1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第五节第五节 椭圆椭圆 考点考点 3 直线和椭圆综合问题直线和椭圆综合问题 （2018浙江卷）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 （1）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； （2）若 P 是半椭圆 x2? ? ? 1（x0）上的动点，求PAB 面积的取值范围 【解析】 （1）设 P（x0，y0） ，A ? ? ? ? ，B ? ? ? . 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2为方程 ?t? ? 24 ? ? ?t? ? ，
2、 即 y22y0y8x0? ?0 的两个不同的实根 所以 y1y22y0， 所以 PM 垂直于 y 轴 （2）由（1）可知 ?t ? ? ? t? ? ? 所以|PM|? t（? ? ? ?）x0? ? ? ?3x0， |y1y2|2 ? ? ? ? ?. 所以PAB 的面积 SPAB? ?|PM|y1y2| ? ? ? (? ?) ? ?. 因为? ? ? ? 1（1x00） ， 所以? ?4x04? ? ?4x044,5， 所以PAB 面积的取值范围是 ? ? ? ? ? . 【答案】见解析 （2018天津卷（理） ）设椭圆? ? ? ? ?1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆
3、的离心率为 ? ? ，点 A 的坐标为（b,0） ，且|FB|AB|6 ?. （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l：ykx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若 ? ? ? ? ? sinAOQ （O 为原点） ，求 k 的值 【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ? ? ? ?， 又由 a2b2c2，可得 2a3B由已知可得|FB|a，|AB| ?b， 由|FB|AB|6 ?，可得 ab6，从而 a3，b2. 所以椭圆的方程为? ? ? ? ? 1. （2）设点 P 的坐标为（x1，y1） ，点 Q 的坐标为（x2，y2） 由已知有 y1y20
4、，故|PQ|sinAOQy1y2. 又因为|AQ| ? sin?s，而OAB ?， 所以|AQ| ?y2. 由 ? ? ? ? ? sinAOQ，可得 5y19y2. 由方程组 ? ? o? ? ? ? ? ? ?消去 x，可得 y 1 ?o ?o?t? . 由题意求得直线 AB 的方程为 xy20， 由方程组 ?o? ?消去 x，可得 y 2 ?o ot?. 由 5y19y2，可得 5（k1）3 ?o? ?，两边平方， 整理得 56k250k110，解得 k? ?或 k ? ?t. 所以 k 的值为? ?或 ? ?t. 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）已知斜率为 k 的直线 l 与
5、椭圆 C：? ? ? ? ?1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M （1，m） （m0） （1）证明：k? ?； （2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且? ? ? ?s? ?0.证明：|? ?|，|? ?|，|?s? ?|成等差数列，并求该 数列的公差 【解析】证明（1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 ? ? ? ? ? ?1， ? ? ? ? ? ? 1. 两式相减，并由? ?k，得 ?t? ? ?t? ? k0. 由题设知?t? ? 1，?t? ? m，于是 k ? ?. 由题设得 0m? ?，故 k ? ?. （2）由题意得 F（1,0） 设
6、P（x3，y3） ，则 （x31，y3）（x11，y1）（x21，y2）（0,0） 由（1）及题设得 x33（x1x2）1， y3（y1y2）2m0. 又点 P 在 C 上，所以 m? ?， 从而 P ? ? ? ? ，|? ? ?|? ?， 于是|? ? ?| ? ? ?t ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? 2? ?. 同理|?s ? ?|2? ?. 所以|? ? ?|?s? ?|4? ?（x1x2）3. 故 2|? ? ?|? ?|?s? ?|，即|? ?|，|? ?|，|?s? ?|成等差数列 设该数列的公差为 d，则 2|d|?s ? ?|? ?|? ?|x1x2| ?
