | 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 解析由题意知bc3030， 所以abbcac0， (ab)c0，bc0，不相等，所以A选项错误； (ab)ca(bc)acbcabac0， 所以(ab)ca(bc)，所以B选项正确； (abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c
20、2，所以C选项正确； (abc)2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2， 即(abc)2(abc)2，|abc|abc|，所以D选项正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M 为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AMMP，则点P形成的轨 迹长度为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 解析由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示. 12345678910 11 12 13 14 15 1
21、6 设P(x，y，0)， 16.(2020桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2， ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD. (1)求证：BDAA1； 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明设BD与AC交于点O， 则BDAC，连接A1O， 在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以A1OAO. 由于平面AA1C1C平面ABCD， 且平面AA1C1C平面ABCDAC， A1O平面AA1C1C， 所以A1O平面ABCD. 以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y
22、轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的 位置，若不存在，请说明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面DA1C1的一个法向量为n3(x3，y3，z3)， 解得1， 即点P在C1C的延长线上，且CPCC1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为BP平面DA1C1， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
