1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 2 o 2 ( ) x x g x e 2 4 e ya x y 函数中的赋值问题函数中的赋值问题 第一讲第一讲赋值的意义赋值的意义 函数赋值是一个热门的话题，赋值之所以“热” ，是因为它涉及到函数领域的方方面面： 讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性)；求含参函数的极值或最值；证明一类超越不 等式；求解某些特殊的超越方程
2、或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等等 然而时下，在相当一部分学生的答卷中，甚或在一些地区的模拟试卷的标准解答中，一种以 极限语言或极限观点替代赋值论证的“素描式”解题现象应予关注和纠正 1.从一道调研试题的标准解答说起从一道调研试题的标准解答说起 题目题目 1已知函数 2 ( )e( ,) x f xaxbx a b R （1）略； （3）略； （2）设0b ，若( )f x在R上有且只有一个零点，求a的取值范围 解： （2）0b ，则方程 2 e0 x ax即 2 ex x a 有唯一解 记 2 ( ) ex x g x， (2) ( ) ex xx g x ，令 12 ( )00,
3、2g xxx 0 x时，( )0, ( )g xg x单调减， 所以( )(0)0( )g xgg x的取值范围是0,)(?) 02x时，( )g x的取值范围是 2 4 (0,) e ； 2x时，( )0, ( )g xg x单调减，且恒正，所以( )g x的取值范围是 2 4 0, e 所以当0a 或 2 4 e a 时，( )f x有且只有一个零点，故a的取值范围是0a 或 2 4 e a 质疑：质疑： 1 “( )0g x ”与“( )g x的取值范围 是0,)”是否等价？ 2也许解答的潜意识是( )xg x ，那么其依据是什么? 作为指挥棒的省考、国考又是怎样处理相关问题的呢? 答：
4、一个中心：答：一个中心：参数全程扫描参数全程扫描 ；一个基本点：；一个基本点：赋值丝丝入扣赋值丝丝入扣 2真题探究真题探究 2 o y a 2 ( ) x x g x e 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 e O ( )f x x y 1 e 1 a 2 1 a ( )lnf xxax 1a e e O ( )f x x y 题目题目 2（2013 江苏 20）设
5、函数( )ln, ( )e x f xxax g xax，其中a为实数 （1）略； （2）若( )g x在( 1,) 上是单调增函数，求( )f x的零点个数，并证明你的结论 （2）解：由( )g x在( 1,) 上单调增，得 1 e a(过程略) 10a 时， 1 ( )0,( )fxaf x x ， 而 11 (e)(1e)10,(e)1e0 aa fafa ，且( )f x图像不间断， 依据零点定理，( )f x有且只有一个零点 【分析0a 时，由 1 ( )0fxx a (极大值点)， max 1 ( )ln1f x a 】 1 2 e a 时, 1 ( )ln e f xxx令 11
6、 ( )0,e e fxx x 且e,( )0,0e,( )0 xfxxfx， 所以ex 是( )f x的极大值点，也是最大值点， 所以( )(e)0f xf，当且仅当,( )0 xe f x 故( )f x有唯一零点ex 1 3 0 e a 时，令 11 ( )0,fxax xa 列表： x 1 (0,) a 1 a 1 ( ,) a ( )fx 0 ( )f x max ( )f x 所以 max 11 ( )( )ln10f xf aa 在 1 (0,) a 上，(1)0fa 且( )f x单调，所以( )f x有且只有一个零点； 在 1 ( ,) a 上，显然 2 11 a a ，注意
7、到2的结论 1 (ln) e xx， 所以 2 1111111 ()2ln2(ln)2()0 2e2 f aaaaaa a ，同理( )f x有且只有一个零点 由( )f x有两个零点 综上所述，当0a或 1 e a 时，( )f x有 1 个零点；当 1 0 e a时，( )f x有 2 个零点 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 1 e 1 a ( )lnf x
