1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 5.1.1任意角 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.了解任意角的概念了解任意角的概念,能正确区分正角、负角和能正确区分正角、负角和 零角零角. 2.掌握象限角的概念掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角并会用集合表示象限角. 3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法掌握终边相同的角的含义及其表示方法,并能并能 解决有关问题解决有关问题. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,培养直观想象能力与数培养直观想象能力与数 学运算能力学运算能力. 自主自主预习预习新知新知
2、导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、角的相关概念一、角的相关概念 【问题思考】【问题思考】 1.小明要将射线小明要将射线OA绕着端点绕着端点O旋转到旋转到OB位置位置.(1)请问有几种请问有几种 旋转方向旋转方向? 提示提示:有顺时针和逆时针两种旋转方向有顺时针和逆时针两种旋转方向. (2)先将先将OA顺时针旋转到顺时针旋转到OB形成角形成角,再把再把OB顺时针旋转到顺时针旋转到 OC形成角形成角,则则OC的终边对应的角是多少的终边对应的角是多少? 提示提示:OC的终边对应的角是的终边对应的角
3、是+. ？ 2.填空填空:(1)一条射线一条射线绕其端点按绕其端点按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫方向旋转形成的角叫 做正角做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线如果一条射线 没有没有做任何旋转做任何旋转,就称它形成了一个零角就称它形成了一个零角.这样这样,零角的终边和零角的终边和 始边始边重合重合. (2)任意角包括正角、负角和零角任意角包括正角、负角和零角. (3)规定规定:把角把角的终边旋转角的终边旋转角,这时终边对应的角这时终边对应的角是是 + . (4)把射线把射线OA绕端点绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个按不同方向旋转相同的量
4、所成的两个 角叫做互为角叫做互为相反角相反角.角角的相反角记的相反角记为为 .这样这样,角的减法可以角的减法可以 转化为角的加法转化为角的加法,即即-= +(-) . 3.想一想想一想:角的概念包含的三要素为角的概念包含的三要素为顶点、始边和终边顶点、始边和终边. ？ 二、象限角二、象限角 【问题思考】【问题思考】 1.使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合,角的始边与角的始边与x轴轴 的非负半轴重合的非负半轴重合,则角的终边则角的终边(除端点外除端点外)可能落在什么位置可能落在什么位置? 提示提示:终边可能落在坐标轴上或四个象限内终边可能落在坐标轴上或四个象
5、限内. 2.填空填空:在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合使角的顶点与原点重合,角的始角的始 边与边与x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合.那么那么,角的终边在第几象限角的终边在第几象限,就说这就说这 个角是个角是第几象限角第几象限角;如果角的终边在如果角的终边在坐标轴上坐标轴上,那么就认为这那么就认为这 个角不属于任何一个象限个角不属于任何一个象限. ？ 3.做一做做一做: 下列说法是否正确下列说法是否正确: (1)小于小于90 的角是锐角的角是锐角; (2)钝角是第二象限角钝角是第二象限角; (3)第二象限角是钝角第二象限角是钝角. 解解:因为小于因为小于90 的角包含
6、负角的角包含负角,所以所以(1)错误错误;因为钝角的范围因为钝角的范围 是大于是大于90 小于小于180 ,所以钝角是第二象限角所以钝角是第二象限角,第二象限角不一第二象限角不一 定是钝角定是钝角,如如-240 是第二象限角是第二象限角,但但-240 不是钝角不是钝角,所以所以(2)正正 确确,(3)错误错误. ？ 三、终边相同的角三、终边相同的角 【问题思考】【问题思考】 1.如图如图,60 的终边是的终边是OA. (1)-660 ,420 的终边与的终边与60 的终边有什么关系的终边有什么关系? 提示提示:相同相同. (2)它们与它们与60 分别相差多少分别相差多少? 提示提示:-660
7、=60 -2360 ,420 =60 +360 ,故它们与故它们与60 分别相分别相 差了差了-2个周角及个周角及1个周角个周角. (3)如何表示与如何表示与60 终边相同的角终边相同的角? 提示提示:60 +k360 (kZ). ？ 2.填空填空:所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角,连同角连同角在内在内,可构成一个集可构成一个集 合合S=|=+k360 ,kZ,即任一与角即任一与角终边相同的角终边相同的角,都可以都可以 表示成角表示成角与整数个与整数个周角周角的和的和. 3.象限角的表示象限角的表示 (1)终边在第一象限的角终边在第一象限的角:|k360 k360 +90 ,kZ. (
