1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 复合函数研究策略复合函数研究策略 所谓的复合函数就是由两个或两个以上的基本初等函数复合而成的函数，其基本形式为( )yg x、 ( )yf x为基本初等函数，则 ( )f g x称为复合函数。由于其结构较为复杂，函数特征比较抽象，给我们 的学习带来了一定的困难，本文就有关复合函数学习中的几类常见研究方法加以例述，供大家参考。 一、抽象的复合函数问题一、抽象的复合函数问题 1.1.求定义域问题求定义域问题 例 1.已知函数(2 ) x yf的定义域为（0，2） ，求函数 2 (log)yfx的定义域。 分析分析：本例属于抽象的复合函数定义域问题，解决好本
2、题的关键是正确理解函数的对应法则的真正含 义，以及函数的定义域是指其中自变量x的取值范围。 解析解析：由于函数(2 ) x yf的定义域为（0，2） ，即02x，故124 x ， 从而有 2 1log4x，解之得216x，所以函数 2 (log)yfx的定义域为(2,16)。 点评点评： 本例在解答过程中的关键问题是在对应法则f的作用下的部分地位是等价的， 即2x与 2 log x的 范围是一致的。 2.2.判断复合函数的奇偶性判断复合函数的奇偶性 例 2（2006 年辽宁卷）设( )f x是定义在 R 上的函数，则下列叙述正确的是（） A.( ) ()f x fx是奇函数B.( )|()|f
3、 xfx是奇函数 C.( )()f xfx是偶函数D.( )()f xfx是偶函数 解析解析：对于选项 A：令( )( ) ()F xf x fx，则()() ( )( )Fxfx f xF x，故为偶函数； 对于选项 B：令( )( )|()|F xf xfx，则()()|( )|Fxfxf x，此时( )F x与 ()Fx的奇偶关系不能确定； 对于选项 C：令( )( )()F xf xfx，则()()( )( )Fxfxf xF x ，故为奇函数； 对于选项 D：令( )( )()F xf xfx，则()()( )( )Fxfxf xF x，故为偶函数。因此，答 案选 D. 点评点评：用
4、定义来判断函数的奇偶性是最基本、也是最好的判断方法，在判断过程中需注意两点：一是 验证所给函数的定义域是否关于原点对称；二是要看()fx与( )f x的关系。除直接观察外，常见的还有 用 () ( ) fx f x 的值是否为 1 或1来判断。 3.3.研究函数的增减性问题研究函数的增减性问题 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例 3.已知函数( )yf x是偶函数，(2)0,2yf x在上是单调递减函数，则（） A.(0)( 1)(2)fffB.( 1)(0)(2)fff C.( 1)(2)(0)fffD.(2)( 1)(0)fff 分析分析：函数(2)yf x的图象是在( )yf
5、x的图象的基础上，沿 x 轴向右平移 2 个单位而得到。弄 清函数(2)yf x与( )yf x间的关系是解本题的关键。 解析解析：由于函数( )yf x是偶函数，故其图象关于 y 轴对称，又函数(2)yf x的图象是在 ( )yf x的图象的基础上，沿 x 轴向右平移 2 个单位而得到，所以(2)yf x的图象关于直线2x 对 称，(2)0,2yf x在上单调递减， 则其在2,4上单调递增； 故( )yf x在 2,0上单调递减， 在0,2 上单调递增，如图所示 结合图象可知(0)( 1)(2)fff，故答案选 A. 点评：点评：本题很好地将函数的奇偶性、单调性及图象的变换结合在一起，综合性
6、较强，弄清函数 (2)yf x与( )yf x间的关系，充分利用(2)yf x的单调性来研究( )yf x是解本题的关键。 二、有具体解析式的复合函数二、有具体解析式的复合函数 1.1.定义域问题定义域问题 例 1.已知函数 1 ( )lg , ( )423 xx f xx g x ，那么函数 ( )f g x的定义域是（） A.(,2)B.(2,)C. 2 (l g 3,)oD. 2 (,log 3) 分析分析：本题属于复合函数求定义域，应首先分清函数的复合类型，即分清内、外层函数，然后通过内 外层函数的具体类型来确定所应满足的条件。 解析解析： 令 1 ( )4230 xx g x ， 即
7、 2 (2 )2 230 xx 解得23 x （21 x 舍） 所以 2 l g 3xo， 故答案选 C. 点评点评： 1 ( )423 xx g x 作为内层函数，同时在外层函数对数函数的真数位置，应保证其大于零。 2.2.值域问题值域问题 -220 x y -1 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例 2.求函数 2 2 ( )log (23)f xxx的值域。 解析解析：设 22 23(1)4,04,uxxxu 则 2 log2,( )2uf x因此，故的值域为（， 点评点评：通过令 2 23uxx ，将原函数转化为复合函数 2 log u的值域问题，但要注意0u 这一条 件不要忽
8、视。 3.3. 求解析式类求解析式类 例 3.已知(1)2(1)fxxxf x,求。 分析：欲求(1)f x的表达式，需先求出( )f x进一步将(1)x代入可得。 解析解析： 2 (1)2(1)fxxxx=-1， 令1xx得 2 ( )1f xx， 22 (1)(1)12f xxxx 。 点评点评：本题在求函数( )f x的解析式时，用构造法来求解的，常见的还可以用换元法。4.4.函数的函数的 单调性问题单调性问题 例 4.函数( )log |1| a f xx在( 1,0)上单调递增，则( )f x在(, 1) 上是（） A.由负到正单调递增B. 由正到负单调递减 C.单调递减且恒为正数D
9、. 时增时减 分析分析：本题直接研究原函数的增减性比较困难，但若换元令1ux，将其转化为复合函数问题，较 易解决。 解析解析： 令1ux， 则原函数可化为log | a yu， 其为偶函数， 图象关于 y 轴对称； 又log |1| a yx 的图象是将log | a yx图象沿 x轴向左平移 1 个单位得到， 故( )log |1| a f xx的图象关于直线1x 对称。又在( 1,0)上单调递增，故可知1a ，( )log |1| a f xx的大致图象如图所示： 结合图象易知( )f x在(, 1) 上由正到负单调递减，故答案选 B. 通过以上对抽象的复合函数和有具体解析式的复合函数两类问题的研究，我们不难看出，不论是哪一 ox y -1 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 类函数的复合函数在研究过程中，首要的问题是分清内外层函数类型，在此基础上，将所研究的问题归为 各自的函数内容中，化归为基本初等函数问题来解决。
