1、第四单元单元总结 (对应学生用书第 54 页) 逻辑推理利用分类讨论的思想分析指数函数 分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类 分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击 破,再积零为整”的策略.这种思想是解决此类问题时不可缺少的一种重要数学思想. 已知函数y=b+? 2+2x(a,b 为常数,a0,且a1)在区间 - 3 2,0 上的最大值为 3,最小值为 5 2,试求 a,b 的值. 解析令t=x2+2x=(x+1)2-1, x - 3 2,0 ,t-1,0. 若a1,则函数f(t)
2、=at在-1,0上为增函数, at 1 ?,1 ,b+? ?2+2x ? +1 ?,b + 1 . 依题意得 ? + 1 ? = 5 2, ? + 1 = 3, 解得 ? = 2, ? = 2. 若 0a0,且a1)的定义域和值域都是0,2,则实数a=. 答案3 解析当a1 时,f(x)=ax-1 在0,2上为增函数,则a2-1=2,解得a=3,又因为a1,所以a= 3; 当 0a1 时,f(x)=ax-1 在0,2上为减函数,又因为f(0)=02,所以 0a0,且a1)恰有 4 个不同的实数根,则实数a的取值范围是(). A. 1 4,1 B.(1,4) C.(1,8)D.(8,+) 答案D
3、 解析依题意得f(x+2)=f(-(2-x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),则f(x)是以 4 为周期的函数,结合题意画出函 数f(x)在x(-2,6)上的图象与函数y=loga(x+2)的图象,如图所示. 结合图象分析可知,要使f(x)与y=loga(x+2)的图象有4个不同的交点,则 ? 1, log?(6 + 2) 8. 故实数a的取值范围是(8,+). 【素养训练 2】若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在(-,-2上是减函数,则实数a的取值范围是(). A.(-,4) B.(-4,4 C.(-,-4)2,+) D.-4,4) 答案D 解析由题意得x2-ax-3a0
4、在(-,-2上恒成立且函数y=x2-ax-3a在(-,-2上单调递减,则 (-2)2-(-2)a-3a0 且? 2-2,解得-4a4.故实数 a的取值范围是-4,4).故选 D. 直观想象数形结合思想在函数问题中的应用 数形结合思想主要是通过“以形助数”来寻找解决问题的途径,在函数问题中数形结合思想的应用非 常广泛. (2021 安庆模拟)已知函数f(x)= ?2+2x-1,x 0, ?2-2x-1,x 0, 若对任意的x1,x2R,|x1|x2|,则下列不等式成 立的是(). A.f(x1)+f(x2)0 C.f(x1)-f(x2)0 D.f(x1)-f(x2)0 答案D 解析函数f(x)的
5、图象如图中实线部分所示, 且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数,且在0,+)上是增函数.又|x1|f(x1),即 f(x1)-f(x2)0. 【素养训练 3】(2021 福建漳州一模)已知函数y=f(x+1)-2 是奇函数,g(x)=2?-1 ?-1 ,且f(x)与g(x)的图象的 所有交点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x6,y6),则x1+x2+x6+y1+y2+y6=. 答案18 解析因为函数y=f(x+1)-2 为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,函数g(x)=2?-1 ?-1 = 1 ?-1+2 的 图象也关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的
6、交点也关于点(1,2)对称.则 (x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)=23+43=18. 逻辑推理用函数与方程思想解决 复合函数的零点问题 解答此类问题,关键是把复合函数的零点问题转化为单函数的零点问题,转化为方程的根、 不等式的求解 问题,再利用分类讨论思想、数形结合思想解题. 设函数f(x)= 3?-1,? 1, 2?,x 1, 则满足f(f(a)=2f(a)的实数a的取值范围是(). A. 2 3,1 B.0,1 C. 2 3, + D.1,+) 答案C 解析由f(f(a)=2f(a)知需分f(a)1 和f(a)1 两种情况讨论. 当f(a)1 时, 若a1,则 3a-11,解得2
7、 3a1; 若a1,则 2a1,解得a0,故a1. 故a2 3. 当f(a) 0, 若函数f(x)在 R 上有两个不同的零点,则实数a的取值范围 是(). A.(-,-1) B.(-,0) C.(-1,0)D.-1,0) 答案D 解析因为函数f(x)=2x-1,x0 有一个零点x=1 2,所以只需当 x0 时,f(x)=ex+a=0 有一个根即可,即 ex=-a有一个根.当x0 时,ex(0,1,所以-a(0,1,即a-1,0). 【错点分析一】注重特殊点而忽略函数图象的趋势 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是(). A.f(x)=ln|?| ? B.f(x)=e ? ?
