1、第七章第七章立体几何立体几何 课时作业课时作业 44空间几何体的结构特征、三视图和直观图空间几何体的结构特征、三视图和直观图 一、选择题 1在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水 平面可以呈现出的几何形状不可能是(C) A圆面B矩形面 C梯形面D椭圆面或部分椭圆面 解析：将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩 形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选 C. 2.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方 体是
2、榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 (A) 解析：由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 3若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称 之为直角四面体，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别 为(A) A2,8B4,12 C2,12D12,8 解析：因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成 2 个等腰四面体因为长方体的每个顶点出发 的三条棱都是两两垂直的，所
3、以长方体中有 8 个直角四面体 4(2021昆明测试)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个 数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间，都满足关系式 VEF2，这个等式就是立 体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为(B) A10B12 C15D20 解析：二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数 E2031 230，面数 F20，顶点 数 VEF212.故选 B 5(2021福建宁德质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A
4、) A3B9 C12D36 解析：由几何体的三视图可知，该几何体是圆锥的1 4，其中圆锥的高为 4，底面半径为 3，所以该几何体的体积 V 1 4 1 3R 2h1 4 1 33 243. 6如图是水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形 的直观图中，顶点 B到 x轴的距离为(A) A. 2 2 B1 C. 2D2 解析：利用斜二测画法作正方形 ABCO 的直观图如图， 在坐标系 xOy中，|BC|1，xCB45. 过点 B作 x轴的垂线，垂足为 D. 在 RtBDC中，|BD|BC|sin451 2 2 2 2 . 7(20
5、21安徽马鞍山测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C) A.16 3 B64 3 C.80 3 D14 3 解析：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如图所示，可知该几何体是由四棱锥 FABCD 与三棱锥 FABE 组合而成的，故该几何体的体积 VVFABCDVFABE1 3444 1 3 1 2244 80 3 ，故选 C. 8(2021江西吉安月考)某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体中，最长 的棱的长度为(C) A3B3 2 C3 3D6 解析：由三视图还原几何体，可得该几何体可看作如图所示的棱长为 3 的正方体中，以 A，B，C，D
6、为顶点的三 棱锥，其最长的棱为 BD，且 BD 3232323 3.故选 C. 9(2021北京清华附中月考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(A) A27B30 C32D36 解析：由三视图可知该四棱锥的直观图如图所示，其中底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，DA平面 PAB，AP 平面 ABCD，CD平面 PAD，AP4，PBPD5，SADP1 2ADAP6，S ABP1 2ABAP6，S CDP1 2CDPD 15 2 ，SCBP1 2BCBP 15 2 .该四棱锥的侧面积 S6615 2 15 2 27. 10如图，网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三
7、视图，则该几何体的表面积为(C) A13520 29 2 B13518 29 C13518 29 2 D13520 29 解析：依题意，该几何体为一个正方体切掉一个三棱柱和一个四分之一圆柱形成的几何体，如图所示，故所求表 面积 S2 661 233 1 43 2 3 263641 4(23)613518 2 9 2 . 11(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积， 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (C) A. 51 4 B 51 2 C. 51 4 D 51 2 解