8、xax 2 4 a 2 1 a 【注注 1】本题第（2）问“ 1 3 0 e a 时”赋值点的形成过程及其多元性: 在 1 (0,) a 上，因为 1 1(0,) a ，且为常数，所以理应成为直观 赋值点的首选 在 1 ( ,) a 上【难点！ 】依据单调性，直观赋值点应在 1 a 右侧充分远处尝试 2 a ，失败！ 表明该赋值点不够远，再改试 2 1 a ，成了！(过程如上) 显然，赋值点不唯一 在 1 (0,) a 上，也可考虑 111 ,( )0 ee f a (标解)， 或 221 ,( )ln10af aaaa a （均不及赋值1简便） 在 1 ( ,) a 上也可考虑， eee2
9、1111111 1 ,()elnelne(ln)0 aa f aaaae a aaaa 还可考虑 1 1 ea a (标解)，并注意到0 x 时， 2 exx(证略) ， 111 2 11 (e )e(e )0 aaa faa a a 【注注 2】在本题2结论 1 (ln) e xx的牵引下，区间 1 ( ,) a 上的三个赋值点 1 2e 11 ,ea aa 一脉相承， 井然有序：因为 e1 lne e x xxx(当且仅当ex ，等号成立)，所以 1 e2 111 ea a aa 以上赋值均为先直观，后放缩其特点是见效快，但有时有点悬，解、证风险大所以，当直观 赋值受挫时，不妨通过放缩，无
10、悬念地求出赋值点，实现解(证)目标 现以区间 1 ( ,) a 为例 【分析：在 1 a 右侧充分远处，希望存在 1 x，使 1 ()0f x，为此，应意识到在( )f x的表达式中， 对( )0f x 起主导作用的那一项是ax，不宜轻易放缩，放缩的目标应锁定ln x 依据ln1xx(1x )(证略) ， 1 ( )10 1 f xxaxx a ，不妨取 1 1 1 x a ， 但 11 ? 1aa 此路受挫，故须调整放缩的尺度】 思路一：由本题2结论， 1 ln e xx 1111 2222 1 2 211 ln2ln( )0() e xxxxf xxaxx a a 令 详解：由本题2结论
11、111 222 12 (ln),ln2ln ee xxxxxx 在 1 ( ,) a 上，存在 1 2 1111 2 111 ,()0 xf xxax aa a (以下略) 思路二：由ln11xxk 时，ln1lnln1 xxx xk kkk 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 ( 1)k 的任意性给赋值提供了更为宽松的选择空间： 1 ( )lnln1()2 x f
12、 xxaxkaxa xk kk 1 ()a xk k ， 令 1 0 111 ()0(0)1 1e (1)10 a k ka xkxaak ka a ak k k 不妨令 2 2 24 kx a a 详解：ln1xx (证略) ， 2 222 ln1ln1ln( ) 2222 a xaaaa xxxxf xx aaa 今取 22 22 4142 ,()0 2 a xf x aa aa (以下略) 【跟踪训练】 1思考并解答本讲题目 1(2)； 2思考函数赋值问题有哪些依据和方法 第二讲第二讲赋值的依据和方法赋值的依据和方法 1赋值的理论依据：赋值的理论依据： 1)不等式的基本性质以及一些简单代
13、数方程、不等式的求解 2)零点存在定理.基本模式是已知( )f a的符号， 探求赋值点m(假定ma)使得( )f m与( )f a异号， 则在( , )m a上存在零点 3)一些基本的超越不等式，如： 1 1 ln1 x xx x ； 1 ln e xx 21x时， 2 2(1) 11 ln1 12 x xx xx xxx 301x时， 2 2(1) 11 ln1 21 x xx xx xxx 4 22 e1; ee ;e1(0);e(0) xxxx xxxxxx x 【注】应用上述不等式,一般须给出证明 2赋值的应对方略：赋值的应对方略： 2.1 赋值的方法：赋值的方法： 0 1直观放缩法
14、其形态是先直观尝试，后放缩证明，其特点是见效快，但有时有点悬，解、证 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 风险大 （参阅上节“真题探究” ） 0 2放缩求解法 其形态是先适度放缩，然后通过解不等式或方程求出赋值点，其特点是稳妥、 可靠，但有时，目标放缩有点难 （参阅上节“真题探究”中的思路一，思路二） 2.2 赋值点遴选要领：赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保