8、 C.f(x)= 1 ?2-1 D.f(x)=x-1 ? 错解由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除 B,C;D 中f(1)=f(-1)=0,且f(2)0,符合题意,故选 D. 错因错解只通过零点和特殊点就选定了f(x)的解析式,而忽略了当x时,f(x)的变化趋势,这是在给 出函数的图象选择解析式问题中经常犯的错误之一. 正解由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-1 ?,则当x+时,f(x)+,这与 函数图象的变化趋势不一致,故排除 D.故选 A. 【纠错训练 1】(2021 咸阳质检)函数f(x)=x2+ln(e-x)ln(e+x)的大致图象为().
9、 答案A 解析易知f(-x)=(-x)2+ln(e+x)ln(e-x)=x2+ln(e-x)ln(e+x)=f(x), y=f(x)的图象关于y轴对称,排除 C 项. 又当xe 时,f(x)-,排除选项 B,D,故选 A. 【错点分析二】先减后增(或先增后减)的图象想当然地对称 已知函数f(x)= 2|log2x|,0 2, 若关于x的方程f(x)=m有四个根a,b,c,d,则abcd的取值范 围是. 错解作出函数f(x)的图象,如图所示, 不妨设abcd, 根据对称性,a+b=2,ab=a(2-a)=-a2+2a(0a1), 它是一个关于a的二次函数,其图象的对称轴方程为a=1, ab的取值
10、范围是(0,1). 又根据二次函数的对称性,可知c+d=7, cd=c(7-c)=-c2+7c =-?- 7 2 2+49 4 (2c3), 10cd12, abcd的取值范围是(0,12). 错因上解错误的根本原因在于错误地认为当x(0,2时,函数f(x)=2|log2x|的图象关于直线x=1 对 称. 正解作出函数f(x)的图象,如图所示, 不妨设abcd,则-log2a=log2b,ab=1. 又根据二次函数的对称性,可知c+d=7, cd=c(7-c)=-c2+7c=-?- 7 2 2+49 4 (2c3), 10cd12, abcd的取值范围是(10,12). 【纠错训练 2】已知函
11、数f(x)=|2x-1|,abf(c)f(b),则下列结论中,一定成立的是(). A.a0,b0,c0B.a0 C.2-a2cD.2a+2c2 答案D 解析 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图, abf(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,02a1. f(a)=|2a-1|=1-2a1, f(c)1,0c1. 12cf(c), 1-2a2c-1,2a+2c2.故选 D. 【错点分析三】找错临界点 偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x0,1时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在 x0,9上的解的个数是(). A.7B.8C.9D.10
12、错解依题意得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以 2 为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数y=f(x) 的图象与y=lg(x+1)的图象(如图所示), 观察图象可知,这两个函数的图象在区间0,9上的公共点共有8个,因此,当x0,9时,方程f(x)=lg(x+1) 的解的个数是 8,故选 B. 错因上面求解时,没有注意当x=9 时,y=lg(9+1)=1,从而在画图时将x7,9上距离较近的两个交点 当作了一个交点. 正解依题意得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以 2 为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数y=f(x) 的图象与y=lg(x+1)的图象(如图所示), 观察图
13、象可知,这两个函数的图象在区间0,9上的公共点共有9个,因此,当x0,9时,方程f(x)=lg(x+1) 的解的个数是 9.故选 C. 【纠错训练 3】 若定义在 R 上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,1时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x| 的解的个数是(). A.0B.2C.4 D.6 答案C 解析画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图象,如图所示,由图可知方程f(x)=log3|x|的解的个数为 4. 对应精练案第 25 页 一、单项选择题 1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为(). A.y=x-2B.y=x-1 C.y=
14、x2D.y=? 1 3 答案A 解析函数y=x-2为偶函数,且在区间(0,+)上单调递减;函数y=x-1为奇函数,且在区间(0,+)上单调 递减;函数y=x2为偶函数,且在区间(0,+)上单调递增;函数y=? 1 3为奇函数,且在区间(0,+)上单调递增.故 选 A. 2.已知函数y=xa,y=xb,y=cx的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为(). A.cbaB.abc C.cabD.ac1,b=1 2,0cbc,故选 A. 3.(2021 武汉模拟)已知函数f(x)=3x-b(2x4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为(). A.9,81B.3,9 C.1,9D.1,
