1、一轮大题专练一轮大题专练 7导数（构造函数证明不等式导数（构造函数证明不等式 1） 1已知函数( )f xalnxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）当1a 时，证明：( ) x xf xe 解： （1）( )f xalnxx，(0,)x ( )1 a fx x ， 0a时，( )0fx，函数( )f x在(0,)x上单调递增 0a 时，令( )0fx，解得0 xa ，函数( )f x在(0,)xa上单调递减，在(,)a上 单调递增 （2）证明：当1a 时，要证明：( ) x xf xe，即证明 2 1 x lnxe xx ， 令( )1 lnx g x x ， 2 1 ( ) lnx
2、 g x x ， 令( )0g x，解得0 xe；令( )0g x，解得ex 函数( )g x在(0, ) e上单调递增，在( ,)e 上单调递减 xe 时，函数( )g x取得极大值即最大值，g（e） 1 1 e 令 2 ( ) x e h x x ， 3 (2) ( ) x xe h x x ， 令( )0h x，解得02x；令( )0h x，解得2x 函数( )h x在(0, ) e上单调递减，在(2,)上单调递增 xe 时，函数( )h x取得极小值即最小值，h（2） 2 4 e 22 12 51 (1)10 442.5 e e ( )( ) maxmin g xh x， 即 2 1
3、x lnxe xx ，也即( ) x xf xe 2已知函数( )f xxalnx （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）求( )f x的单调区间； （）若关于x的方程0 xalnx有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 0 x，求证： 0 (1)axa （）解：由( )f xxalnx，可得( )1 a fx x ， 则f（1）1a ，又f（1）1， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为1(1)(1)ya x ， 即(1)ya xa （）解：( )f xxalnx的定义域为(0,)，( )1 axa fx xx ， 当0a时，( )0fx，( )
4、f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，令( )0fx，可得xa，令( )0fx，可得0 xa， 所以( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上单调递增 （） 证明： 由 （） 可知， 当0a 时，( )0f xxalnx才有两个不相等的实根， 且 0 0 x ， 则要证 0 (1)axa，即证 0 11a ax ，即证 0 11 1 ax ， 而 00 0 xalnx，则 0 0 0 (1 x ax lnx ，否则方程不成立） ， 所以即证 0 00 1 1 lnx xx ，化简得 00 10 xlnx ， 令 000 ()1g xxlnx，则 0 0 00 11 ()1 x
5、g x xx ， 当 0 01x时， 0 ()0g x， 0 ()g x单调递减， 当 0 1x 时， 0 ()0g x， 0 ()g x单调递增， 所以 0 ()g xg（1）0，而 0 1x ， 所以 0 ()0g x， 所以 0 (1)axa，得证 3已知函数( )f xalnxx，函数 2 ( ) x g xebx， （1）记 2 ( )( )h xf xx，试讨论函数( )h x的单调性，并求出函数( )h x的极值点； （2）若已知曲线( )yf x和曲线( )yg x在1x 处的切线都过点(0,1)求证：当0 x 时， ( )( )(1)1xf xg xex 解： （1） 2 (
6、 )h xalnxxx， 2 2 ( )(0) xxa h xx x ， 记 2 ( )2(0)xxxa x， 当0a时，( )0h x，( )h x在(0,)单调递增，无极值点， 当0a 时， 180a ，( )x有异号的两根 1 118 ( 0) 4 a x ， 2 118 ( 0) 4 a x ， 118 (0,) 4 a x ，( )0 x，( )0h x，( )h x在 118 (0,) 4 a 单调递减， 118 ( 4 a x ，)，( )0 x，( )0h x，( )h x在 118 ( 4 a ，)单调递减， ( )h x有极小值点 118 4 a x ； （2）证明：( )