15、，三个优先 三个确保三个确保 ： （1）确保参数能取到它的一切值； （2）确保赋值点 0 x落在规定区间内； （3）确保运算可行 三个优先三个优先 ： （1）优先常数赋值点； （2）优先借助已有极值求赋值点(参阅 2016 届南通一模 19 N)； （3）优先简单运算，如 ln x e ， ln x e 等 2.3 放缩的分类及其目标：放缩的分类及其目标：放缩于赋值，如影随形，唇齿相依 （1） 依放缩的依据划分， 可分为无条件放缩 和条件放缩 两类 前者如，e1 x x ，ln1xx 等； 后者如0 x时，e1 x 1x 时， 11 e () 1 e x x x 等； （2）依赋值点的个数划分
16、，可分为单点式和两点式前者以解方程为归宿；后者以解不等式为 归宿，从某种意义上说，后者是前者受挫时的应急之举 一般情形下，放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了 主导作用的那些项；但有些问题中， 很难界定“主导”与非“主导” ，此时放缩的尺度取决于对题目中各种因素的综合考量这 正是赋值的难点 例例 1（2015 届南师附中期中考试 20 N）已知函数 21 22ln 2 f xaxxax （1）略； （2）略； （3）若曲线C： yf x在点1x 处的切线l与C有且只有一个公共点，求正数a的取值范围 解析： （3）易得切线42 2 a yx，代入 yf x整理得： 2 1212ln0 2 a
17、 g xxxax，题设等价于函数 g x有且只有一个零点， 1a xx gx x ，其中 2a a 【下一步分析：首先讨论0 x 恒成立（不可能） ，及 0 x恒成立x 恒成立0 】 1当0 ，即2a时，由 01gxx， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 O ( )g x 1 1a x y 1 O ( )g x 01a x y 1 x 1O ( )g x 12a
18、x y 2 x 且当1x 时， 0gx， g x ；当01x时， 0gx， g x 所以1x 是 g x唯一的极小值点，也是最小值点 且 10g，故2a满足题意 20即02a时由 1 01gxx， 2 x 【下一步分析：应比较 gx两零点与1的大小 】 11 即1a 时， 2 1 0 a x gx x ， g x ，又 10g，所以1a 满足题设 21，即01a时，当1x， 0gx， g x ，所以 10gg 【接着探究：在,上， g x ，所以在右侧充分远处， 希望存在 1 x，使 1 0g x，此外应意识到对 0g x 起主导作用 的那一项应该是 2 1 2 a x （该项不宜轻易放缩）
19、，故放缩的主要目标 是几乎可以忽略不计的“2lnax” ，事实上，当1x时，2ln0ax， 所以 2 121112120 222 aaa g xxxxxxx 令 1 4 x a 】 详解：又存在 1 4 1x a ，所以 1 2ln0ax， 2 1111111 121112120 222 aaa g xxxxxxx 在 1 ,x内， g x存在零点，所以 g x至少有两个零点，不合题意 31，即12a时，在,1上， 0gx， g x ，所以 10gg 【接着探究：在0,上， g x ，所以在0 x 右侧充分近处， 希望存在 2 x，使 2 0g x此外应意识到对 0g x 起主导作用 的那一项
20、应该是ln x（所以不宜轻易放缩）故放缩的主要目标 是几乎可以忽略不计的“ 2 121 2 a xx” ，事实上，当01x时， 2 10 2 a x ， 212x，所以 2 2 2 22ln00= e a g xaxx 令 】 O ( )g x 1 2a x y 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 2 ( ) x f xaex x y 0a 详解：又存在 2 2 2
21、 2 e1 a a x a ，并注意到 2 2 10 2 a x ， 2 212x， 22 2 22ln220 2 g xaxa a ，所以在0,内 g x存在零点， 从而 g x至少有两个零点，不合题意 综上所述，1a 或2a 【附证： 2 2 2 e a a a ： 2 2 2 2 11 e 2 e 2 a a a 22 2 aa a 】 例例 2（上节“题目 1（2） ” ）已知函数 2 ( )e( ,) x f xaxbx a b R （1） （3）略 （2）设0b ，若( )f x在R上有且只有一个零点，求a的取值范围 正解 ：(参数扫描)依题意 2 ( )exf xax有唯一零点，
