1、一轮大题专练一轮大题专练 13导数（任意、存在性问题导数（任意、存在性问题 1） 1已知e是自然对数的底数，( )1 x f xxe，( )( )()F xf xa lnxx （1）当0a时，求证：( )F x在(0,)上单调递增； （2）是否存在实数a，对任何(0,)x，都有( ) 0F x ？若存在，求出a的所有值；若不 存在，请说明理由 解： （1）证明：( )( )()()1 x F xf xa lnxxxea lnxx， ( )(1)(1)().2 xx aa F xxeaxe xx 分 0a ，(0,)x， ( )0F x， 当0a时，( )F x在(0,)上单调递增； （2）解：
2、由（1）知，当0a时，( )F x在(0,)上单调递增， 此时， 11 ( )1(2) 222 e Faln ，由于10 2 e ， 1 20 2 ln， 1 ( )0 2 F，与题意不符；.6分 当0a 时，设( ) x a g xe x ，则( )g x在(0,)上单调递增， 根据函数 x ye与 a y x 的性质得 x ye与 a y x 的图象在第一象限有唯一的交点， 设交点的 横坐标为 0 x， 则 0 ()0g x，即 0 0 x x ea， 0 0 () x ln x elna，即 00 xxlna， 0 0000 ()()11 x F xx ea xxaalna ， 当 0
3、0 xx时，( )0g x ，故( )0F x，所以( )F x在 0 (0,)x上是减函数； 当 0 xx时，( )0g x ，( )0F x，所以( )F x在 0 (x，)上是增函数， 当 0 xx时，( )F x取得最小值，且( )F x的最小值为 0 ()1F xaalna， 对(0,)x ，都有 0 ( ) 0( )()1 0 min F xF xF xaalna，.9分 设h（a）1(0)aalnaa，则h（a）lna ， 当01a时，h（a）0，所以h（a）在(0,1)上是增函数； 当1a 时，h（a）0，所以h（a）在(1,)上是减函数； 当1a 时，h（a）取得最大值，且h
4、（a）的最大值为h（1）0； 当0a 时，h（a）0，即1 0aalna ，且“”成立1a， 由1 0aalna 得10aalna ， 1a， 综上所述，存在唯一的实数a，且1a ，(0,)x ，都有( ) 0F x .12分 2设函数 2 ( )f xaxalnx，其中aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）若不等式( ) 1f xa恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意0a ，存在实数 0 x，当 0 xx时，( )0f x 恒成立 解： （1） 2 121 ( )2 ax fxax xx ，0 x ， 当0a时，( )0fx恒成立，所以( )f x在(0,)上为减函数；
5、 当0a 时，由( )0fx，得 1 2 x a ，由( )0fx，得 1 2 x a ； 由( )0fx，得 1 0 2 x a ， 所以( )f x在 1 (0,) 2a 上为减函数，在 1 (,) 2a 上为增函数； （2）由( ) 1f xa得， 2 1axlnx ，即不等式 2 1lnx a x ，0 x 恒成立， 记 2 1 ( ) lnx g x x ，则 3 21 ( ) lnx g x x ，由( )0g x得， 1 2 xe ； 由( )0g x得， 1 2 0 xe ；由( )0g x得， 1 2 xe 所以( )g x在 1 2 (0,)e 为增函数，在 1 2 (,)
6、e 上为减函数， 所以 1 2 ( )() 2 max e g xg e ，所以 2 e a； （3）证明：由（1）知， 当0a 时，( )f x在 1 (0,) 2a 上为减函数，在 1 (,) 2a 上为增函数 当 1 1 2a ，即 1 2 a时，因为( )f x在 1 (,) 2a 上为增函数， 又f（1）0，所以，当1x 时，( )0f x ，此时取 0 1x ； 当 1 1 2a ，即 1 0 2 a时， 因为 1111 1(21)(1)0 222aaaa ， 所以 11 1 2aa ， 111 (1)2(1)fln aaa ， 令 1 1t a ，1t ，则上式1tlnt ， 记
7、( )1h ttlnt ，1t ，则 1 ( )10h t t ， 所以( )h t在(1,)上为增函数， 所以( )h th（1）0，即 1 (1)0f a ， 因为( )f x在 1 (,) 2a 上为增函数，且 11 1 2aa ， 所以当 1 1x a 时， 1 ( )(1)0f xf a ，此时取 0 1 1x a 综上，对于任意0a ，存在实数 0 x，当 0 xx时，( )0f x 恒成立 3已知函数( )1(0)f xmlnxkxm （1）讨论( )f x的单调性； （2）若存在实数k，使得( ) mx xfxe恒成立的m值有且只有一个，求km的值 解： （1）( )1(0)f
8、 xmlnxkxm，( )f x的定义域是(0,)， ( ) mkxm fxk xx ， 当0k时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递增， 当0k 时，令( )0fx，解得： m x k ， 当(0,) m x k 时，( )0fx，当( m x k ，)时，( )0fx， ( )f x在(0,) m k 上单调递增，在( m k ，)上单调递减； 综上：当0k时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0k 时，( )f x在(0,) m k 上单调递增，在( m k ，)上单调递减； （2）( ) mx xfxe恒成立，即0 mx ekxm恒成立， 令( ) mx g xekxm，
9、则( ) mx g xmek， 当0k时，( )0g x，( )g x单调递增， 要使( ) 0g x 在(0,)上恒成立， 只需(0)10gm ， 01m ，此时m不唯一，不合题意； 当0k m 时，令( )0g x，解得：0 lnklnm x m ， ( )g x在(0,)上单调递增， 要使( ) 0g x 在(0,)上恒成立，只需(0)10gm ， 01m ，此时m不唯一，不合题意； 当km时，令( )0g x，解得：0 lnklnm x m ， 当(0,) lnklnm x m 时，( )0g x，( )g x单调递减， 当(lnk lnm x m ，)时，( )0g x，( )g x