15、+) 答案C 解析由f(x)的图象过点(2,1)可知b=2, 因为f(x)=3x-2在2,4上是增函数, 所以f(x)min=f(2)=32-2=1,f(x)max=f(4)=34-2=9.故选 C. 4.(2021 黑龙江模拟)函数f(x)=log2x-1 ?的零点所在区间为( ). A.0, 1 2 B. 1 2,1 C.(1,2)D.(2,3) 答案C 解析函数f(x)=log2x-1 ?的定义域为(0,+),易知 f(x)在其定义域上单调递增. 因为f(1)=-10,所以函数 f(x)的零点在区间(1,2)内. 5.已知a=3 1 2,b=log1 3 1 2,c=log2 1 3,则
16、( ). A.abcB.bcaC.cbaD.bac 答案A 解析因为a=31,0b=log1 3 1 2=log321,c=log2 1 3=-log23bc,故选 A. 6.若函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c0)没有零点,则?+? ? 的取值范围是(). A.2,+) B.(2,+) C.1,+) D.(1,+) 答案D 解析函数f(x)=ax2+bx+c(a0,b0,c0)没有零点,b2-4ac0,b20,c0,(a+c)2=a2+c2+2ac4ac(当且仅当a=c时等号成立),(a+c)2b2.又 a0,b0,c0,a+cb0,?+? ? 1,?+? ? 的取值范围是(1,+)
17、.故选 D. 7.已知实数a,b满足等式 1 2 ?= 1 3 ?,给出下列五个关系式: 0ba;ab0;0ab;ba0;a=b. 其中不可能成立的关系式有(). A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个 答案B 解析 作出函数y1= 1 2 ?与 y2= 1 3 ?的图象,如图所示. 由 1 2 ?= 1 3 ?,得 ab0 或 0ba或a=b=0. 故可能成立,不可能成立.故选 B. 8.已知xR,符号x表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=? ? -a(x0)有且仅有 3 个零点,则实数a的取值范 围是(). A. 3 4, 4 5 4 3, 3 2 B. 3 4, 4 5 4 3,
18、 3 2 C. 1 2, 2 3 5 4, 3 2 D. 1 2, 2 3 4 5, 3 2 答案A 解析当 0 x1 时,f(x)=? ? -a=-a,当 1x2 时,f(x)=? ? -a=1 ?-a,当 2x0 时,- ? 2?0b0,y=2ax+b 的图象可能是 C; 当a0,b0,则下列命题错误的是(). A.若 2a+2a=2b+3b,则ab B.若 2a+2a=2b+3b,则ab D.若 2a-2a=2b-3b,则a0,得 2a+2a2b+2b,即 f(a)f(b),故有ab,即 A 正确,B 错误. 对于选项 C,D,令a=2,则 2b-3b=0,即b为g(x)=2x-3x的零
19、点.而g(0)=10,g(2)=-20,故 0b2,即 0ba,故选项 C,D 都是错误的.故选 BCD. 12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以其名命名的函数 f(x)= 1,? 为有理数, 0,? 为无理数 称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的是(). A.xR,f(f(x)=1 B.函数f(x)是奇函数 C.任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意xR 恒成立 D.不存在三个点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC为等边三角形 答案AC 解析对于 A,当x为有理数时,f(x)=1,当x为无理数
20、时,f(x)=0, 当x为有理数时,f(f(x)=f(1)=1,当x为无理数时,f(f(x)=f(0)=1, 即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x)=1,故 A 正确; 对于 B,有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, 对任意xR,都有f(-x)=f(x),故 B 不正确; 对于 C,若x是有理数,则x+T也是有理数,若x是无理数,则x+T也是无理数, 根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意xR 恒成立,故 C 正确; 对于 D,取x1=- 3 3 ,x2=0,x3= 3 3 ,可得f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0, A- 3
21、 3 ,0 ,B(0,1),C 3 3 ,0 ,ABC恰好为等边三角形,故 D 不正确. 故选 AC. 三、填空题 13.已知ab1.若 logab+logba=5 2,a b=ba,则 a=,b=. 答案42 解析由ab1,得logab(0,1),因为logab+logba=5 2,即logab+ 1 log?b= 5 2,所以logab= 1 2或logab=2(舍 去),所以? 1 2=b,即a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,b2=2b,所以b=2 或b=0(舍去),a=4. 14.(2021 上海黄浦月考)方程 2x+3x=k的解在1,2)内,则实数k的取值范
