1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 赏析等比数列的前赏析等比数列的前 n n 项和公式的几种推导方法项和公式的几种推导方法 等比数列的前 n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式： 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q=1 时， 1 naSn 本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前 n 项和公式的方法-错位相减法， 更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推导，以加深对公式的理 解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果。 一般地，设等比数列 123 , n a a aa它的前
2、 n 项和是 n S n aaaa 321 公式的推导方法一：公式的推导方法一： 当1q时，由 1 1 321 n n nn qaa aaaaS 得 nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111 n n qaaSq 11 )1 ( 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q=1 时， 1 naSn 当已知 1 a, q, n 时常用公式；当已知 1 a, q, n a时，常用公式. 拓展延伸：拓展延伸：若若 n a是等差数列，是等差数列， n b是等比数列，对形如
3、是等比数列，对形如 nn a b 的数列，可以用错位相减法求和的数列，可以用错位相减法求和。 例题例题 数列 n a的前n项和 221 (1) 2(2) 22 22 nn n Snnn ，则 n S的表达式为 （） A 1 222 nn n Sn B 1 22 n n Sn C22 n n SnD 1 22 n n Sn 解析解析：由 221 (1) 2(2) 22 22 nn n Snnn ， 可得 231 22(1) 2(2) 22 22 nn n Snnn ， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 ，得 211 2(1 2 ) 222222 1 2 n nnn n Snnn ，故选（
4、D） 点评点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地方，应予 以高度的重视。 公式的推导方法二：公式的推导方法二： 当1q时，由等比数列的定义得，q a a a a a a n n 12 3 1 2 根据等比的性质，有q aS aS aaa aaa nn n n n 1 121 32 即q aS aS nn n 1 qaaSq nn 1 )1 ( 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q=1 时， 1 naSn 该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式，给我们以耳目一 新
5、的另类感觉。 导后反思导后反思：定义是基础定义是基础，深刻理解定义深刻理解定义，灵活地运用好定义灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的结论和规律往往能得到一些很有价值的结论和规律。 例如等比数列的一个常用性质：例如等比数列的一个常用性质： 已知数列 n a是等比数列（1q ） ， n S是其前n项的和，则 232kkkkk SSSSS，仍成等 比数列。其推导过程可有以下两种常见的证明过程： 证明一： （1）当q=1 时，结论显然成立； （2）当q1 时， 23 111 23 111 , 111 kkk kkk aqaqaq SSS qqq 2 11 2 11 11 kk kk aqaq S
6、S qq 1 1 1 kk a qq q 32 11 32 11 11 kk kk aqaq SS qq 2 1 1 1 kk a qq q 2 22 21 2 2 1 (1) kk kk a qq SS q 2 11 32 11 () 11 kkk kkk aqa qq SSS qq 2 22 1 2 1 (1) kk a qq q 2 2kk SS = 32 () kkk SSS 232kkkkk SSSSS，成等比数列. 这一过程也可如下证明 ： 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 证明二： 2k S k S= 1232 () k aaaa 123 () k aaaa = 1232
7、kkkk aaaa = 123 () k k qaaaa= k k q S0 同理， 3k S 2 k S= 2122233kkkk aaaa = 2k k q S0 232kkkkk SSSSS，成等比数列。 对比以上两种证明过程， 我们不难看出， 利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到很简捷的效果。 公式的推导方法三：公式的推导方法三： n S n aaaa 321 )( 13211 n aaaaqa 11 n qSa)( 1nn aSqa qaaSq nn 1 )1 ( 当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 q qaa S n n 1 1 当 q=1 时， 1 naS
8、n “方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章的公式考察 中常利用方程思想构造方程（或方程组） ，在已知量和未知量之间搭起桥梁，来求解基本量，使问题得到 解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书本。 .以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同，侧重点各 异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推导方法二则侧重于前n 项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了 1nn SS 与间的递推关系式，充分利用了 1nn SS 与和首 项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更 为灵活广阔的锻炼。