22、于是： 0 1当0,( )0af x，不合； 0 2当 2 0,( )af xx有唯一零点，符合； 0 3当0,a 一方面(0)0fa 【下一步，分析 1：用直观放缩法 尝试 1 x使 1 ()0f x，显然 1 0(?)xwhy 因为( )e20,( ) x fxaxf x，所以只要令 1 0 x 且充分小，则 1 0 x ae，从而 1 2 11 ()e0 x f xax若 1 x为某个负常数,因负数a的任意性,无法确保 1 ()0f x，故 1 x须与a 有关不妨改试 1 1xa】 另一方面10,a 并注意到1 x ex (证略) 22 1 2 (1)(1)(1)10 222 e a a
23、aa f aaa aaa ， 所以在(,0)内( )f x有唯一零点 于是0 x时，须( )f x无零点，而(0)0f，所以0,( )0 xf x ，即 2 ex x a 记 2 ( )(0), ex x g xx (2) ( ) ex xx g x ，令 0 ( )02,g xx当 0 0,( )0, ( )xx g xg x； 当 0, ( )0, ( )xx g xg x，所以 max0 22 44 ( )() ee g xg xa ，所以 2 4 e a 综上0a 或 2 4 e a 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注
24、公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 O 1 e a ( )f x 1 0a e O 1 e ( )f x 0a O 1 e ( )f x 0a 1 【注】将零点问题转化为不等式恒成立问题从而使“分参”不依赖于形而凸显其严密性 【下一步分析 2：用放缩求解法 求 1 x使 1 ()0f x，显然 1 (,0)x 事实上0 x 时, 22 ( )e10 x f xaxax 令 ,解之 1 xa 】 另一方面 1 0 xa ,使 1 22 111 ()e0, x f xa
25、xax且0 x 时( )e20,( ) x fxaxf x， 所以在(,0)内( )f x有唯一零点 (以下过程同上) 【下一步分析 3：仍用放缩求解法 ， 1x 时， 22 ( )e10 x f xaxaxaxxa 令 ，取 1 1xa】 另一方面 1 10 xa ,使 1 22 1111 ()e0 x f xaxaxax且0 x 时 ( )e20,( ) x fxaxf x，所以在(,0)内( )f x有唯一零点 (以下过程同上) 例例 3 已知( )lnf xxxa，讨论 f x的零点的个数 解：记 f x的零点的个数为k f x的定义域为(0,)， 1lnfxx ， 令 0fx 1 e
26、 x ，当 1 e x 时， 0fx, f x ；当 1 0 e x时， 0fx， f x ， 所以 1 e x 是 f x的唯一极小值点也是最小值点，即 min 11 ee f xfa 0 1 .当 1 0 e a ，即 1 e a 时， min0f x,故0k 0 2 .当 1 0 e a ，即 1 e a 时， min 1 ( )0,1 e f xfk 0 3 .当 1 0 e a ，即 1 e a 时， min0f x(如右图所示) .0a 时，在 1 0, e 上 0f x ,在 1 ( ,) e 上， 【途径一】存在 1 e e a ，ee(e1)0 aaa faaa ， 由零点定
27、理及( )f x的单调性1k 【途径二：通过放缩，求解赋值点当ex 时,( )0f xxaxa 令 】 当ex 且xa 时，( )0f xxa，同理1k .0a 时，由ln01xxx，所以1k 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 1 1 e 1 0a e y x ( )f x ( ) f x x y 1 O 0 x e 1 x 2 x ( )f x 1 a . 1
28、0 e a时， min 1 0 e f xa一方面 1 1 e ，且 10fa，另一方面 【途径一：依据单调性，当 1 0 e x时，应有 0f x ，不妨直观尝试 1 0 e a x 】 注意到0 x 时， 2 exx（证略） ，存在 1 0 1 e e a x ， 1 2 2 2 11 1 1 e e0 a a a a a f aa ，又 f x图像在定义域内不间断， 所以在 1 0 e ，和 1 e ，内， f x各有一个零点，故2.k 【途径二(借助原函数极值求赋值点)】 已证在(0,)上 1 ln e xx，且存在 21 e aa， 22 2ln2 ln1f aaaaaaa 2 10
