1、大一轮复习讲义 第三章导数及其应用 3.1导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率.了解导数概念的实 际背景. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数. 5.能求简单的复合函数(形如f(axb)的导数. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.导数的概念导数的概念 0 |x x y f(x0)或 (2
2、)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在 (a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间(a，b)内的 导函数.简称导数，记作f(x)或y. 2.导数的几何意义导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处 的切线的 ，相应的切线方程为 .斜率 yf(x0)f(x0)(xx0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x)c(c为常数)f(x)_ f(x)x(Q，0)f(x)_ f(x)sin xf(x)_ f(x)cos xf(x)_ f(x)ax(a0且a1
3、)f(x)_ f(x)exf(x)_ 0 x1 cos x sin x axln a ex f(x)logax(a0且a1)f(x)_ f(x)ln xf(x)_ 4.导数的运算法则导数的运算法则 若f(x)，g(x)存在，则有 f(x)g(x) ； f(x)g(x)； cf(x) . f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) cf(x) 5.复合函数的定义及其导数复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可 以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数， 记作y . (2)复合函数yf(g(x)的导数和
4、函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. f(g(x) yuux 1.根据f(x)的几何意义思考一下，随着|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何 变化？ 微思考 提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭. 2.函数f(x)在点P处的切线与函数f(x)过点P的切线有什么区别？ 提示在点P处的切线，点P一定是切点；过点P的切线，点P不一定是切点. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.() (2)f(x0)f(x0).(
5、) (3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同.() (4)若f(x)2x，则f(x)x2x1.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t) 104.9t28t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时 速度为 A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒 解析h(t)9.8t8， h(0.5)9.80.583.1. 3.已知函数f(x)xln xax22，若f(e)0，则a . 解析f(x)1ln x2ax， f(e)2ae20， y(e1)x2 f(1)e1， 又f(1)
6、e1， 切点为(1，e1)，切线斜率kf(1)e1， 即切线方程为y(e1)(e1)(x1)， 即y(e1)x2. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.已知函数f(x)xcos xasin x在x0处的切线与直线3xy10平行， 则实数a的值为 . 解析f(x)cos xx(sin x)acos x (1a)cos xxsin x， f(0)1a3， a2. 2 6.已知函数f(x)ln(32x)e2x3，则f(x) . TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一导数的运算 自主演练 1.(多选)下列求导运算正确的是 A.(sin a)cos a(a为常数) B.(
7、sin 2x)2cos 2x 解析a为常数，sin a为常数， (sin a)0，故A错误. 由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD. 3.已知函数f(x)ln(2x3)axex，若f(2)1，则a . f(2)2ae22ae22ae21， 则ae2. e2 4.(2020葫芦岛模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，f(x)2x23xf(1) ln x，则f(1) . 解析f(x)2x23xf(1)ln x， 思维升华 (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后 求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度减少差错. (2)若函数为根式
8、形式，可先化为分数指数幂，再求导. 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元. 题型二导数的几何意义 师生共研 命题点1导数与函数图象 例1(1)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y f(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 解析由yf(x)的图象是先 上升后下降可知，函数yf(x) 图象的切线的斜率先增大后减 小，故选B. (2)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处 的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3) .0 解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率 等于 ， g(x)xf(x)，g(x)f(
9、x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 又由题图可知f(3)1， 命题点2求切线方程 例2(1)(2020全国)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方 程为 A.y2x1 B.y2x1 C.y2x3 D.y2x1 解析f(1)121，切点坐标为(1，1)， f(x)4x36x2， 所以切线的斜率为kf(1)4136122， 切线方程为y12(x1)，即y2x1. (2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切， 则直线l的方程为 . 解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上， 设切点为(x0，y0). 又f(x)1ln x， 直
10、线l的方程为y1(1ln x0)x. xy10 直线l的方程为yx1，即xy10. 命题点3求参数的值(范围) 例3(1)(2019全国)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程 为y2xb，则 A.ae，b1 B.ae，b1 C.ae1，b1 D.ae1，b1 解析因为yaexln x1，所以y|x1ae1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)， 即y(ae1)x1， (2)(2020淄博联考)若函数f(x)ln x2x2ax的图象上存在与直线2xy 0平行的切线，则实数a的取值范围是 . 解析直线2xy0的斜率k2， 又曲线f(x)上存在与直线2x
11、y0平行的切线， 2，) a422. a的取值范围是2，). (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关 系列出参数的方程： 切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上. (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切 线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切 线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上. 思维升华 跟踪训练(1)已知曲线f(x)x3x3在点P处的切线与直线x2y1 0垂直，则P点的坐标为 A.(1,3) B.(1,3) C.(1,3)或(1,3) D.(1，3) 解析设切点P(x