7、 ? ?t ? ? ?. 将 m? ?代入得 k1， 所以 l 的方程为 yx? ?，代入 C 的方程， 并整理得 7x214x? ?0. 故 x1x22，x1x2 ? ?t，代入解得|d| ? ? ?t . 所以该数列的公差为? ? ?t 或? ? ?t . 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. （1）求 l 的方程； （2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【解析】 （1）由题意得 F（1,0） ，l 的方程为 yk（x1） （k0） 设 A（x1，y1
8、） ，B（x2，y2） ， 由 ?o(?)? ? 得 k2x2（2k24）xk20. 16k2160，故 x1x2?o ?t? o? . 所以|AB|AF|BF|（x11）（x21）?o ?t? o? . 由题意知?o ?t? o? 8，解得 k1（舍去）或 k1. 因此 l 的方程为 xy10. （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3,2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2（x3） ，即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ， 则 ? ?t ? ?t ? ? ? (?)? ? t ? 解得 ? ? ? ?或 ? ? ? ? 因此所求圆的方程为（x3）2（y2）216 或（x
9、11）2（y6）2144. 【答案】见解析 （2018全国卷（理） ）设椭圆 C：? ? ?y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的 坐标为（2,0） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； （2）设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB （1） 【解析】由已知得 F（1,0） ，l 的方程为 x1. 由已知可得，点 A 的坐标为 ? ? ? 或 ? ? ? ? . 又 M（2,0） ， 所以 AM 的方程为 y ? ? x ?或 y ? ? x ?. 即 x ?y20 或 x ?y20. （2）证明当 l 与 x 轴重合时，OMAOM
10、B0. 当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线， 所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk（x1） （k0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1 ?，x2 ?，直线 MA，MB 的斜率之和 kMAkMB ? ? ? ?. 由 y1kx1k，y2kx2k，得 kMAkMB?o?o ?t? t?o ? . 将 yk（x1）代入? ? ?y 21，得 （2k21）x24k2x2k220，由题意知0 恒成立， 所以 x1x2 ?o? ?o?t?，x1x2 ?o? ?o?t?. 则 2kx1x23k（x1x2）4k?o ?o?o?tt
11、o?t?o ?o?t? 0， 从而 kMAkMB0， 故 MA，MB 的倾斜角互补 所以OMAOMB 综上，OMAOMB 【答案】见解析 （2018江苏卷）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点? ? ? ，焦点为 F1（ ?，0） ，F2（ ?，0） ， 圆 O 的直径为 F1F2. （1）求椭圆 C 及圆 O 的方程； （2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为? ? ? ，求直线 l 的方程 【解析】 （1）因为椭圆 C 的焦点为 F1（ ?
12、，0） ，F2（ ?，0） ， 可设椭圆 C 的方程为? ? ? ? ?1（ab0） 又点? ? ? 在椭圆 C 上， 所以 ? ? t ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? 因此，椭圆 C 的方程为? ? ?y 21. 因为圆 O 的直径为 F1F2，所以其方程为 x2y23. （2）设直线 l 与圆 O 相切于点 P（x0，y0） （x00，y00） ， 则? ? ? ?3， 所以直线 l 的方程为 y? ?（xx0）y0， 即 y? ?x ? ?. 由 ? ? t ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ? 消去 y，得 （4? ? ? ?）x224x0 x364? ? ?0
13、.（*） 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以（24x0）24（4? ? ? ?）（364? ? ?） 48? ?（? ? ?2）0. 因为 x00，y00， 所以 x0 ?，y01. 因此，点 P 的坐标为（ ?，1） 因为OAB 的面积为? ? ? ， 所以? ?ABOP ? ? ? ，从而 AB? ? ? . 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由（*）得 x1,2 ? ?t? ?(? ? ?) ?(? ?t? ? ?) ， 所以 AB2（x1x2）2（y1y2）2 ? t ? ? ? ? ?t? ?(? ? ?) (? ?t? ? ?)?. 因为? ? ? ?3， 所以 AB2 ?(? ?) (? ?t?)? ? ?，即 2? ?45? ? ?1000， 解得? ? ?（? ?20 舍去） ，则? ? ? ?， 代入48? ?（? ? ?2）0，满足题意， 因此点 P 的坐标为 ? ? ? ? ? . 所以直线 l 的方程为 y ?x3 ?，即 ?xy3 ?0. 【答案】见解析
