1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 1.5.1全称量词与存在量词全称量词与存在量词 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过已知的数学实例通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量理解全称量词与存在量 词的意义词的意义. 2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并并 能判断其真假能判断其真假. 3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应体会全称量词与存在量词在数学命题中的应 用用. 4.培养数学抽象素养和逻辑推理素养培养数学抽象素养和逻辑推理素养. 自主自主预习预习新
2、知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、全称量词与全称量词命题一、全称量词与全称量词命题 【问题思考】【问题思考】 给出下列语句给出下列语句: (1)3x+2是无理数是无理数; (2)x有算术平方根有算术平方根; (3)对一切无理数对一切无理数x,3x+2还是无理数还是无理数; (4)所有实数所有实数x都有算术平方根都有算术平方根. ？ 1.以上语句以上语句(1)(2)是命题吗是命题吗? 提示提示:语句语句(1)(2)中含有变量中含有变量x,无法判断它们的真假无法判断它们的真假,所以所以(1
3、)(2) 不是命题不是命题. 2.比较语句比较语句(1)和和(3),(2)和和(4),它们之间有什么关系它们之间有什么关系? 提示提示:语句语句(3)在在(1)的基础上的基础上,用短语用短语“一切一切”对变量对变量x进行限定进行限定; 语句语句(4)在在(2)的基础上的基础上,用短语用短语“所有所有”对变量对变量x进行限定进行限定. 3.以上语句以上语句(3)(4)是命题吗是命题吗?你能判断它们的真假吗你能判断它们的真假吗? 提示提示:(3)(4)是能判断真假的语句是能判断真假的语句,是命题是命题;(3)是真命题是真命题,(4)是假是假 命题命题. ？ 4.填表填表: ？ 5.做一做做一做:下
4、列命题中全称量词命题的个数是下列命题中全称量词命题的个数是() 任意一个自然数都是正整数任意一个自然数都是正整数; 所有的偶数都是合数所有的偶数都是合数; 三角形的内角和是三角形的内角和是180 . A.0B.1C.2D.3 解析解析:命题命题含有全称量词含有全称量词,命题命题可以叙述为可以叙述为“任意一个任意一个 三角形的内角和都是三角形的内角和都是180 ”,故三个都是全称量词命题故三个都是全称量词命题. 答案答案:D ？ 二、存在量词与存在量词命题二、存在量词与存在量词命题 【问题思考】【问题思考】 给出下列语句给出下列语句: (1)x5; (2)x是有理数是有理数; (3)存在实数存在
5、实数x,使使x5; (4)至少有一个实数至少有一个实数x,使使x是有理数是有理数. ？ 1.以上语句以上语句(1)(2)是命题吗是命题吗? 提示提示:不是不是. 2.比较语句比较语句(1)和和(3),(2)和和(4),它们之间有什么关系它们之间有什么关系? 提示提示:语句语句(3)在在(1)的基础上的基础上,用短语用短语“存在存在”对变量对变量x的取值进的取值进 行限定行限定;语句语句(4)在在(2)的基础上的基础上,用短语用短语“至少有一个至少有一个”对变量对变量x 的取值进行限定的取值进行限定. 3.以上语句以上语句(3)(4)是命题吗是命题吗?若是命题若是命题,你能判断它们的真假吗你能判
6、断它们的真假吗? 提示提示:(3)(4)是命题是命题,都是真命题都是真命题. ？ 4.填表填表: ？ 5.做一做做一做:下列命题是存在量词命题的是下列命题是存在量词命题的是() A.一元二次函数的图象关于一元二次函数的图象关于y轴对称轴对称 B.正方形都是平行四边形正方形都是平行四边形 C.不相交的两条直线是平行直线不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于存在实数大于等于3 答案答案:D ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)“有理数全是实数有理数全是实数”是全称量词命
7、题是全称量词命题.( ) (2)同一个全称量词命题的表述是唯一的同一个全称量词命题的表述是唯一的.( ) (3)“全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”是存在量词命题是存在量词命题.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 全称量词全称量词命题与存在量词命题的判定命题与存在量词命题的判定 【例【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题: (1)凸多边形的外角和等于凸多边形的外角和等于360 ; (2)有些实数有些实数a,b能使能使|a-b|=|a|+|b|; (3)对任意实数对任意实数a,b,若若ab,则则 (4)有
