1、课时作业课时作业 23简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 一、选择题 1若 sin1 3，则 cos2( B) A.8 9 B.7 9 C7 9 D8 9 解析：由 sin1 3，得 cos212sin 212 1 3 212 9 7 9.故选 B. 2(2020全国卷)已知(0，)，且 3cos28cos5，则 sin(A) A. 5 3 B.2 3 C.1 3 D. 5 9 解析：由 3cos28cos5，得 3cos24cos40，所以 cos2 3或 cos2(舍去)，因为(0， )，所以 sin 5 3 ，故选 A. 3(2021湖北八校联考)若 sin 63 5，则 sin 62
2、(D) A24 25 B.24 25 C 7 25 D. 7 25 解析：sin 62sin 22 6 cos 2 612sin2 6118 25 7 25. 4(2021九江模拟)化简 sin2351 2 cos10cos80 等于(C) A2B1 2 C1D1 解析： sin2351 2 cos10cos80 1cos70 2 1 2 cos10sin10 1 2cos70 1 2sin20 1. 5(2021陕西榆林一模)已知 cos4 5， ，3 2 ，则 1tan 2 1tan 2 (B) A1 2 B2 C.1 2 D2 解析：由 cos4 5， ，3 2 ，可得 sin3 5.
3、由 1tan 2 1tan 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 1sin cos 2 5 4 5 1 2，所以 1tan 2 1tan 2 2. 6(2021河南焦作模拟)已知 ，3 2，2sin21cos2，则 tan 2( D) A 53 2 B. 53 2 C.1 5 2 D 51 2 解析：由 2sin21cos2，得 4sincos2sin2，因为 ，3 2，所以 sin0，cos0，所以 sin 2cos.又 sin2cos21，联立解得 sin2 5 5 ， cos 5 5 ， 所以 tan 2 s
4、in 2 cos 2 sin 2cos 2 cos2 2 1 2sin 1 21cos sin 1cos 51 2 . 7(2021河南郑州模拟)若 2，2cos2sin 4，则 sin2的值为(A) A7 8 B.7 8 C1 8 D.1 8 解析：因为 2cos2sin 4，所以 2(cos2sin2)sin 4coscos 4sin，所以 2(cossin)(cos sin) 2 2 (cossin)因为 2，所以 cossin0，所以 cossin 2 4 .所以(cossin)21 8， 即 cos22cossinsin21 8，1sin2 1 8，所以 sin2 7 8. 8(20
5、21湖南模拟)已知角，(0，)，tan()1 2，cos 7 2 10 ，则角 2(D) A.9 4 B.3 4 C.5 4 D. 4 解析：(0，)，cos7 2 10 ， 0， 2 ，sin 2 10，tan 1 7， 又 tan() tantan 1tantan 1 2，即 tan1 7 11 7tan 1 2， 解得 tan1 3， 0， 4 ， tan(2) tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1，又 2(0，)，2 4. 二、填空题 9已知 sin 2 2 cos 6 2 ，则 tan 2. 解析：sin 2 2 cos 6 2 sin() 6 2 ，其
6、中 tan 2 2 且为锐角，则 sin()1.则2k 2，kZ，即2k 2，kZ.于是 tantan 2k 2tan 2 1 tan 2. 10(2021湖南联考)已知 cos 23sin 7 6 ，则 tan 122 34. 解析：cos 23sin 7 6 ， sin3sin 6 ，sin3sin 6 3sincos 63cossin 6 3 3 2 sin3 2cos， tan 3 23 3.又 tan 12tan 3 4 tan 3tan 4 1tan 3tan 4 31 1 32 3，tan 12 tan 12tan 1tan 12tan 2 3 3 23 3 12 3 3 23
7、3 2 34. 11(2021江苏扬州调研)已知 cos x 3 1 3，则 cos 2x5 3 sin2 3x的值为5 3. 解析：依题意得 cos 2x 3 cos 2x 3 cos 2x2 3 12cos2 x 3 121 9 7 9，则 cos 2x5 3 sin2 3x cos 2x 321cos 2 3 2x 2 cos 2x 3 1 2cos 2x 3 1 2 3 2cos 2x 3 1 2 3 2 7 9 1 2 5 3. 12 (2021湖南长沙模拟)设 0， 3 ， 6， 2 ， 且 5 3sin5cos8， 2sin 6cos2， 则 cos( )的值为 2 10. 解析
