1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 参数法巧解直线与圆锥曲线问题参数法巧解直线与圆锥曲线问题 直线与圆锥曲线问题是高中数学的难点，也是高考中的热点问题，同时它广泛地存在于科学研究、工 程技术中.下面我们运用参数法来解决直线与圆锥曲线的一些常见问题，本文试图就几类较为常见问题的 探究，给读者一些有益的启示. 1.1.弦弦长长问题问题 例例 1 1 过点)0 , 3(P且倾斜角为 30的直线与双曲线4 22 yx相交于BA、两点,求弦AB的长. 解解( (一一) )求出直线方程，并与双曲线方程联立，求出交点坐标，再由坐标求出线段长.该法思路较清晰， 但在计算交点的时，计算量往往较大. 解解(
2、 (二二) )求出直线方程，并与双曲线方程联立消元，设两点坐标为),(),( 2211 yxyx再利用韦达定理求 出线段长.该法解题中较常用，但要注意变形过程. 下面我们用参数法来解： 解解( (三三) )直线的参数方程为 3 3, 2 () 1 2 xs s ys 为参数 ，将直线的参数方程代入双曲线方程 4 22 yx，得 2 6 3100ss设A、B对应的参数分别为 21,s s， 121 2 6 310sss s，,AB 2 12121 2 ()4sssss s 172. 线段AB的长为172. 2.2.中点弦问题中点弦问题 例例 2 2 已知直线l过点) 2 1 , 3(P交椭圆1
3、4 2 2 y x 于BA、两点, 且点P平分弦AB 求直线l的方程. 解解( (一一) ) 可设交点坐标分别为),(),( 2211 yxyx 21 xx ,分别代入椭圆方程，并联立作差， 利用中点坐标) 2 1 , 3(P，可以求出直线l斜率，进而求出直线方程，并检验所求的直线与椭圆是否 有两个交点,但该法还不应忽视特殊情况 21 xx 时. 下面我们用参数法来解： 解解( (二二) ) 设直线的倾斜角为0，则直线的参数方程为 sin 2 1 cos3 sy sx 为参数s，将直线的参数方程代入椭圆方程1 4 2 2 y x ， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 得0sincos
4、2 3 sincos 4 1 222 ss，设A、B对应的参数分别 为 21,s s，点P为AB中点0 21 ss，则有0 sincos 4 1 sincos 2 3 22 0sincos 2 3 即 2 3 tan AB k，所以直线l的方程为2 2 3 xy. 3.3.直线与圆的位置关系问题直线与圆的位置关系问题 例例 3 3 过圆外一点) 1 , 1(P作直线l (1) 若l与圆 22 :(1)(2)4Cxy相切，求直线的方程. （2）若l与圆 22 :(1)(2)4Cxy相交，求直线的斜率的范围. (1)解解( (一一) )讨论直线斜率不存在时，是否符合，进而讨论斜率存在，设出直线方程
5、，根据圆心到直线 距离等于半径，求出斜率. 该法在解题中较常用，但要容易忽视直线斜率不存在的情形. 解解( (二二) ) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用0求出斜率. 但仍不能忽视直线斜率不存在的情 形. 下面我们用参数法来解： 解解( (三三) ) 设过点) 1 , 1(P的直线l的参数方程方程为 sin1 cos1 sy sx 为参数s，其中 为倾斜角0. 将直线的参数方程代入圆方程，得09)cos4sin6( 2 ss 直线l与圆仅有一个交点上述方程有且仅有一解，所以0 0cossin12cos5 2 得 12 5 tan0cos或 当0cos时，直线l斜率不存在，所以直线的方程为1x
6、， 当 12 5 tan时，直线l斜率为 12 5 ，所以直线的方程为 12 7 12 5 xy. （2）解解( (一一) ) 设出直线方程，再与圆的方程联立利用0求出斜率的范围. 但不能忽视直线斜率不 存在的情形. 下面我们用参数法来解： 解解( (二二) ) 将直线的参数方程代入圆方程，得09)cos4sin6( 2 ss 直线l与圆相交上述方程有两解，所以0，即0cossin12cos5 2 当0cos时，上述不等式不成立; 当0cos时，0cossin12cos5 2 可化为0tan125 12 5 tan 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 所以直线的斜率的范围是 12 5 ,. 直线与圆锥曲线的位置关系，也可以通过将直线参数化后与圆锥曲线方程联立，通过转化为一元二次 方程的来解决，能起到化繁为简.上述几类问题的求解，都是将直线方程设为标准的参数式，即： sin cos 0 0 syy sxx （其中s为参数，为倾斜角） ，然后求解.