8、2)终边在第二象限的角终边在第二象限的角:|k360 +90 k360 +180 ,kZ. (3)终边在第三象限的终边在第三象限的 角角:|k360 +180 k360 +270 ,kZ. (4)终边在第四象限的角终边在第四象限的角:|k360 -90 k360 ,kZ. ？ 4.做一做做一做:(1)与与-457 角的终边相同的角的集合是角的终边相同的角的集合是() A.|=457 +k360 ,kZ B.|=97 +k360 ,kZ C.|=263 +k360 ,kZ D.|=-263 +k360 ,kZ (2)将将35 角的终边按顺时针方向旋转角的终边按顺时针方向旋转60 所得的角为所得的
9、角为,将将 35 角的终边按逆时针方向旋转一周后的角为角的终边按逆时针方向旋转一周后的角为. ？ 解析解析:(1)因为因为-457 =-1360 -97 =-2360 +263 , 所以所以与与-457 角的终边相同的角的集合角的终边相同的角的集合是是 |=-457 +k360 ,kZ =|=-97 +k360 =|=263 +k360 ,kZ. 答案答案:(1)C(2)-25 395 ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)-30 是第四象限角是第四象限角.( ) (2)终边相
10、同的角不一定相等终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同但相等的角终边一定相同.( ) (3)终边相同的角有无数个终边相同的角有无数个,它们相差它们相差360 的整数倍的整数倍.( ) (4)终边相同的角的表示不唯一终边相同的角的表示不唯一.( ) (5)终边与始边重合的角是零角终边与始边重合的角是零角.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 任意任意角的概念角的概念 【例【例1】 端点端点O与原点重合与原点重合,且与且与x轴正方向相同的射线轴正方向相同的射线OA绕绕 端点端点O逆时针旋转逆时针旋转90 到射线到射线OB的位置的位置,接着再顺时针旋转接着再顺时针旋
11、转 30 到到OC的位置的位置,则则AOC的度数为的度数为. 分析分析:画出简图画出简图,根据角的和、差运算求解根据角的和、差运算求解. 解析解析:画出的简图如图所示画出的简图如图所示,由图可知由图可知 AOC=AOB+BOC=90 +(-30 )=60 . 所以所以AOC的度数为的度数为60 . 答案答案:60 ？ 反思感悟反思感悟 角角的概念推广后的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量 的大小的大小,画图分析有助于培养直观想象的能力画图分析有助于培养直观想象的能力. ？ 【变式训练【变式训练1】 写出下列说法所表示的角写出下列说法所表示的角:
12、 (1)顺时针拧螺丝顺时针拧螺丝2圈圈; (2)将时钟拨慢将时钟拨慢2时时30分分,分针转过的角分针转过的角. 解解:(1)顺时针拧螺丝顺时针拧螺丝2圈即螺丝顺时针旋转了圈即螺丝顺时针旋转了2周周,因此所表示因此所表示 的角为的角为-720 . (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢因此将时钟拨慢2时时 30分分,分针转过的角为分针转过的角为900 . ？ 探究探究二二 象限角象限角与终边相同的角与终边相同的角 【例【例2】 已知角已知角=2 020 . (1)把把改写成改写成k360 +(kZ,0 360 )的形式的形式,并指出它是并指出它是
13、第几象限角第几象限角; (2)求求,使使与与终边相同终边相同,且且-360 720 . 分析分析:先求出先求出,再判断角再判断角所在的象限所在的象限,用终边相同的角表示用终边相同的角表示 满足的不等关系满足的不等关系,求出求出k和和. ？ 解解:(1)因为因为2 020 360 =5220 , 所以取所以取k=5,=220 ,=5360 +220 . 又因为又因为=220 是第三象限角是第三象限角,所以所以为第三象限角为第三象限角. (2)由由(1)知知=5360 +220 ,故故=k360 +220 (kZ). 当当k=-2时时,=-500 720 ,不满足不满足. 综上可知角综上可知角的值
14、为的值为-140 ,220 或或580 . ？ 反思感悟反思感悟 1.把任意角化为把任意角化为+k360 (kZ,且且0 360 )的形式的形式,关键是关键是 确定确定k.可以用观察法可以用观察法(的绝对值较小的绝对值较小),也可用除法也可用除法. 2.要求适合某种条件要求适合某种条件,且与已知角终边相同的角且与已知角终边相同的角,其方法是先其方法是先 求出与已知角终边相同的角的一般形式求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等再依条件构建不等 式求出式求出k的值的值. ？ 【变式训练【变式训练2】 已知角已知角=2 235 . (1)写出与角写出与角终边相同的角终边相同的角的集合的
15、集合,并指出角并指出角是第几象限角是第几象限角; (2)求在求在360 1 080 范围内与角范围内与角终边相同的角终边相同的角. ？ 解解:(1)因为因为2 235 =6360 +75 ,所以与角所以与角终边相同的角的集终边相同的角的集 合为合为S=|=k360 +75 ,kZ,且角且角是第一象限角是第一象限角. (2)当当360 1 080 时时, 即即360 k360 +75 1 080 (kZ), 又因为又因为kZ,所以所以k=1或或k=2. 当当k=1时时,=435 ;当当k=2时时,=795 . 综上所述综上所述,与角与角终边相同且在终边相同且在360 1 080 范围内的角有范围