10、单调递增， ( )()() lnk lnm min lnklnmk g xgelnklnmm mm ， 要使( ) 0g x 在(0,)上恒成立，且m的值唯一，只需()0 lnklnm g m ， 整理得 2 10 m lnmlnk k ， 令 2 ( )1 m h mlnmlnk k ，则 2 2 ( ) km h m mk ， 令( )0h m，解得： 2 k m ， 当(0,) 2 k m时，( )0h m，( )h m单调递增， 当( 2 k m，)时，( )0h m，( )h m单调递减， 11 ( )() 222 min k h mhln k ， 要使m的值唯一，只需 11 ( )
11、0 22 max h mln k ， 解得： 2 e k ， 2 e m ， 2 ee km 4已知函数( ) lnx f x x （1）设( )( )() 1 x g xf xf x ，求函数( )g x的最小值； （2）设 1 ( )( )h xf x ，对任意 1 x， 2 (0,)x ， 121212 ()()()()h xh xh xxk xx恒成立， 求k的最大值 解： （1） 11 ( ) lnx f xln xxx ， 令 1 t x ，则( )( )(1) (1)F tg xtlntt lnt，(0,1)t， 则( )1 (1)1 1 t F tlntlntln t ， 当
12、1 (0, ) 2 t时，( )0F t，( )F t单调递减， 当 1 (2t，1)时，( )0F t，( )F t单调递增， 故( )F t的最小值是 1 ( )2 2 Fln ， 即( )g x的最小值是2ln； （2） 1 ( )( )h xfxlnx x ， 则 1212 ()()()h xh xh xx 11221212 ()()x lnxx lnxxx ln xx 12 12 1212 xx x lnx ln xxxx 1122 12 12121212 () xxxx xxlnln xxxxxxxx 12 12 1212 () ()() xx xxhh xxxx ， 由（1）知
13、121 121212 ()()()2 xxx hhFln xxxxxx ， 故 121212 ()()()()2h xh xh xxxxln， 故2kln， 故k的最大值是2ln 5已知函数 32 ( )231f xaxax， 3 ( )(0) 42 a g xxa （1）若对任意给定的 0 1x ，5 4 ，总存在唯一一个 1 1x ，5 4 ，使得 10 ()()f xg x成立， 求实数a的取值范围； （2）若对任意给定的 0 1x ， 5 4 ，在区间 1， 5 4 上总存在两个不同的(1,2) i x i ，使得 120 ()()()f xf xg x成立，求实数a的取值范围 解：
14、（1）由题意知，( )6(1)fxax x， 因为 5 1 4 x ，所以由( )0fx，解得10 x或 5 1 4 x ，由( )0fx，解得01x， 故( )f x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为 1，0)和(1， 5 4 ， ( 1)15fa ，(0)1f，f（1）1a ， 525 ( )1 432 a f ， 所以( )f x的值域为1，15 a， 又因为( )g x在 1， 5 4 上单调递增， 所以( )g x的值域为 3 2 4 a ， 35 216 a ， 问题转化为直线yt， 3 2 4 a t， 35 216 a 和曲线( )( 1yf x x ， 5) 4 的图
15、象只有一个交 点， 结合图象，有 3 1 24 35 15 216 a a a a ，解得a的取值范围是 2 ( 5 ， 8 75 （2）由（1）可知，问题转化为yt， 3 2 4 a t， 35 216 a 和曲线( )( 1yf x x ， 5) 4 二 者的图象有两个不同的交点， 结合图象，有 3 1 24 2535 1 32216 a aa ，解得a的取值范围是 16 ( 2,) 15 6已知函数 2 1 ( )1 2 f xxkx，( )(1) (1)g xxln x，( )( )( )h xf xg x （1）若( )h x在0，2上单调递减，求实数k的取值范围； （2）若对于0,
16、1te ，总存在 1 x， 2 ( 1,4)x ，且 12 xx满( )( )(1 i f xg t i，2)，其 中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围 解： （1）( )(1)1g xln x， 2 1 ( )( )( )2(1) 2 h xf xg xxkxln x， 1 ( ) 1 h xxk x 令 1 ( ) 1 xxk x ，因为 22 1(2) ( )10 (1)(1) x x x xx 对0 x，2恒成立， 1 ( ) 1 xxk x ，即( )h x在0，2上为增函数， 7 ( )(2) 3 max h xhk， ( )h x在0，2上单调递减， ( ) 0h x对0 x
17、，2恒成立，即 7 ( )0 3 max h xk 7 3 k， 即实数k的取值范围是(， 7 3 （2）当0,1xe时，( )(1)10g xln x ， ( )(1) (1)g xxln x在区间0,1e 上为增函数， 0,1xe时， 1 0( ) 2 g xe， 2 1 ( )1 2 f xxkx的对称轴为xk ， 由题意可得14k ，此时 2 1 ( )()1 2 min f xfkk ， ( )f x的值恒小于( 1)f 和f（4）中最大的一个 对于0,1te ，总存在 1 x， 2 ( 1,4)x ，且 12 xx满足( )( )(1 i f xg t i，2)， 0， 1 ( ( ) 2 min ef x， ( 1)min f ，f（4）)， 14 ( )0 1 (4) 2 1 ( 1) 2 min k f x ef ef 2 41 1 10 2 1 49 2 13 22 k k ek ek ， 19 2 84 ek ， 即实数k的取值范围是 19 (,2) 84 e
