1、高考之窗 从调和结构的视角看 2020 年北京卷解几题 晏乾 ( 四川省德阳中学校， 618000) 在解析几何试题的解题研究过程中， 代数 运算过程固然值得关注， 但其背后本质性的几 何背景更值得我们深思 把握住问题背后的几 何背景， 就对这类问题的本质有了更加深入的 理解 基于此， 笔者对 2020 年北京卷解析几何 题目从极点极线背景下进行了深入思考， 发现 了此题的本质， 并进一步拓展出了一类性质 一、 背景介绍 定义 1若直线上依次排列的四点 A， C， B， D 满足AC CB = AD DB， 则称 A， C， B， D 为调和点列 ( C 为内分点， D 为外分点) 特别地，
2、若点 D 在 无穷远处， 则AD DB = 1( 即点 C 为AB 的中点) 1 定义2若四点A， C， B， D为调和点列， 在 这四点所在直线外任取一点 O， 所依次形成的 四条射线 OA， OC， OB， OD 称为调和线束 1 对于调和线束， 有如下两条重要的结论 结论 1对于调和线束 OA， OC， OB， OD， 若有一直线分别交调和线束于 E， G， F， H 四 点， 则 E， G， F， H 为调和点列 证明如图 1， 由共边定理， 得 EG GF = SEOG SFOG = OEOGsinEOG OGOFsinGOF = OEsinEOG OFsinGOF ， 同 理EH
3、HF = OEsinEOH OFsinFOH 又因为 A， C， B， D 为调 和 点 列，有 AC CB = AD DB，即 OAsinAOC OBsinCOB = OAsinAOD OBsinBOD， 亦即 sinEOG sinGOF = sinEOH sinFOH ， 故 EG GF = EH HF， 得 E， G， F， H 也是调和点列， 证毕 结论 2已知调和线束 PA， PC， PB， PD， 若有一直线 l 平行于调和线束中的一条， 且与 剩余三条分别交于三点， 则这三点中的内点 平分该线段 证明如图 2， 过点 A 且平行于 PB 的直 线 l 分别交 PA， PC， PD
4、 于点 A， F， E 由 BCP ACF， 得BP AF = BC CA; 由BDPADE， 得 BD AD = BP AE 又因为 PA， PC， PB， PD 为调和线 束， 故AC CB = AD DB ， 即 AF BP = AE BP， 所以 AE = AF 如图3， 过点 C 且平行于 PB 的直线 l 分别 交 PA， PC， PD 于 点 E， C， F由 BDP CDF， 得BD CD = BP CF; 由 ACE ABP， 得 AC AB = CE BP 由 AC CB = AD DB， 可得 ABCD = 2AC 53 第 4 期高中数学教与学 DB， 即DC DB =
5、 2AC AB ， 于是CF BP = 2CE BP， 得 CF = 2CE 证毕 上述结论可广泛应用在圆锥曲线相关问 题中， 特别是涉及到极点与极线背景下的线 段平分问题 二、 应用举例 例 1 ( 2020 年北京高考题) 如图4， 已知椭 圆 C: x2 a2 + y2 b2 = 1 过点A( 2， 1) ， 且a = 2b ( 1)求椭圆 C 的方程; ( 2)过点 B( 4， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 点 M， N， 直线 MA， NA 分别交直线 x = 4 于点 P， Q， 求| PB | | BQ | 的值 解( 1)x 2 8 + y2 2 = 1( 过程略) ( 2)
6、点B( 4， 0) 关于椭圆C 的极线方程为 xBx 8 + yBy 2 = 1， 即x = 2( 如图4 中的直线AE) 设点E为直线MN与AE的交点， 由极点与极线背 景下圆锥曲线的调和性理论 1 2 ， 可知点列 B， M， E， N 为调和点列， 从而 AB， AM， AE， AN 为调和 线束 由于直线x = 2 与该调和线束交于点P， B， Q， 且直线x = 2与直线AE平行， 故由调和线 束结论2， 可知点 B 为 PQ 中点， 即| PB | | BQ | = 1 评注本题不难推广到如下一般形式 推论1过点 B a2 m ， () 0 的直线 l 交椭圆x 2 a2 + y2
7、 b2 = 1( a b 0)于点 M， N， 点 A 在椭圆 上且 xA= m，若直线 AM， AN 分别交直线 x = a2 m 于点 P， Q， 则| PB | | QB | = 1 以上从极点和极线的角度来深刻认识问 题的本源， 对今后的试题命制和研究都是具 有指导意义的 无独有偶， 在 2020 年德阳市第 三次调研考试中， 如下的一道解析几何题也 从上述角度逆向命题， 得到了很有趣的结果 例2已知动点 Q到点 F( 1， 0) 的距离和 到直线 l: x = 4 的距离之比为 1 2 ( 1)求动点 Q 的轨迹方程 C; ( 2)已知点 P 1， () 3 2 ， 过点 F 的直线
8、和曲 线 C 交于 A， B 两点， 直线 PA， PB， AB 分别交直 线 x = 4 于点M， N， H 证明: 点H恰为线段MN 的中点 解( 1)x 2 4 + y2= 1 ( 过程略) ( 2)如图 5， 易知直线 x = 4 是点 F( 1， 0) 的准线( 极线) ， 则 PA， PF， PB， PH 是调和线 束 因为直线x = 4 分别交PA， PH， PB于点N， H， M， 且与 PF 平行， 由调和线束结论 2， 可得 点 H 恰为线段 MN 的中点 对本题的结论作一般性推广， 可得 推论 2过椭圆x 2 a2 + y2 b2 = 1( a b 0) 内一点 F( m， 0) ( m0) 作直线 l 交椭圆于 A， B 两点， 已知点 P m， ba2 m 槡 2 () a ， 直线 PA， PB， AB 分别交直线 x = a2 m 于点 M， N， H， 则 H 恰为线段 MN 的中点 参考文献 1 朱德祥 高等几何 M 北京: 高等教育出版社， 1998 2王文彬 极点极线与圆锥曲线试题的命制J 数学通 讯， 2015( 4) : 62 66 63 高中数学教与学2021 年