12、0，y0)， f(x)3x21， x01， 又切点P(x0，y0)在yf(x)上， 当x01时，y03； 当x01时，y03. 切点P为(1,3)或(1,3). ky|x02， 切线方程为y12(x0)，即y2x1， 令x0，得y1； 解析f(x)2e2x2exa， 依题意知f(x)3有两个实数解， 即2e2x2exa3有两个实数解， 即a2e2x2ex3有两个实数解， 令tex， t0， a2t22t3(t0)有两个实数解， ya与(t)2t22t3(t0)的图象有两个交点， 又(0)3， 两曲线的公切线拓展视野 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪 会比较乱，为了使思路
13、更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析 其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛 物线相切可用判别式法. 例1已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相 切，则a .8 所以曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1. 因为y2x1与曲线yax2(a2)x1相切， 所以a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行). 由a28a0，解得a8. 方法二同方法一得切线方程为y2x1. 因为y2ax(a2)， 所以 2ax0(a2). 0 |x x y 例2(2020江南十校联考)已知f(x)ex(e为自然对数的底数)，g
14、(x)ln x 2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为 . yex或yx1 解析设l与f(x)ex的切点为(x1，y1)， 则y1 ， 1 e x f(x)ex， f(x1) ， 1 e x 切点为(x1， )， 1 e x 切线斜率k ， 1 e x 切线方程为y (xx1)， 1 e x 1 e x 即y x ， 1 1 e x x 1 e x 1 e x 同理设l与g(x)ln x2的切点为(x2，y2)， y2ln x22， 切点为(x2，ln x22)， 由题意知，与相同， 即(1x1)( 1)0， 11 11 2 2 12 1 ee, eeln1, xx xx x
15、 x xx 把代入有 x11， 1 1 e x x 1 e x 1 e x 解得x11或x10， 当x11时，切线方程为yex； 当x10时，切线方程为yx1， 综上，直线l的方程为yex或yx1. 例3已知曲线f(x)ln x1与g(x)x2xa有公共切线，求实数a的 取值范围. 解设切线与f(x)ln x1相切于点P(x0，ln x01)， 当x(0,1)时，(x)0， (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， (x)min(1)4， 又x时，(x)， 故(x)的值域为4，)， 所以4a4，即a1， 故实数a的取值范围是1，). KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.下列
16、求导运算正确的是 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 又f(1)1，且f(1)3， 故所求切线方程为y13(x1)，即3xy40. 2.(2021安徽江南十校联考)曲线f(x) 在点P(1，f(1)处的切线l的 方程为 A.xy20 B.2xy30 C.3xy20 D.3xy40 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(2020广元模拟)已知函数f(x) x2cos x，则其导函数f(x)的图象大 致是 f(x)为奇函数，排除B，D， 12345678910 11 12 1
17、3 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 又0，)， 故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确 的是 A.f(3)f(2) B.f(3)f(3) D.f(3)f(2)f(3)0， 故A错误，B正确. 设A(2，f(2)，B(3，f(3)， 由图知f(3)kABf(2)， 即f(3)f(3)f(2)0)处的切线与直线xy20平行， 0 |x x y 1 2 x x x x x01，y01，则P(1,1)， 12345678910 11 12 13
18、 14 15 16 11.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值； 解f(x)3x22(1a)xa(a2). 解得b0，a3或a1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 解因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实 数根， 所以4(1a)212a(a2)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.设函数f(x)
19、ax ，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y 120. (1)求f(x)的解析式； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角 形面积为定值，并求此定值. 解设P(x0，y0)为曲线yf(x)上任一点， 令yx，得yx2x0，所以切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0). 故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和yx所围成的三角形面积 为定值，且此定值为6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12
20、345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.(2020青岛模拟)已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 022(x)等于 A.sin xcos x B.sin xcos x C.sin xcos x D.sin xcos x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f1(x)sin xcos x， f2(x)f1(x)cos xsin x， f3(x)f2(x)sin xcos x， f4(x)f3(x)cos xsin x
21、， f5(x)f4(x)sin xcos x， fn(x)的解析式以4为周期重复出现， 2 02245052， f2 022(x)f2(x)cos xsin x. 故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)x ，若曲线yf(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的 取值范围是 . (，2)(0，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 又切线过点(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 曲线存在两条切线， 故该方程有两个解， 4a28(a)0， 解得a0或a2. 12345678910 11
22、 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.已知曲线f(x)x3ax 在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则 a的值为 . 3 4 e 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析f(x)3x2a， f(0)a， 设切点坐标为(x0，y0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3 4 0 0 3 4 e , 3 , 4 e. x y a 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x) x32x23x(xR)的图象为曲线C. (1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； 解由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211， 即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是1，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的 切点的横坐标的取值范围. 解设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k0)， 解得1k0或k1，则1x24x30或x24x31， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