29、 e a 同理2.k 综上所述：当 1 e a 时，( )f x没有零点；当 1 e a 或0a时，有 1 个零点； 当 1 0 e a时，有 2 个零点 【注】学生可能出现的认知误区是：当0 x 时，lnxx （或） 【跟踪训练】 1解不等式：(e1)ln1xx，其中e为自然对数的底数 解析：记( )1(e1)lnf xxx ，则原不等式等价于 e1 ( )0.( )1f xfx x ， 令( )0fx， 0 e1x 当 0, ( )0,( )xxfxf x；当 0 0,( )xxf x 又一方面，存在 0 1,(1)0,xf另一方面，存在 0 e,(e)0 xf， 所以当且仅当1ex时(
30、)0f x ，从而原不等式的解集为(1,e) 2已知函数( )ln1(R)f xxaxa(1)讨论函数( )f x的单调性； (2)若( )f x有两个零点 1212 ,()x xxx,求a的取值范围 解析：(1)易得( )f x在 1 (0,) a ,在 1 ( ,). a (2)若0a则( )f x ,( )f x在定义域内最多一个零点,不合 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载
31、！下载！ 1010 ( ) g x x O y 所以0a 且 max 11 ( )( )ln001.f xfa aa 此时，一方面 11 ea 使 1 ( )0 ee a f ；另一方面，注意到ln1xx (证略) 于是， 0 2 e1 x a a 使 0 1e ()12ln1f x aa 1e2e 22(1)0 aaa 依据零点定理以及( )f x的单调性,可知( )f x在 1 (0,) a 和 1 ( ,) a 上各有一个零点， 所以a的取值范围是(0,1) 3设函数 31 ( )sin() 6 f xxaxx a R若对任意的0,( )0 xf x成立，求a的取值范围 解： 21 (
32、)cos,( )sin0( )( )(0)1 2 fxxaxfxxxfxfxfa 1.当1a 时,( )0,( )( )(0)0fxf xf xf； 2.当1a 时, 22 (2 )cos22cos2(1)0,(0)10faaaaaaa afa ， 所以 0 (0,2 )xa使得 0 ()0fx且在 0 (0,)x内( )0( ),( )(0)0fxf xf xf与题设不符. 所以1a 第三讲第三讲赋值的若干经典问题赋值的若干经典问题 例例 1（2015.新课标（1）文 21）设函数 2 ( )eln x f xax （1）讨论( )fx零点的个数； （2）略 解： （1） 21 ( )(2
33、e) x fxxa x 当0a时,( )0fx，故( )fx无零点； 当0a 时( )fx零点的个数即 2 ( )2 e(0) x g xxa x零点的个数，记为n 所以在(0,)上( )g x ，所以1 ( )ni又 2 ( )(21)0 a g aae 【下一步如何寻找正数 0 x使 0 ()0g x?】 途径一(直观放缩法) 【分析】假定0(0)0 xga ，故应将 0 x锁定在0右侧一点点， 直观尝试后，形成如下的 详解：取 0 1 min , 4 4 a x ， 11 2 42 0 ()2e(e2)0 42 aa g xa ，依据零点定理1 ( )nj， 公众号：渝城高中数学会 60
34、8396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1111 2 x 1 2 1 x 0a ( )f x 由( ) i,( ) j1n 途径二(放缩求解法)【分析】01x时 11 e 1 e x x x 于是当 1 0 2 x，即021x时， 2121 e( )0, 12122(1)2 xxa g xax xxa 令 详解：01x时 11 e 1 e x x x ，于是当 1 0 2 x时， 21 021,e 12