7、(0) xa fxx x ，( )2 x g xebx， f （1）1a，( )f x在1x 处的切线方程为1(1)(1)yax ，过点(0,1)得：1a ， g（1）2eb，( )g x在1x 处的切线方程为(2 )(1)yebeb x， 过点(0,1)得：1b ， ( )f xlnxx ， 2 ( ) x g xex， 要证：( )( )(1)1xf xg xex，即证：(1)1 0 x exlnxex ， 即证： 1 (1) 0 x e lnxe xx ， 构造函数 1 ( )(1) x e K xlnxe xx ，则 2 (1)(1) ( ) x xe K x x ， 0 x 时，10
8、 x e ， (0,1)x 时，( )0K x，( )K x在(0,1)单调递减， (1,)x 时，( )0K x，( )K x在(1,)单调递增， ( )K xK（1）0，故原不等式成立 4已知函数( )()f xaxlnx aR在1x 处取得极值 （）若对(0,)x ，( ) 1f xbx恒成立，求实数b的取值范围； （）设( )( )(2) x g xf xxe，记函数( )yg x在 1 4 ，1上的最大值为m，证明： (4)(3)0mm （）解：( )()f xaxlnx aR，则 1 ( )fxa x ， 又( )f x在1x 处取得极值，则有 f （1）10a ，解得1a ， 此
9、时 1 ( )1fx x ， 当01x时，( )0fx，则( )f x单调递增， 当1x 时，( )0fx，则( )f x单调递减， 所以( )f x确实在1x 处取得极值， 故1a ， 设( )(1)1h xlnxbx， 则( ) 1f xbx在(0,)上恒成立，即( ) 0h x 在(0,)上恒成立， 因为 1 ( )1h xb x ， 当1 0b ，即1b时，( )0h x 在(0,)上恒成立，不符合题意； 当1b 时，令( )0h x，解得 1 1 x b ， 当 1 0 1 x b 时，( )0h x，则( )h x单调递增， 当 1 1 x b 时，( )0h x，则( )h x单
10、调递减， 所以当 1 1 x b 时，( )h x取得最大值 111 ()1(1)2 111 b hlnlnb bbb ， 要使得( ) 0h x 在(0,)上恒成立， 则有(1)2 0lnb ，解得 2 1be， 综上所述，实数b的取值范围为(， 2 1e； （）证明：要证(4)(3)0mm，即证明43m 即可， 因为( )( )(2)(2) xx g xf xxelnxxxe， 则 111 ( )1(2)(1)()(1) xxxx x g xexeexex xxx ， 因为 1 4x，1时，1 0 x 恒成立， 设 1 ( ) x M xe x ， 1 4x，1，则( )M x为单调递增函
11、数， 又 113 205 112035 ()0,( )0 201153 MeMe， 则存在 0 11 3 (, ) 20 5 x ，使得 0 ()0M x，即 0 0 1 x e x ， 则当 0 1 ,) 4 xx时，( )0M x ，(1)0 x ，则( )0g x，故( )g x单调递增， 当 0 xx，1时，( ) 0M x ，(1) 0 x 且不同时为 0，则( ) 0g x，故( )g x单调递减， 所以( )g x在 1 4 ，1上的最大值为 000 0000000 ()(2)2 xxx mg xlnxxxelnxxx ee， 又 0 0 1 x e x ，则 00 0 2 1m
12、lnxx x ， 0 11 3 (, ) 20 5 x ， 设 2 ( )1k xlnxx x ， 11 3 (, ) 20 5 x， 则 2 12 ( )10k x xx 对于 11 3 (, ) 20 5 x恒成立， 故( )k x在 11 3 (, ) 20 5 x上单调递增 故 1111114011940 ( )()14 20202011202011 k xklnln ， 333103 ( )( )12.9333 55535 k xklnln ， 于是43m ， 故(4)(3)0mm 5已知函数( ) x f xexa，对于xR ，( ) 0f x 恒成立 （1）求实数a的取值范围；
13、（2）证明：当0, 4 x 时，costan x xx e 解： （1）由0 x exa 恒成立，得 x a ex对xR 恒成立， 令( ) x g xex，( )1 x g xe， 当0 x ，( )0g x，( )g x单调递增， 当0 x ，( )0g x，( )g x单调减，( )(0)1 min g xg， 故所求实数a的取值范围为(，1； （2）证明：由（1）得1 x ex 欲证costan x xx e，只需证costan1xx x即可， 令( )costan1h xxxx， 22 222 1sin (sincos)sin (sinsin1) ( )sin1 coscoscos