8、：由 5 3sin5cos8，得 sin 6 4 5， 因为 0， 3 ，所以 6 6 2， 所以 cos 6 3 5.由 2sin 6cos2， 得sin 3 2 2 ， 因为 6， 2 ， 所以 2 30)的最小正周期为. (1)求的值； (2)若 x0 4， 7 12 且 f(x0) 3 3 1 2，求 cos2x 0的值 解：(1)f(x) 3sinxcosxcos2x 3 2 sin2x1cos2x 2 sin 2x 6 1 2，因为函数 f(x)的最小正 周期为，所以2 2，所以1. (2)由(1)可得 f(x0)sin 2x0 6 1 2 3 3 1 2，则 sin 2x0 6
9、3 3 ，又 x0 4， 7 12 ，2x0 6 3， sin 2x0 6 3 3 3 2 ，所以 2x0 6 2 3 ， ，所以 cos 2x0 6 1sin2 2x0 6 6 3 ， 所以 cos2x0cos 2x0 6 6 cos 2x0 6 cos 6sin 2x0 6 sin 6 6 3 3 2 3 3 1 2 3 2 3 6 . 14已知函数 f(x)(2cos2x1)sin2x1 2cos4x. (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若(0，)，且 f 4 8 2 2 ，求 tan 3 的值 解：(1)因为 f(x)(2cos2x1)sin2x1 2cos4x
10、 cos2xsin2x1 2cos4x 1 2(sin4xcos4x) 2 2 sin 4x 4 ，所以函数 f(x)的最小正周期 T 2. 令 2k 24x 42k 3 2 ，kZ， 得k 2 16x k 2 5 16，kZ.所以函数 f(x)的单调递减区间为 k 2 16， k 2 5 16 ，kZ. (2)因为 f 4 8 2 2 ，所以 sin 4 1.又(0，)，所以 4 4 3 4 ，所以 4 2，故 3 4 .因此 tan 3 tan3 4 tan 3 1tan3 4 tan 3 1 3 1 3 2 3. 15(2021河南、江西、湖南三省联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数
11、学名著，书中有一 个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水渠、葭长各 几何？”其意思为“今有水池 1 丈见方(即 CD10 尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为 1 尺将 芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)试问水深、芦苇的长度各是多少？”设BAC，现有下 述四个结论： 水深为 12 尺；芦苇长为 15 尺；tan 2 2 3； tan 4 17 7 . 其中所有正确结论的编号是(B) AB CD 解析：设 BCx 尺，则 AC(x1)尺，在 RtABC 中，AB5，52x2(x1)2，x12.tan 12 5 ，tan 2tan 2 1t
12、an2 2 12 5 ，解得 tan 2 2 3(负根舍去)tan 12 5 ，tan 4 1tan 1tan 17 7 ，故正确 结论的编号为. 16(2021浙江模拟)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴非负半轴为始边的锐角与钝角的 终边与单位圆分别交于 A，B 两点，x 轴的正半轴与单位圆交于点 M，已知 SOAM 5 5 ，点 B 的纵坐标是 2 10. (1)求 cos()的值； (2)求 2的值 解：(1)由题意知 OAOM1， SOAM1 2OAOMsin 5 5 ，且为锐角， sin2 5 5 ，cos 5 5 . 点 B 的纵坐标是 2 10 ，且为钝角，sin 2 10 ，cos7 2 10 ，cos()coscossinsin 5 5 7 2 10 2 5 5 2 10 10 10 . (2)cos22cos212 5 5 213 5， sin22sincos22 5 5 5 5 4 5，2 2，又 2，2 2， 2 . sin(2)sin2coscos2sin 4 5 7 2 10 3 5 2 10 2 2 ， 2 4.
