1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 27数列（分组、并项求和）数列（分组、并项求和） 1已知数列 n a的前n项和为 2 17 88 n Snn （）求 n a的通项公式； （）求数列sin() 2 n an 前 2021 项之和 解： （） 2 17 88 n Snn ，可得1n 时， 11 3 4 aS； 2n时， 22 1 1717 (1)(1)1 88884 nnn n aSSnnnn ， 上式对1n 也成立 所以1 4 n n a ，*nN； （）sin()(1)sin() 242 n n ann ， 则 123413 31 sinsinsinsin2 222 aaaaaa ， 567
2、857 571 sinsin3sinsin4 222 aaaaaa ， . 根据正弦函数的周期性可得， 122021 2021120211007 sinsin.sin5051 22244 aaa 2山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根” 临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们 临汾人喜爱吃的面食调查资料表明，某学校在每周一有 1000 名学生选择面食，餐厅的面 食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹两种面食 凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生， 下 周一会有20%改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有30%改选牛肉丸子面用 n a， n b分别表示在第n个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且 1
3、 600a （1）证明：数列 n a是常数列； （2）若 2 , 2 , n n n n c n 为奇数 为偶数 ，求数列 nn bc的前2n项和 2n S （1）证明： 1 600a ， 1 1000600400b， 2 6000.84000.3600a ， 根据题意，可得 1 0.80.3 1000 nnn nn aab ab ， 解之可得， 1 1 300 2 nn aa ， 1 600a ， 600 n a，即得数列 n a是常数列； （2）由（1）可得，1000400 nn ba， 2 , 2 , n n n n c n 为偶数 为奇数 ， 21321242 2400()() nnn
4、 Sncccccc 242 24002(13521)(222 ) n nn 2 4 8002(41) 3 n nn 3已知等差数列 n a满足 1 1a ， 423 2aaa （1）求数列 n a的通项 n a； （2）若 2 cos 2 nn n ba ，求数列 n b的前 40 项和 40 S 解： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 1 1a ， 41123 3342aadadaa， 得2d ， 23 n an （2） 2 cos 2 nn n ba ， n为奇数时，0 n b n为偶数时，42nk，kN时， 2 nn ba ， 当44nk，kN时， 2 nn ba， 222222
5、2222 4042861210363440382468402 20 19 ()()()()()4()4(202 )3120 2 Saaaaaaaaaaaaaaaad 4已知等比数列 n a的公比0q ， 1 2a ，且 2 1 n a 是 1 n a ， 1 1 n a 的等差中项，数列 n b满 足 1 0b ，数列 11 () nnn bb a 的前n项和为 2 314 ( 2) 99 n n ，*nN （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 nn a b n 的前n项和 解： 2 1 ( ) n I a 是 1 n a ， 1 1 n a 的等差中项， 12 112 nnn aaa
6、，即 11 111 112 nnn a qa qa q ， 2 20qq， 0q ， 2q ， n a通项公式： 1 1 ( 2) nn n aa q ()II令 11 () nnnn cbb a ，则数列 n c的前n项和为 n C， 当2n时， 21 21 1 3143(1)14 ( 2)( 2)()( 2) 9999 nnn nnn nn cCCn ， 当1n 时， 11 4cC 也满足 1 ()( 2)n n cn ， 则 n c的通项公式 1 ()( 2)n n cn ， 11 ( 2) nn a ， 1nn bbn ， 当2n时， 112211nnnnn bbbbbbbb ， (1
7、) (1)(2)10 2 n n nn ， 当1n 时， 1 0b ，也满足 (1) 0 2 n n ， 则 n b的通项公式 (1) 2 n n n b ， 设 nn n a b d n ，其前n项和为 n S， 则 1 (1)( 2)n n dn ， 运用数列的错位相加减， 011 0 ( 2)1 ( 2)(1)( 2)n n Sn ， 121 20 ( 2)1 ( 2)(2)( 2)(1)( 2) nn n Snn ， 由可得， 121 (23 )( 2)2 3( 2)( 2)( 2)(1)( 2) 3 n nn n n Sn ， (23 )( 2)2 9 n n n S 5已知等差数列
8、 n a满足公差0d ，前n项的和为 n S， 34 2Sa，且 1 a， 3 2a ， 4 2a成 等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 ( 1) (25) n n nn n b a a ，求数列 n b的前 100 项的和 100 T 解： （1）等差数列 n a满足公差0d ，前n项的和为 n S， 34 2Sa，且 1 a， 3 2a ， 4 2a成 等比数列 所以 34 2 314 2 (2)2 Sa aaa ， 整理得： 11 2 111 3326 (22)2(3 ) adad adaad ，解得 1 6 2 a d ， 故24 n an （2）由（1）得： 1 (
9、 1) (25)( 1) (25)111 ( 1)() (24)(26)2 2426 nn n n nn nn b a annnn ， 所以： 1 1 11 () 2 68 b ， 2 1 11 () 2 810 b ，.， 100 111 () 2 204206 b， 故 100 11150 () 2 2066618 T 6已知数列， n b满足 1 1 18 a ， 11 216 nnnn aaaa ， 1 16 n n b a （）证明 n b为等比数列，并求 n b的通项公式； （）求 1 1223 377 a ba ba ba b 证明： （） 11 216 nnnn aaaa ，
10、1 21 16 nn aa ， 1 11 162(16) nn aa ， 1 16 n n b a ， 1 2 nn bb ， 1 1 18 a ， 1 1 1 162b a ， n b是以 2 为首项，以 2 为公差的等比数列， 1 222 nn n b ； （）由（）可得 1 162n n n b a ， 1 216 n n a ， 216 1 216216 n nn nn a b 88 8 16 1 216 nn n ab 8 88 888 11216216 216()216211 216216216 (22)16 16 nn nnnn nnnn a bab ， 1 1223 3771
11、17722663 3554444 117 ()()()()1 1 1 222 a ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b 7已知数列 n a是正项等比数列，满足 3 a是 1 2a， 2 3a的等差中项， 4 16a （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 221 ( 1) log n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T 解： （1）数列 n a是正项等比数列，满足 3 a是 1 2a， 2 3a的等差中项， 4 16a ， 设数列的公比为q， 则 2 111 223a qaa q， 由于 1 0a ， 故 2 2320qq，解得2q 或 1 2 由于数列为正项数列， 所以2q 则2n n a （2）由（1）知： 21 21 2 n n a ， 所以 221 ( 1) log( 1)(21) nn nn ban ， 当n为偶数时，则( 35)( 79). (21)(21)2 2 n n Tnnn ， 当n为奇数时，则 1 ( 35)( 79). (21)(21)2(21)2 2 n n Tnnnn 故 2 n nn T nn 为偶数 为奇数