8、些三角形不是直角三角形有些三角形不是直角三角形; (5)负数的平方是正数负数的平方是正数; (6)若若x0,则则x+22. ？ 分析分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键关键 有两点有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根二是根 据命题的含义判断指的是全体据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素还是全体中的个别元素. ？ 解解:(1)可以改写为可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于所有的凸多边形的外角和等于360 ”,是全是全 称量词命题称量词命题. (2)含有存在量词含有存在
9、量词“有些有些”,故是存在量词命题故是存在量词命题. (3)含有全称量词含有全称量词“任意任意”,故是全称量词命题故是全称量词命题. (4)含有存在量词含有存在量词“有些有些”,故是存在量词命题故是存在量词命题. (5)省略了全称量词省略了全称量词“所有所有”或或“都都”,是全称量词命题是全称量词命题. (6)省略了全称量词省略了全称量词“所有所有”,可以改写为可以改写为“对所有实数对所有实数x,若若x0, 则有则有x+22”,是全称量词命题是全称量词命题. ？ 反思感悟反思感悟 1.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看关键看 命题中
10、是否含有全称量词或存在量词命题中是否含有全称量词或存在量词. 2.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同. ？ 【变式训练【变式训练1】 给出下列四个命题给出下列四个命题: 有理数是实数有理数是实数; 矩形都不是梯形矩形都不是梯形; x,yR,x2+y21; 凡是三角形凡是三角形,都有内切圆都有内切圆. 其中是全称量词命题的是其中是全称量词命题的是.(填序号填序号) 解析解析:在在中含有全称量词中含有全称量词“凡是凡是”,为全称量词命题为全称量词命题.为存在为存在 量词命题量词命题.又又的实质是的实质是:所有的有理数都是实数所有的有
11、理数都是实数,的实质是的实质是: 所有的矩形都不是梯形所有的矩形都不是梯形,故故为全称量词命题为全称量词命题. 答案答案: ？ 探究探究二二 全称量词全称量词命题与存在量词命题的真假判断命题与存在量词命题的真假判断 【例【例2】 用量词符号用量词符号“ ”“ ”表示下列命题表示下列命题,并判断其真假并判断其真假. (1)实数都能写成小数形式实数都能写成小数形式; (2)有一个实数有一个实数x,使使 (3)平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分; (4)至少有一个集合至少有一个集合A,满足满足A 1,2,3. ？ 解解:(1) xR,x能写成小数形式能写成小数形式,因为无理数不能写
12、成小数形因为无理数不能写成小数形 式式,所以该命题是假命题所以该命题是假命题. 所以该命题是假命题所以该命题是假命题. (3) xx|x是平行四边形是平行四边形,x的对角线互相平分的对角线互相平分,由平行四边由平行四边 形的性质可知此命题是真命题形的性质可知此命题是真命题. (4) AA|A是集合是集合,A 1,2,3. 存在存在A=3,使使A 1,2,3成立成立,所以该命题是真命题所以该命题是真命题. ？ 反思感悟反思感悟 全称量词全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)对于全称量词命题对于全称量词命题“ xM,p(x)”,要判断它为真要判断它为真,需
13、要对集需要对集 合合M中的每个元素中的每个元素x,证明证明p(x)成立成立;要判断它为假要判断它为假,只需在只需在M中中 找到一个找到一个x,使使p(x)不成立不成立. (2)对于存在量词命题对于存在量词命题“ xM,p(x)”,要判断它为真要判断它为真,只需在只需在M 中找到中找到x,使使p(x)成立成立,要判断它为假要判断它为假,需要判断需要判断“ xM,p(x)不不 成立成立”. ？ 【变式训练【变式训练2】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词判断下列命题是全称量词命题还是存在量词 命题命题,并判断其真假并判断其真假. (1)对任意对任意xN,2x+1是奇数是奇数; (2) x,y为
14、正实数为正实数,使使x2+y2=0; (3)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,任意有序实数对任意有序实数对(x,y)都对应一点都对应一点P; (4)存在一组存在一组m,n的值的值,使使m-n=1. ？ 解解:(1)是全称量词命题是全称量词命题,因为对任意因为对任意xN,2x+1都是奇数都是奇数,故该故该 命题是真命题命题是真命题. (2)是存在量词命题是存在量词命题,因为因为x2+y2=0时时,x=y=0,所以不存在所以不存在x,y为正为正 实数实数,使使x2+y2=0,故该命题是假命题故该命题是假命题. (3)是全称量词命题是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点由有序实数对与
15、平面直角坐标系中的点 的对应关系的对应关系,知该命题是真命题知该命题是真命题. (4)是存在量词命题是存在量词命题,当当m=4,n=3时时,m-n=1成立成立,故该命题是真故该命题是真 命题命题. ？ 探究探究三三 利用利用全称量词命题全称量词命题、 存在量词存在量词命题的真假求参数的取值范围命题的真假求参数的取值范围 【例【例3】 已知命题已知命题p: xR,使使x2+2x+2-a=0为真命题为真命题,求实数求实数a 的取值范围的取值范围. 解解:因为因为p为真命题为真命题,即方程即方程x2+2x+2-a=0有实根有实根, 所以所以=4-4(2-a)0,即即a1. 即实数即实数a的取值范围为