35、x x x 2 ( ) 12 x g xa x ，取 12 ( )0 2(1)212 a ga a 依据零点定理1 ( )nj， 由( ) i,( ) j1n 例 2（2016.全（1）理 21）已知函数 2 ( )(2)e(1) x f xxa x有两个零点 （）求a的取值范围； （）略 解析： （）(参数扫描)( )(1)(e2 ) x fxxa 0 1 ) 若 0a ，当1,( )0,( )xfxf x，当 min 1,( )0,( ),( )(1)e0 xfxf xf xf 一方面,当 1x 时(2)0fa； 另一方面,当 1x 时 途径一 (标解)存在0b 且 ln 2 a b ，使
36、 23 ( )(2)(1)()0 22 a f bba bab b， 所以在 1x 两侧，( )f x各有一个零点，满足题意 途径二 【分析：当 0 x 时,能对( )0f x 起主导作用的那一项显然是 2 (1)a x ，而0,1 x e 变化 幅度不大，是比较理想的放缩目标0 x 时, 22 ( )(2)(1)22(1)f xxa xxa x 0 2 (1)(2)(1)(2) 0 xaxaxaxx a 令 】 详解：0 x 时, 22 ( )2(1)22(1)(1)(2)f xxa xxa xxaxa (1)(2)xax，今取 0000 2 01,()(1)(2)0 xf xxax a ，
37、所以在 1x 两侧， ( )f x各有一个零点，满足题意 0 2 )若 0a，当1,( )0 xf x ，所以( )f x有两零点 1x时，( )f x有两零点 2 (2)e ( )(1) (1) x x g xa x x 有两零点，但 2 3 (45)e ( )0( ) (1) x xx g xg x x 所以( )f x不存在两个零点 综上，a的取值范围是(0,) 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：6083969166
38、08396916 下载！下载！ 1212 O ( )F x 01a O ( )F x 1a 1a O ( )F x 【注】顺便指出,在同解变形中,巧用升降格,可简化解题过程 (证明: 2 0,e1 x xx ) 例例 3（2017 全（2）文 21）设函数 2 ( )(1)exf xx （1）略； （2）当0 x时，( )1f xax ，求a的取值范围 解： （2） 2 11 e10 x f xaxF xaxx 显然0a （否则若0a ， 注意到 1 2 e1.5， 则 1 2 133 e11.510 22424 aa F ） 【下一步探求a的范围：令 2 21 e0 x Fxaxx恒成立 2
39、 21 exaxx r x， 2 41 e0 x rxxx，所以 r x ， min 01r xr ，所以11aa 】 2 21 exFxaxx，记 h xFx， 2 41 e0 x h xxx，所以 h x 即 Fx ， 01FxFa 于是： 1当1a时， 0Fx， F x ， 00F xF，从而 1f xax ； 2当01a时， 途径一 【分析当01x时， 2 111F xaxxx 21 1210 2 a x xxaxxax 令 】 详解：当01x时，注意到e1 x x(证略) 22 111121F xaxxxx xxaxxa ， 今取 0000 1 0,1()2(1)0 2 a xF x
40、xxa ，不合题意.综上，1a 途径二 ： 010,(1)2e0FaFa ，又 Fx，故在(0,1)上 Fx有唯一零点 0 x， 且在 0 (0,)x上 0,( )FxF x，所以( )(0)0F xF不合题意 综上1a 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1313 例例 4 （省竞赛集训题）设数列 n a的通项 1 1 n n k a k ,证明: 2 1 ln2 4 n
41、n aa n 【分析：联想超越不等式ln x小于有ln1(1)xxx； 2 1 ln(1) 2 x xx x 等 然后用分项比 较法 ,将待证式两边均表示为从n起连续n项的和： 整合并分解左边： 21 2 111 () 422(1) n nn k n aa nkk ； 同时将右边化整为零: 21 1221 ln2lnlnlnln 121 n n nnnk nnnk 依据 2 1 1 ()1 111 ln 22(1)2 k k k k k kkk ，所以原式获证】 证明：易证 2 1 ln(1) 2 x xx x ，令 2 1 1 ()1 1111 ln. 22(1)2 k k k k kk x
