1、课时作业课时作业 41基本不等式基本不等式 一、选择题 1(2021河南豫北联考)设 a0，则 aa4 a 的最小值为(D) A2 a4B2C4D5 解析：aa4 a a14 a12 a4 a5，当且仅当 a2 时取等号，故选 D 2(2021北京通州模拟)设 f(x)lnx,0ab，若 pf( ab)，qf ab 2，r1 2f(a)f(b)，则下列关系式中正确的 是(C) Aqrp Cprq 解析：0ab， abab 2 ，又 f(x)lnx 在(0，)上单调递增，f( ab)f ab 2. 又fafb 2 ln ab，fafb 2 f( ab)f ab 2，pr0)，则 f(x)的最小值
2、是(D) A2B3 C4D5 解析：f(x)x 23x6 x1 x1 2x14 x1 x1 4 x11，因为 x0，所以 x10，则 x1 4 x112 4 15 当且仅当 x1 4 x1，即 x1 时取“”，故 f(x)的最小值是 5.故选 D 4(2021云南玉溪调研)已知 a0，b0，若不等式4 a 1 b m ab恒成立，则实数 m 的最大值为( D) A10B12 C8D9 解析：已知 a0，b0，若不等式4 a 1 b m ab恒成立，则 m 4 a 1 b (ab)恒成立，转化成求 y 4 a 1 b (ab)的最 小值，y 4 a 1 b (ab)54b a a b52 4b
3、a a b9，当且仅当 a2b 时等号成立，所以 m9.故选 D 5(2021湖北宜昌月考)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理 300 吨垃圾， 最多要处理 600 吨垃圾，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示为 y1 2x 2300 x80 000， 为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月处理量应为(B) A300 吨B400 吨 C500 吨D600 吨 解析：由题意，得平均处理成本为 sy x 1 2x 2300 x80 000 x x 2 80 000 x 300， 其中 300 x600，x 2 80 000 x 3002
4、x 2 80 000 x 300400300100，当且仅当x 2 80 000 x ，即 x400 时， 等号成立，此时每吨的平均处理成本最低故选 B 6(2021山东聊城模拟)已知两圆 x2y24ax4a240 和 x2y22byb210 恰有三条公切线，若 aR， bR，且 ab0，则 1 a2 1 b2的最小值为( B) A3B1 C.4 9 D1 9 解析：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x2a)2y24，x2(yb)21，圆心分别为(2a,0)，(0， b)，半径分别为 2,1， 4a2b23，4a2b29， 1 a2 1 b2 1 a2 1 b24a 2b2 9 5 9
5、 b2 9a2 4a2 9b2 5 9 4 91，当且仅当 b2 9a2 4a2 9b2时，等号成立，故选 B 7(2021福建上杭月考)若两个正实数 x，y 满足1 x 4 y1，且不等式 x y 4m 23m 有解，则实数 m 的取值范围是 (B) A(1,4)B(，1)(4，) C(4,1)D(，03，) 解析：不等式 xy 4m 23m 有解， xy 4min0，y0，且1 x 4 y1，x y 4 xy 4 1 x 4 y 4x y y 4x 22 4x y y 4x24，当且仅当 4x y y 4x，即 x2，y8 时取等号， xy 4min4，m23m4，即(m1)(m4)0，
6、解得 m4，故实数 m 的取值范围是(，1)(4，) 8(2021河南信阳质检)已知正项等比数列an满足：a2a816a5，a3a520，若存在两项 am，an，使得 aman 32，则1 m 4 n的最小值为( A) A.3 4 B 9 10 C.3 2 D9 5 解析：由等比数列的性质得 a25a2a816a5.因为 a50，所以 a516，又因为 a3a520，所以 a34，所以 a11， 公 比 q 2 ， 因 为aman 32 ， 所 以2m n2 32 25， 所 以 m n 12 ， 则 1 m 4 n 1 12 (m n) 1 m 4 n 1 12 54m n n m 3 4
7、当且仅当4m n n m，即 m4，n8 时，取等号，则1 m 4 n的最小值为 3 4，故选 A. 二、填空题 9(2020江苏卷)已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是4 5. 解析： 由 5x2y2y41 知 y0， x21y 4 5y2 ， x2y21y 4 5y2 y214y 4 5y2 1 5y2 4y2 5 2 4 25 4 5， 当且仅当 1 5y2 4y2 5 ，即 y21 2，x 23 10时取“”故 x 2y2的最小值为4 5. 10(2020天津卷)已知 a0，b0，且 ab1，则 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 解析： 1 2a 1
