1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 5.5.2简单的三角恒等变换 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.能用二倍角公式导出半角公式能用二倍角公式导出半角公式,以及进行简单以及进行简单 的应用的应用. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三掌握三 角恒等变换的基本思想方法角恒等变换的基本思想方法. 3.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中 的应用的应用. 4.体会其中的三角恒等变换的基本思想方法体会其中的三角恒等变换的基本思想方法
2、,加加 强逻辑推理能力和数学运算能力的培养强逻辑推理能力和数学运算能力的培养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、半角公式一、半角公式 【问题思考】【问题思考】 1.我们知道在倍角公式中我们知道在倍角公式中,“倍角是相对的倍角是相对的”,对余弦的二倍角对余弦的二倍角 公式公式,若用若用替换替换2,则结果怎样则结果怎样? ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 二、三角恒等变换二、三角恒等变换 【问题思考】【问题思考】 因为不同的三角函数式不仅会有结构方面的差异因为不同的三角函数式
3、不仅会有结构方面的差异,而且还会而且还会 存在所包含的角存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异以及这些角的三角函数种类方面的差异,所所 以进行三角恒等变换时以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角常常要先寻找式子所包含的各个角 之间的联系之间的联系,并以此为依据选择适当的公式并以此为依据选择适当的公式. ？ 三、知识拓展三、知识拓展 【问题思考】【问题思考】 1.asin x+bcos x化简的步骤有哪些化简的步骤有哪些? ？ ？ 2.在上述化简过程中在上述化简过程中,如何确定如何确定所在的象限所在的象限? 提示提示:所在的象限由所在的象限由a和和b的符号确定的符号确定
4、. ？ 答案答案:A ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 化化简求值问题简求值问题 ？ 反思感悟反思感悟 1.若没有给出角的取值范围若没有给出角的取值范围,则根号前的正负号需要讨论则根号前的正负号需要讨论. 2.由三角函数值求其他三角函数值的步骤由三角函数值求其他三角函数值的步骤 (1)化简所求的式子化简所求的式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名从角和三角函数名 称入
5、手称入手). ？ ？ 探究探究二二 三三角恒等式的证明角恒等式的证明 分析分析:先将原式转化先将原式转化,左右统一名称左右统一名称,再左右归一证明再左右归一证明. ？ 反思感悟反思感悟 证明证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化有目的地化 繁为简、左右归一或变更论证繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明对恒等式的证明,应遵循化繁应遵循化繁 为简的原则为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左也可以用左 右归一右归一,变更论证等方法变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆常用定义法、化弦法、化切
6、法、拆 项拆角法、项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公要熟练掌握基本公 式式,善于从中选择巧妙简捷的方法善于从中选择巧妙简捷的方法. ？ ？ 探究探究三三 三三角恒等变换与三角函数的综合角恒等变换与三角函数的综合 分析分析:先利用辅助角公式将先利用辅助角公式将f(x)化为一个角的三角函数化为一个角的三角函数,再根再根 据三角函数的性质求解据三角函数的性质求解. ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.为了研究有关三角函数的性质为了研究有关三角函数的性质,往往要充分利用三角变换公往往要充分利用三角变换公 式转化为正弦型式转化为正弦型(余弦型余弦型)函数函数,这
7、是解决问题的前提这是解决问题的前提. 2.解此类题时要充分运用两角和解此类题时要充分运用两角和(差差)、二倍角公式、辅助角、二倍角公式、辅助角 公式消除差异公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数减少角的种类和函数式的项数,为讨论函数的为讨论函数的 性质提供保障性质提供保障. ？ (1)求函数求函数f(x)的最小正周期的最小正周期; (2)求函数求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值的最大值,并求使并求使h(x)取得最大值时取得最大值时x 的取值集合的取值集合. ？ ？ 探究探究四四 三三角恒等变换在实际问题中的应用角恒等变换在实际问题中的应用 【例【例4】 如图如图,要把半径为要把半径为
8、R的半圆形木料截成长方形的半圆形木料截成长方形,应怎应怎 样截取样截取,才能使才能使OAB的周长最大的周长最大? ？ 解解:设设AOB=,OAB的周长为的周长为l, 则则AB=Rsin ,OB=Rcos . l=OA+AB+OB=R+Rsin +Rcos ？ 1.在例在例4条件下条件下,求矩形面积的最大值求矩形面积的最大值. ？ ？ ？ ？ 反思感悟反思感悟 解答解答此类问题此类问题,关键是合理引入辅助角关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系确定各量之间的关系, 先将实际问题转化为三角函数问题先将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关再利用三角函数的有关 知识求解知识求解. 注意注
9、意:在求解过程中在求解过程中,要注意三点要注意三点:(1)充分借助平面几何的有充分借助平面几何的有 关性质关性质,寻找数量关系寻找数量关系;(2)注意实际问题中变量的取值范围注意实际问题中变量的取值范围;(3) 重视三角函数有界性的影响重视三角函数有界性的影响. ？ 求求:(1)f(x)的解析式的解析式; (2)矩形矩形OECF面积的最大值面积的最大值. ？ ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ ？ 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:记错二倍角的余弦公式的变形记错二倍角的余弦公式的变形,导
10、致结果不存在导致结果不存在.熟记三熟记三 角公式及其变形是正确解题的前提角公式及其变形是正确解题的前提. ？ ？ 防范措施防范措施 正确正确运用二倍角公式、半角公式求解问题的两个注意点运用二倍角公式、半角公式求解问题的两个注意点 (1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提; (2)应用半角公式求值时应用半角公式求值时,要特别注意根据单角的取值范围去要特别注意根据单角的取值范围去 确定半角三角函数值的符号确定半角三角函数值的符号. ？ 答案答案:-3 ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 答案答案:A ？ 答案答案:B ？ 3.函数函数f(x)=sin2x的最小正周期为的最小正周期为. 答案答案: ？ 答案答案:cab ？