8、析： 如图， 设正四棱锥的底面边长 BCa， 侧面等腰三角形底边上的高 PMh， 则正四棱锥的高 POh2a 2 4 ， 以 PO 的长为边长的正方形面积为 h2a 2 4 ，一个侧面三角形面积为 1 2ah，h 2a2 4 1 2ah，4h 22aha20，两边 同除以 a2可得 4 h a 22h a10，解得 h a 1 5 4 ，又h a0， h a 51 4 .故选 C. 12如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 A1D1，A1B1的中点，点 P 是棱 CD 上的动 点(含端点)，则平面 MNP 与正方形 BCC1B1所在平面相交的线段中，最长的
9、一条线段的长度为(C) A2 2B 2 C.2 13 3 D 5 解析：如图，连接 BD，设 DPx(0 x2)，平面 MNP 与 BC 的交点为 Q，与 BB1的交点为 H，连接 NH，HQ， PQ，易知 PQMN，则 PQBD，BQx，由BHQB1HN，可得 BH 2x x1.所以，HQ 2BH2BQ2 4x2 x12 x2，根据函数的单调性得，故当 x2 时，HQ 取得最大值，为2 13 3 . 二、填空题 13 (2020浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位： cm2)为 2， 且它的侧面展开图是一个半圆， 则这个圆锥的底面半径(单 位：cm)是 1. 解析：设圆锥的底面半径为 r cm，母
10、线长为 l cm，如图 由题意可得 S 侧rl2， 2rl， r1.故圆锥的底面半径为 1 cm. 14已知等腰梯形 ABCD，上底 CD1，腰 ADCB 2，下底 AB3，以下底所在直线为 x 轴，则由斜二测画 法画出的直观图 ABCD的面积为 2 2 . 解析：如图所示，作出等腰梯形 ABCD 的直观图 因为 OE 2211，所以 OE1 2，EF 2 4 ， 则直观图 ABCD的面积 S13 2 2 4 2 2 . 15中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝 时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1) 半正多面体是由两种或两
11、种以上的正多边形围成的多面体 半 正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且 此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 21. 解析：半正多面体面数从上至下依次为 1,8,8,8,1，故共有 1888126 个面半正多面体的所有顶点都在 同一个正方体表面上，如图 1，该正方体被半正多面体顶点 A，B，C 所在平面截得的图形如图 2.八边形 ABCDEFGH 为正八边形设 ABa，则 12 2 2 aa，解得 a 21. 16如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，BC 3，AC1，AA13，F 为棱
12、 AA1上的一动点，则当 BF FC1最小时，BFC1的面积为 15 2 . 解析：将直三棱柱 ABCA1B1C1的侧面沿棱 BB1剪开，并展开到同一平面上，如图所示，连接 BC1，则 BC1与 AA1 的交点即为 BFFC1最小时的点 F.易知C1A1FBAF，又 AB2，AC1，AA13，AF2FA12.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，易得 BF2 2，FC1 2，BC12 3，由余弦定理得 cosFC1B 2128 2 22 3 6 4 ，sinFC1B 10 4 ，BFC1的面积为1 2 22 3 10 4 15 2 . 17(2021湖北联考)已知四面体 ABCD 为正四面体，AB
13、2，E，F 分别是 AD，BC 的中点若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大 值为(A) A1B 2 C. 3D2 解析：把四面体放在棱长为 2的正方体中，如图EF，EF平面 BGCH，平面 BGCH.同理可得 平面 AODP.设分别交 AC，AB，BD，CD 于点 K，L，M，N，连接 KL，LM，MN，NK，根据正方体的性质知所得 截面为平行四边形 MNKL，且 NKKL2，又 NKAD，KLBC，且 ADBC，KNKL，可得 S 四边形MNKL NKKL NKKL 2 21，当且仅当 NKKL 时取等号，
14、故选 A. 18(2021广东江门测试)如图，每个小正方形网格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体所有的表面中面积最大的值为(C) A8B12 C18D22 解析：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱台 B1FEA1D1A，将其放在棱长为 4 的正方体中，E，F 分别为 BB1，B1C1的中点，侧面 AA1B1E，A1D1FB1为全等的两个直角梯形，面积为42 2 412，底面 AA1D1，EB1F 为等腰 直角三角形，面积为 SAA1D11 2448，SEB 1F1 2222.连接 A 1D，B1C，设 AD1，A1D 交于点 H，EF， B1C 交于点 G，连接 HG，则 H，G 分别为 A1D，EF 的中点侧面 EFD1A 是等腰梯形，因为 AD1A1D，AD1CD， A1DCDD，所以 AD1平面 A1B1CD，则 AD1HG，所以梯形 EFD1A 的高为 HG.取 A1H 的中点 P，连接 PB1，易 证四边形 B1PHG 为平行四边形， 所以 HGPB1 22423 2， 所以梯形 EFD1A 的面积为1 2(2 24 2)3 2 18.故该几何体所有的表面中面积最大的值为 18.
