1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例谈用一元三次函数培养解题能力例谈用一元三次函数培养解题能力 新的数学课程体系确立了以培养能力为核心的新教育观念和思想，因此近年来高考以及各地模拟试题 中，对函数的考查并不仅仅局限在一些常用的函数上，出现了不少以三次函数为背景的好试题，比较成功 地培养和考查了学生各方面能力。 1 1、 以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力以三次函数为蓝本，培养学生分析运用函数性质的能力 （1 1） 考查函数的奇偶性和单调性考查函数的奇偶性和单调性 例 1已知函数 f(x)=x 3+px+q(xR)是奇函数，且在 R 上是增函数，则（ ） A、p=0,q=0
2、B、pR,q=0C、p0,q=0D、p0,q=0 解析由奇函数以及增函数的定义易知选 D （2 2）考查函数图象的对称性考查函数图象的对称性 例 2函数 f(x)=x 3-3x2+x-1 的图象关于（ ）对称 A、直线 x=1B、直线 y=xC、点(1,-2)D、原点 解析由 f(x)=ax 3+bx2+cx+d(a0)的图象关于 2 3 27 2 33 , a b a bc a b d成中心对称知选C （3 3）运用函数的性质和数形结合思想解题运用函数的性质和数形结合思想解题 例 3已知函数 f(x)=ax 3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则（ ） A、b(-,0)B、b(0,1)C、
3、b(1,2)D、b(2,+ ) 解析显然 f(0)=d=0，由 f(x)=ax(x-1)(x-2)知 a0，又y f(x)= ax 3-3ax2+2ax 比较系数可知 b=-3a0,b0,d=0）o12 2、 以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力以三次函数为载体，培养学生综合运用知识的能力 （1 1）考查集合、映射等知识考查集合、映射等知识 例 4设 f(x)=x 3-x,M=x|1-kxkN=x| f(x)0 ，若 M N，求 k 的取值范围 解析由 f(x)0 解得 x-1 或 ax1，则 N=x| x-1 或 ax1 ，又 MN，得 0k1,01-k1 或 k-1,1-k-1 解
4、得 0k1 或 k 故 k 的取值范围是（0，1） （2） 、考查函数不等式等知识考查函数不等式等知识 例 5设函数 f(x)=x 3(xR)，若 2 0 时,01sinmfmf恒成立，则实数 m 的取值 范围是（） A、(0,1)B、(-,0)C、 2 1 ,D、(-,1) 解析由函数 f(x)=x 3在 R 上为奇函数知 11sinmfmfmf，又 f(x)=x 3在 R 上为增 函数，得1sinmm即11sinm sin1 1 m 设 sin1 1 g，由 2 0 知1sin0 1 min g 1 minsin1 1 gmm,故选 D （3） 、考查二项式定理及函数知识考查二项式定理及函
5、数知识 例 6设 f(x)=x 3-3x2+3x+1，则 f(x)的反函数 f-1(x)= 解析结合二项式定理知 f(x)=(x-1) 3+2，令 f(x)=y 有 y-2=(x-1)3得 x-1=3 2y, 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 x=32y+1 故 f -1(x)= 3 2y+1 3、 以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力以三次函数为核心，培养学生分析问题、解决问题的能力 以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。 例 7设 f(x)=x 3，等差数列a n中 a3=7,a1+a2+a3=12，记 Sn= 3
6、1n af,令 bn= anSn，数列 n b 1 的 前项和为 Tn。 （1）求an的通项公式和 Sn （2）求 nn T lim的值 解析（1）设数列an的公差为 d，由 a3= a1+d=7, ,a1+a2+a3=3a1+3d=12 解得 a1=1,d=3 an=3n-2, f(x)=x 3 Sn= 3 1n af=an+1 (2) bn= anSn=(3n-2)(3n+1), n b 1 13 1 23 1 3 1 )13)(23( 1 nnnn 13 1 3 1 1 nn T 故 3 1 13 1 3 1 1limlim nnnn T 例 8设曲线 C 的方程是 y=x 3-x，将
7、C 沿 x 轴，y 轴的正向分别平行移动 t,s 单位长度后 得到曲线 C1。 （1）写出曲线 C1的方程； （2）证明曲线 C 与 C1关于点 22, st A对称; （3）如果曲线 C 与 C1有且仅有一个公共点，证明 S=t t 4 3 且0t. 解析（1）曲线 C1的方程为 y=(x-t) 3-(x-t)+s （3）证明：在曲线 C 上任意取一点 B1(x1,y1)，设 B2(x2,y2)是 B1关于 A 的对称点，则有 2222 2121 , s yy t xx ， 2121 ,ysyxtx代入曲线 C 的方程得 x2和 y2满足的方程： S-y2=(t-x2) 3-(t-x 2)即 y2=(t-x2) 3-(t-x 2)+S 可知点 B2(x2,y2)在曲线 C1上。 （4）证明：由曲线 C 与 C1有且仅有一个公共点得 方程组 stxtxy xxy 3 3 有且仅有一组解， 消去 y 整理得 3tx 2-3t2x+(t3-t-s)=0， 这个关于的一元二次方程有且仅有一个根， 所以0t且0即 9t 4-12t(t3-t-s)=0 且 0t S=t t 4 3 且0t