16、的取值范围为a1. ？ 将本例中的条件将本例中的条件“ xR,x2+2x+2-a=0”改为改为“ xR,x2+2x+2- a0”,其他条件不变其他条件不变,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 解解:由由 xR,x2+2x+2-a0为真命题为真命题, 得函数得函数y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的图象在的图象在x轴上方轴上方, 即即1-a0,得得a1. 所以实数所以实数a的取值范围为的取值范围为a1. ？ 反思感悟反思感悟 利用利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 (1)含参数的全称量词命题为真时含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式
17、的恒成立常转化为不等式的恒成立 问题问题,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题来处理最终通过构造函数转化为求函数的最值问题来处理. (2)含参数的存在量词命题为真时含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有常转化为方程或不等式有 解问题解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 对量词理解不到位致错对量词理解不到位致错 【典例】【典例】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)矩形有一个外接圆矩形有一个外接圆; (2)非负实数有两个平方根非负实数有两个
18、平方根. 错解错解:(1)存在量词命题存在量词命题. (2)存在量词命题存在量词命题. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:(1)误认为含有存在量词误认为含有存在量词“有一个有一个”,(2)误认为含有存在量误认为含有存在量 词词“有两个有两个”,即判断为存在量词命题即判断为存在量词命题. 正解正解:(1)可以改写为可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量是全称量 词命题词命题. (2)可以改写为可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根所有的非负实数都
19、有两个平方根”,是全称量是全称量 词命题词命题. ？ 防范措施防范措施 1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的 命题命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在存在)一些元素具一些元素具 有某种性质的命题有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定是对某集合一些元素的限定,而不是对结而不是对结 论的限定论的限定. 2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学培养数学 抽象素养抽象素养. ？ 【变式训练】【变式训练】 用全称量词或存在量词表述下列命
20、题用全称量词或存在量词表述下列命题: (1)有理数都能写成分数形式有理数都能写成分数形式; (2)n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180 ; (3)有一个实数乘任意一个实数都等于有一个实数乘任意一个实数都等于0. 解解:(1)任意一个有理数都能写成分数形式任意一个有理数都能写成分数形式. (2)所有所有n边形的内角和都等于边形的内角和都等于(n-2)180 . (3)存在一个实数存在一个实数x,它乘任意一个实数都等于它乘任意一个实数都等于0. ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列语句不是全称量词命题的是下列语句不是全称量词命题的是() A.任何一个实数乘零都等于零任何一个实数乘
21、零都等于零 B.自然数都是正整数自然数都是正整数 C.高一高一(1)班绝大多数同学都是团员班绝大多数同学都是团员 D.所有二次函数的图象都开口向上所有二次函数的图象都开口向上 解析解析:“高一高一(1)班绝大多数同学都是团员班绝大多数同学都是团员”,即即“高一高一(1)班有的班有的 同学不是团员同学不是团员”,是存在量词命题是存在量词命题. 答案答案:C ？ 解析解析:当当x=0时时,0N,但但03,xa恒成立恒成立,则则a的取值范围是的取值范围是. 解析解析:对任意对任意x3,xa恒成立恒成立,即大于即大于3的数恒大于的数恒大于a,故故a3. 答案答案:a3 ？ 5.用全称量词表述下列命题用全称量词表述下列命题,并判断真假并判断真假: (1)x2+2x+32; (2)负数都没有算术平方根负数都没有算术平方根; (3)对角线垂直的四边形是菱形对角线垂直的四边形是菱形. 解解:(1) xR,x2+2x+32. x2+2x+3=(x+1)2+22.是真命题是真命题. (2)所有的负数都没有算术平方根所有的负数都没有算术平方根.是真命题是真命题. (3)所有对角线垂直的四边形都是菱形所有对角线垂直的四边形都是菱形.是假命题是假命题.