22、围是. 答案5,10) 解析令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在 R 上单调递增.当方程 2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即 (5-k)(10-k)0,解得 5k0,且a1)在区间(1,3)内单调递增,则实数a的取值范围 是. 答案0, 2 3 解析f(x)=loga(2-ax),令y=logat,t=2-ax, a0,且a1,x(1,3),t=2-ax在区间(1,3)内单调递减. f(x)=loga(2-ax)在区间(1,3)内单调递增, 函数y=logat是减函数,且 2-ax0 在区间(1,3)内恒成立, 0a1 且 2-3a0,解得 0 b. 设f(x)
23、=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(mR) 恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是. 答案 5- 3 4 ,1 解析由定义可知,f(x)= 2?2-x,x 0, -?2+ x,x 0.作出函数 f(x)的图象,如图所示. 设直线y=m与y=f(x)的图象的交点的横坐标从小到大分别为x1,x2,x3. 由y=-x2+x=-?- 1 2 2+1 4得图象的顶点坐标为 1 2, 1 4 . 当y=1 4时,代入 y=2x2-x, 得1 4=2x 2-x,解得 x=1- 3 4 或x=1+ 3 4 (舍去), x1 1- 3 4 ,0. 又y=-x
24、2+x图象的对称轴为直线x=1 2, x2+x3=1,1+1- 3 4 x1+x2+x30,且a1),且f(1)=2. (1)求a的值及f(x)的定义域; (2)求f(x)在区间 0, 3 2 上的最大值. 解析(1)因为f(1)=2,所以 loga4=2(a0,且a1),所以a=2. 由 1+ ? 0, 3-? 0, 得-1x0),其图象如图所示. (1)试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式. (2)现在公司准备投入 4 亿元资金同时生产A,B两种芯片,求可以获得的最大利润是多少(利润=毛收入-研发 资金). 解析(1)因为生产A芯片的毛收入与投
25、入的资金成正比,故设y=mx(x0), 因为每投入 1 千万元,公司获得毛收入 0.25 千万元,故1 4=m1,所以 m=1 4, 因此对于A芯片,毛收入y与投入的资金x的关系为y=1 4x(x0). 对于B芯片,由图象可知, 1 = ?, 2 = ?4?,解得 ? = 1 2, ? = 1. 因此对于B芯片,毛收入y与投入的资金x的关系为y=?(x0). (2)设对B芯片投入资金x(千万元),则对A芯片投入资金 40-x(千万元), 假设利润为L,则利润L=40-? 4 +?-2,0 x0,且a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的表达式; (2)若不等式 1
26、? ?+ 1 ? ?-m0 对于 x(-,1恒成立,求实数m的取值范围. 解析(1)f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24), ? = 6, ?3= 24,a 2=4. 又a0,a=2,b=3. f(x)=32x. (2)由(1)知a=2,b=3,则当x(-,1时, 1 2 ?+ 1 3 ?-m0 恒成立,即 m 1 2 ?+ 1 3 ?恒成立. 又y= 1 2 ?与 y= 1 3 ?均为减函数,y= 1 2 ?+ 1 3 ?也是减函数,当 x=1时,y= 1 2 ?+ 1 3 ?取得最小值,最小 值为5 6,m 5 6,故实数 m的取值范围是 -, 5 6 . 21.(2021 山西大
27、同一中月考)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,aR. (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)当a=4 时,求函数f(x)的零点; (3)若方程f(x)=0 在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1x2),求实数a的取值范围. 解析(1)f(x)=|x2-4|+x2+ax为偶函数, f(-x)=|(-x)2-4|+(-x)2+a(-x)=f(x), 2ax=0,a=0. (2)a=4, f(x)=|x2-4|+x2+4x = 2?2+4x-4,x -2 或 x 2, 4? + 4,-2 ? 2, 当-2x2 时,由f(x)=4x+4=0 得x=-1, 当x-2 或x2
28、 时,由f(x)=2x2+4x-4=0 得x1=-1+3(舍去),x2=-1-3. 综上可知,f(x)的零点为-1-3和-1. (3)f(x)=|x2-4|+x2+ax=0,x(0,4), a=-|? 2-4|-?2 ? , a= -(4-?2)-?2 ? = - 4 ?,x(0,2), -(?2-4)-?2 ? = - 2?- 4 ? ,x2,4). 当x(0,2)时,y=-4 ?单调递增,且值域为(-,-2); 当x2,4)时,h(x)=-2?- 4 ? 单调递减, 且h(2)=-2 2- 4 2 =-2,h(4)=-2 4- 4 4 =-7. -7a0 对任意xR 都成立, f(x)在
29、R 上是增函数. f(x)的定义域为 R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x), f(x)是奇函数. (2)存在.由(1)知f(x)在 R 上是增函数,且是奇函数, 则f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切xR 都成立f(x2-t2)f(t-x)对一切xR 都成立x2-t2t-x对一切xR 都成立t2+tx2+x=? + 1 2 2-1 4对一切 xR 都成立t2+t(x2+x)min=-1 4t 2+t+1 4= ? + 1 2 20, 又 ? + 1 2 20, ? + 1 2 2=0,t=-1 2, 存在t=-1 2,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切xR 都成立.
