1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 二项分布及其应用二项分布及其应用 二项分布是概率论中最重要的几种分布之一,在实际应用和理论分析中都有着重要的地位:一般地, 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独 立重复试验中,事件 A 恰好发生 K 次的概率为 P(X=k)=Cn kpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n,此时称随机变量 X 服从 二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率。 二项分布是一种常见的重要离散型随机变量分布列,其识别特点主要有两点:其一是概率的不变性概率的不变性; 其二是试验的可重复性试
2、验的可重复性,下面加以例谈。 例题例题 1 1 某车间有 10 台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为 10 千瓦,已知每台机床工作时, 平均每小时实际开动 12 分钟,且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张,供电部门只提供 50 千 瓦电力,这 10 台机床能够不因电力不足而无法工作的概率为多大?在一个工作班的 8 小时内,不能正常 工作的时间大约是多少? 解析:设 10 台机床中实际开动的机床数为随机变量,由题意知满足二项分布,即B(10,p) , 其中 p 是每台机床开动的概率,p= 5 1 60 12 ,从而)10,2 , 1 , 0() 5 4 () 5 1 ()( 10
3、10 kCkP kk k , 50 千瓦电力可同时供 5 台机床同时开动,因而 10 台中同时开动数不超过 5 台都可以正常工作,这一 事件的概率 55 5 10 64 4 10 73 3 10 82 2 10 9 1 10 10 0 10 ) 5 4 () 5 1 () 5 4 () 5 1 () 5 4 () 5 1 () 5 4 () 5 1 () 5 4 )( 5 1 () 5 4 ()5(CCCCCCP 994. 0。 由以上知,在电力供应为 50 千瓦的条件下,机床不能正常工作的概率仅为 0.006,从而一个工作班的 8 小时内不能正常工作的时间大约为 8600.006=2.88(
4、分钟) ,这说明,10 台机床的工作基本不受电力 供应紧张的影响。 例题例题 2 2有两袋相同的球,每袋中各有 n 个,一个人随意从任一袋中一个一个地取球,经过一段时间 以后,他发现有一袋球空了,求这时另一袋中还剩 r (r=0,1,2, ,n)个球的概率。 解析:将每次取出一个球看作一次独立试验,每次试验有两个可能的结果:取的是第一袋的球或者 是第二袋的球,它们出现的概率均是 2 1 。由于两袋球共有 2n 个,当第一袋的球被取空、第二袋里还剩 r 个时,共取了 2n-r 个 ,概率应为 nr n rn nrnn rn n rn CCnP 2 2 2 2 2 2) 2 1 1 () 2 1
5、()( 点评点评:公式 knk k nn ppCkP )1 ()(,是 n 次独立试验中某事件 A 恰好发生 k 次的概率,其中 n 是重 复试验的次数,p 是在一次试验中该事件 A 发生的概率,k 是 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生的次数。 弄清公式中这些量的意义,才能正确使用这一公式求解。 同步测试:同步测试: 1、下面关于 XB(n,p)的叙述: 1p 表示一次试验事件发生的概率; 2n 表示独立重复试验的总次数; 3n=1 时,二项分布退化为两点分布; 4随机变量 X 的取值是小于等于 n 的所有正整数。 正确的项数为() A1B.2C.3D.4 2、将一枚骰子连掷 5 次,出
6、现 k 次偶数点的概率等于出现 k+1 次偶数点的概率,那么 k 的值为 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 () A0B.1C.2D.3 3、如果 XB(n,p),其中 0p1,那么使 P(X=k)取得最大值的 k 有() A只有一个 B.有两个C.n 为奇数时有两个D 当(n+1)p 为正整数时有两个 4、有一袋玉米种子,因放置时间较长,发芽率只有 80%,播种时每穴中放 4 粒种子,求每穴有两 棵以上苗的概率。 答案与提示答案与提示: 1、答案 C。由定义易知; 2、答案 C。代入公式 knk k nn ppCkP )1 ()(即可求得; 3、答案 D。由 )1 ( ) 1( 1 )1 ( ) 1( ) 1( )( pk kpn pk pkn kXP kXP , 因此,当);1()() 1(kXPkXPpnk时, 当);1()() 1(kXPkXPpnk时, 当);1()() 1(kXPkXPpnk时, 故(n+1)p 为整数时,有两个最大值; (n+1)p 不为整数时,有一个最大值。 4、间接求解:P=P(X2) =1- P(X1) =1-C4 10.80.23 - C4 00.800.24 =0.9728