14、xxxxxx h xx xxx ， 令 2 ( )sinsin1F xxx，则易知( )F x在0, 4 单调递增，且(0)0F，()0 4 F ， 故存在 0 (0,) 4 x ，使得 0 ()0F x； 当0 x， 0) x时，( )0F x ，( ) 0h x，( )h x单调递减， 当 0 (, 4 xx 时，( )0F x ，( )0h x，( )h x单调递增， 又(0)0h， 2 ()0 424 h ，( )(0)0 max h xh， 故当0, 4 x 时，costan x xx e 6已知函数( ) x f xe，( )1g xax （）已知( )( )f xg x恒成立，求
15、a的值； （）若(0,1)x，求证： 2 11 1 ( ) lnx x f xx 解： （1）已知( )( )f xg x恒成立，即( )( ) 0f xg x恒成立， 令( )( )( )1 x h xf xg xeax，则有( ) x h xea， 当0a时，则恒有( )0h x，此时函数( )h x单调递增，并且当x 时，( )h x ，不 满足题意； 0a，此时令( )0h xxlna； ( )0h xxlna；( )0h xxlna，即函数( )h x在(,)lna上单调递减，在(,)lna 上单调递增， ( )()1 min h xh lnaaalna， 若要满足题意，则需使1 0
16、aalna ，恒成立， 令F（a）1(0)aalnaa，则有 F （a）lna， 由此可得，当01a时， F （a）0；当1a 时， F （a）0 F（a） min F（1）0，即得F（a）0， 1a （2）令( )1(0,1) x G xexx，则有( )10 x G xe 恒成立，故可得( )G x在(0,1)上单调 递增， 即有( )(0)0G xG恒成立，故有101 xx exex 在(0,1)上恒成立； 根据题意，要证 2 11 1 ( ) lnx x f xx ，即证明 11 1 1 lnx x xx ， 即证 2 1 11 x lnxxxx x ， 即证 2 1 10lnxx x
17、 ， 令 2 1 ( )H xlnxxx x ，则有 22 111 ( )2(1)2H xxxx xxx ， (0,1)x， 10 x ，20 x， ( )0H x在(0,1)上恒成立，即得函数( )H x在(0,1)上单调递减， ( )H xH（1）10 ，由此得证当(0,1)x时，原不等式成立 7已知函数( )(1)f xx lnx，( )fx的反函数为( )h x（其中( )fx为( )f x的导函数， 20.69)ln （1）判断函数 2 ( )( )32g xfxxx在(0,)上零点的个数； （2）当(0,1)x，求证： 3 ( ) 1 ( ) f x xx h x 解： （1）由题
18、意得 22 ( )( )3232g xfxxxlnxxx， 则 (21)(1) ( ) xx g x x ， 由( )0g x得 1 2 x 或1x ， 由( )0g x，得 1 0 2 x或1x ， 由( )0g x，得 1 1 2 x， 当x在(0,)上变化时，( )g x，( )g x变化情况如下表： x 1 (0, ) 2 1 2 1 ( 2 ，1) 1 (1,) ( )g x 0 0 ( )g x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 根据上表知 13 ( )20 24 g xgln 极大值 ，( )g xg 极小值 （1）0， 121 ( )220 416 gln， 根据零点的存在
19、性定理，函数( )g x在 1 (0, ) 2 上存在唯一零点，又因为g（1）0， 所以根据( )g x的单调性可知，函数 2 ( )( )32g xfxxx在(0,)上零点的个数为 2 （2）证明：因为( )fxlnx，其反函数为( ) x h xe， 所以不等式为 33 (1) 1(1)(1) x x x lnx xxx lnxxxe e ， 当(0,1)x时，( )0fx， 所以( )f x在(0,1)上单调递减， 所以( )f xf（1）1 ， 设函数 3 ( )(1) x G xxxe， 则 32 ( )(32) x G xxxxe， 设函数 32 ( )32p xxxx，则 2 (
20、 )361p xxx， 所以( )p x在(0,1)上单调递增， 因为(0)pp （1）80 ， 所以存在 0 (0,1)x ，使得 0 ()0p x， 所以函数( )p x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，1)上单调递增， 当 0 (0,)xx时， 0 ()(0)2p xp ， 当 0 (xx，1)时， 0 ()0p x，p（1）0， 所以存在 1 (0,1)x ，使得 1 ()0G x， 所以当 1 (0,)xx时，( )0G x， 当 1 (xx，1)时，( )0G x， 所以函数( )G x在 1 (0,)x上单调递减，在 1 (x，1)上单调递增， 因为(0)1G ，G（1）e ， 所以当(0,1)x时，( )(0)1G xG ， 所以 3 (1)(1) x x lnxxxe， 所以 3 ( ) 1 ( ) f x xx g x