42、 kkkk 2 11111 () 41224 nn aa nnnnn 11111 2 2(1)2(2)2(21)24nnnnn 11111111 22(1)2(2)2(21)2(1)2(2)2(21)4nnnnnnnn 2121 111122 ()lnln()ln2 22(1)121 nn k nk n knnn kkknnn 【跟踪训练】 1设函数( )ln()f xxax aR.若方程 21 ( ) 2 a f xx 有解，求a的取值范围 解：方程 21 2 a f xx 有解函数 21 ln 2 a h xxaxx 有零点 2 11 1 111 axax h xxax xx 1a 时，
43、ln110h xxxxx （证略）所以 h x无零点； 1a 时， 1 10 2 a h （观察！ ） 【下一步分析：如何赋值 0 x,使得 0 0h x？ 当1x 时, 2 0 112 () 0( 1) 221 aaa h xaxxxxax a 令 说明:若不能确保 解方程所得到的 0 1x ，则改用两点式,即 0h xx 令 （参阅(二)例 2 分析 3） 】 又 2 1 1 a a 且 0 22122 lnln0 11211 aaaaa hxa aaaa ， 由零点定理， h x有零点 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注
44、公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1414 1a 时110ax ，所以令 01h xx（易知1x 是 h x的最大值点） 【下一步分析:令 max(1)011h xha , h x无零点 于是剩下 max(1)01h xha 又经观察 20h，所以 h x有零点】 1.)11a 时 max(1)011h xha , h x无零点； 2.)1a时 max(1)0h xh，又经观察 20h，所以 h x有零点 综上所述1a 或1a 2a为正常数，函数( ), ( )lnf x
45、ax g xx 证明： 0 Rx使得当 0 xx时，( )( )f xg x恒成立 证法一易证 1 ln e xx(证略)又 111 ln, e22 xx用x代 1 lnln( ) 2 xxxxx 而 222( )xaxxa xxa .今取 2 0 xa， 当 0 xx时,由()得xax,再由( )lnaxx .获证 证法二易证0 x 时 21ln (1)ln;(2)e;(3) ( ) e xx xxxh x x 在(e,) (证略) 于是，(1)当 1 e a 时, 1 ln e xxax，结论成立(2)当 1 e a时，取 1 0 eax (显然 0 ex ) 当 0 xx时, 1 1 2
46、 1 lnlne ln 1 () e a a xa aaxx x a ，结论仍然成立 综上所述 0 Rx使得当 0 xx时,( )( )f xg x恒成立 3已知( )lnf xaxbxc， 1 ( )e x g xx （, ,a b cR） （1） （2）略 （3）当2b ，0ac，若对任意给定的 0 0,ex ，在区间0,e上总存在 1 t， 2 t 12 tt使得 120 f tf tg x，求实数a的取值范围 （3）略解：易得 g x在01 ，上递增，在1,e上递减，故 max 11g xg， 又 00g， 2 eeg e，所以 g x的取值范围（即值域）为01 ， 而 12lnf x
47、a xx过定点10 ， 2 fxa x 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1515 1 e ( )g x y x 1 ( )f x 2 a 【分析：分别令 0fx（无解） ， 0fx 】 1当 2 e a 时，在0,e上， 0fx ， f x单调减，不合题意； 2当 2 e a 时，令 0fx得: 2 x a ，且当 2 x a ， f x ； 2 0 x a 时， f
48、x ，并注意到 ln1xx 从而有 min 2 2 1ln0 22 aa f xf a 【下一步分析:需证明在 2 0 a ，及2,e a 上 f x的取值范围均应包含01 ，所以两段上的“赋值” 回避不了】 事实上，一方面在 2,e a 上，须 32 e1 e1e fa ； 另一方面在 2 0 a ，上，存在 2 1 e a x 使 2 1 6 e331 e a f xaaa ， 所以当 3 e1 a 时， f x在两个单调区间上的取值范围均包含01 ， 所以 0 0,ex ，必存在 1 2 0t a ， 2 2,e t a ，使 120 f tf tg t. 故所求取值范围是 3 , e1