8、2b 8 ab ab 2ab 8 ab ab 2 8 ab 2 ab 2 8 ab4， 当且仅当ab 2 8 ab，即(ab) 216，也即 ab4 时取等号 又ab1， a2 3， b2 3 或 a2 3， b2 3 时取等号， 1 2a 1 2b 8 ab的最小值为 4. 11(2021湖南怀化模拟)函数 yloga(x3)1(a1，a0)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上， 其中 m0，n0，则1 m 2 n的最小值为 8. 解析：当 x2 时，yloga111，函数 yloga(x3)1(a1，a0)的图象恒过定点 A(2，1) 点 A 在直线 mxny10 上，
9、2mn10， 即 2mn1.m0， n0， 1 m 2 n 1 m 2 n (2mn)2 n m 4m n 242 n m 4m n 8，当且仅当 m1 4，n 1 2时取等号 12已知函数 f(x)2x1 2x1，f 1 2 019 f 2 2 019 f 2 018 2 019 1 009 2 (ab)(a，b 均为正实数)，则 ab 的最大值为 4. 解析：f(x)2x1 2x1， f(x)f(1x)2x1 2x1 21x1 21x12， f 1 2 019 f 2 2 019 f 2 018 2 019 f 1 2 019 f 2 018 2 019 f 2 2 019 f 2 017
10、 2 019 f 1 009 2 019 f 1 010 2 019 1 0092 1 009 2 (ab)， ab4，又 a，b 均为正实数，ab ab 2 24， 当且仅当 ab2 时取等号故 ab 的最大值为 4. 三、解答题 13已知 x，y(0，)，x2y2xy. (1)求1 x 1 y的最小值 (2)是否存在 x，y 满足(x1)(y1)5？并说明理由 解：(1)因为1 x 1 y xy xy x 2y2 xy 2xy xy 2，当且仅当 xy1 时，等号成立，所以1 x 1 y的最小值为 2. (2)不存在理由如下： 因为 x2y22xy，所以(xy)22(x2y2)2(xy)
11、又 x，y(0，)，所以 xy2. 从而有(x1)(y1) x1y1 2 24， 因此不存在 x，y 满足(x1)(y1)5. 14(2021广东惠州调研)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其 中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是(B) A2B3 C.17 2 8 D 10 解析：由题意得 F 1 4，0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y21x1，y22x2.由OA OB 2， 得 x1x2y1y2y21y22y1y22， 解得 y1y22 或 y1y21，因为 A，B 位于 x 轴两侧，
12、所以 y1y22.因为 SOAB1 2|OA |OB |sinAOB1 2 OA 2OB2sin2AOB 1 2 OA 2OB2OA2OB2cos2AOB 1 2 OA 2OB2OA OB 2 1 2 x21y21x22y22x1x2y1y221 2|x 1y2x2y1|， 所以ABO 与AFO 的面积之和为 S1 2|x 1y2x2y1|1 2 1 4|y 1| |y2y1|y1| 8 | 2 y1y 1|1 8|y 1| 2 |y1|y 1|1 8|y 1| 2 |y1| 9 8|y 1|3(当且仅当 2 |y1| 9 8|y 1|，即|y1|4 3时取等号) 15 (2021广东江门摸底
13、)已知函数 f(x) 2x1，x1， x26x8，x1， 若关于x 的不等式 f(x)kx2k 的解集为(x1， x2)(x3， )，且 x1x2x3kx2k 的解集是(x1，x2)(x3，)，且 x1x2x30，所以结合图象可知 x11，x31，x1是方程 2x1kx2k0 的实 数根，所以 x12k1 k2 (k2)，x2，x3是方程 x26x8kx2k0 的两个实数根，即 x2(6k)x82k0 的两个实 数根，所以 x2x3k6.当直线 ykx2k 经过点(0,1)时，可得2k1，解得 k1 2；当直线 ykx2k 与直线 y 2x1 平行时， k2.因为 x1x2x30， 所以1 2k2， 所以 02k 5 2， 则 x 1x2x32k1 k2 k610 2k 5 2k 10 22k 5 2k102 5，当且仅当 2k 5 2k，即 k2 5时取等号