16、内的角有 435 和和795 . ？ 探究探究三三 区域区域角的表示角的表示 【例【例3】 已知角已知角的终边在如图所示的阴影内的终边在如图所示的阴影内,求角求角的取值的取值 集合集合. ？ 解解:角角在在x轴上方部分的角的集合为轴上方部分的角的集合为 A=|k360 +60 k360 +105 ,kZ =|2m180 +60 2m180 +105 ,mZ. 角角在在x轴下方部分的角的集合为轴下方部分的角的集合为 B=|k360 +240 k360 +285 ,kZ =|k360 +180 +60 k360 +180 +105 ,kZ =|(2m+1)180 +60 (2m+1)180 +10
17、5 ,mZ. 所以角所以角的取值集合是的取值集合是AB, ？ 即即AB=|2m180 +60 2m180 +105 ,mZ |(2m+1)180 +60 (2m+1)180 +105 ,mZ=| n180 +60 n180 +105 ,nZ. ？ 1.若将本例图形改为如图所示的图形若将本例图形改为如图所示的图形,其他不变其他不变,如何求解如何求解? 解解:由题图可知角由题图可知角的取值集合为的取值集合为 |k360 +60 k360 +105 ,kZ. ？ 2.若将本例图形改为如图所示的图形若将本例图形改为如图所示的图形,其他不变其他不变,如何求解如何求解? 解解:图中阴影在第一、第三象限图中
18、阴影在第一、第三象限, 根据根据象限角的表示可知角象限角的表示可知角的取值集合是的取值集合是 |k360 k360 +90 ,kZ |k360 +180 k360 +270 ,kZ =|2k180 2k180 +90 ,kZ |(2k+1)180 (2k+1)180 +90 ,kZ =|n180 n180 +90 ,nZ. ？ 反思感悟反思感悟 表示表示区域角区域角,根据图形先按逆时针的方向找到区域的起始和根据图形先按逆时针的方向找到区域的起始和 终止边界终止边界,再按由小到大分别标出起始和终止边界对应再按由小到大分别标出起始和终止边界对应的的 -360 360 范围内的角范围内的角和和,写出
19、最简区间写出最简区间x|x,其中其中- 360 ;若阴影区域起始、终止边界对应角若阴影区域起始、终止边界对应角,再加上再加上 k360 (kZ),即得区域角集合即得区域角集合. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ ？ 提示提示:致错原因是把第二象限的角误认为是大于致错原因是把第二象限的角误认为是大于90 而小于而小于 180 ,第二象限的角应该是第二象限的角应该是 |90 +k360 180 +k360 ,kZ. 正解正解:由题意由题意,得得90 +k360 180 +k360 (kZ), 故故180 +2k360 2360 +2k360 (kZ). 故故2是第三、第四象限角或终边落在是第三、第四
20、象限角或终边落在y轴的非正半轴上轴的非正半轴上. 由由90+k360180+k360(kZ),可得可得 ？ ？ 防范措施防范措施 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.如图如图,将射线将射线OM绕端点绕端点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转135 所得的角所得的角 为为() A.120 B.-120 C.60 D.240 答案答案:A ？ 2.已知角已知角是锐角是锐角,则则2是是() A.小于小于180 的正角的正角B.第一象限角第一象限角 C.第二象限角第二象限角D.第一或第二象限角第一或第二象限角 解析解析:因为因为是锐角是锐角,所以所以0 90 . 所以所以0 2180 . 答案答案:A
21、3.将将-885 化为化为+k360 (0 360 ,kZ)的形式是的形式是 . 解析解析:-885 =-1 080 +195 =(-3)360 +195 . 答案答案:195 +(-3)360 ？ 4.已知角已知角的终边在如图所示的阴影范围内的终边在如图所示的阴影范围内(不包含边界不包含边界),则则 角角的取值集合是的取值集合是. 解析解析:观察题中图形可知观察题中图形可知,角角的取值集合是的取值集合是 |k360 +45 k360 +150 ,kZ. 答案答案:|k360 +45 k360 +150 ,kZ ？ 5.在在0 360 范围内范围内,找出与下列各角终边相同的角找出与下列各角终边
22、相同的角,并判断它并判断它 们是第几象限的角们是第几象限的角: (1)-120 ;(2)640 . ？ 解解:(1)与与-120 终边相同的角的集合终边相同的角的集合为为 M=|=-120 +k360 ,kZ. 当当k=1时时,=-120 +1360 =240 ,故在故在0 360 范围内范围内,与与-120 终边相同的角是终边相同的角是240 ,它是第三象限的角它是第三象限的角. (2)与与640 终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为M=|=640 +k360 ,kZ. 当当k=-1时时,=640 -360 =280 ,故在故在0 360 范围内范围内,与与640 终边终边 相同的角为相同的角为280 ,它是第四象限的角它是第四象限的角.
