1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 01（人教 A 版） （文） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：人教 A 版 必修 5 全册+选修 1-1 第一章 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1已知命题p：Rx，使1 sin x x 成立，则p 为( )。 A、Rx，使1 sin x x 成立 B、Rx，使1 sin x x 成立 C、Rx，使1 sin x x 成立 D、Rx，使1 sin x x 成立 【答案】C 【解析】p 为前不否后否，但前有量词必须改量词，故选 C
2、。 2在等比数列 n a中，若 4 a、 8 a是方程034 2 xx的两根，则 6 a的值是( )。 A、3 B、3 C、3 D、3 【答案】B 【解析】解方程034 2 xx可得1x或3x，故1 4 a、3 8 a或3 4 a、1 8 a， 故3 84 2 6 aaa，故3 6 a，又 4 a、 6 a、 8 a同号，0 4 a，故3 6 a，故选 B。 3锐角ABC中CABsinsinsin 2 ，则Bcos的取值范围是( )。 A、) 10( ， B、) 1 2 1 ( ， C、 2 2 2 1 ， D、) 1 2 1 ， 【答案】D 【解析】若CABsinsinsin 2 ，则acb
3、 2 ，由余弦定理可得 2 1 2 2 2 cos 222 ac acac ac bca B， 则 2 1 cosB，又) 2 0( ，B，则1cos 2 1 B，故选 D。 4设全集| )(RyRxyxU，集合02| )(myxyxA，集合0| )(nyxyxB， 那么点)()32(BCAP U ，的充要条件是( )。 A、1m，5n B、1m，5n C、1m，5n D、1m，5n 【答案】A 【解析】由题意可知)32( ，P满足02| )(myxyxA，则0322m，1m， 由题意可知)32( ，P不满足0| )(nyxyxB，则032n，5n，故选 A。 5已知等差数列 n a的通项公式
4、为tnan 31(Zt)，当且仅当10n时，数列 n a的前n项和 n S最大， 则当10 k S时，k( )。 A、20 B、21 C、22 D、23 【答案】A 【解析】由题意可知， 01131 01031 11 10 ta ta ，解得 10 31 11 31 t，又Zt，则3t，nan331， 2 )359(nn Sn ，10 2 )359( kk Sk， 即020593 2 kk，20k或 3 1 k(舍)，故选 A。 6在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知abcbacba3)()(，且4c， 则ABC面积的最大值为( )。 A、3 B、32 C、34 D、38
5、【答案】C 【解析】abcbacba3)(，abcba 222 ， 2 1 2 cos 222 ab cba C， 又), 0(C， 3 C， 2 3 sinC，又ababababba216 22 ，则16ab， 34 2 3 16 2 1 sin 2 1 CabS ABC ，当且仅当4ba时等号成立，故选 C。 7若关于x的不等式0 1 2 cbxx a (1ab)的解集为空集，则 1 )2( ) 1(2 1 ab cba ab T的最小值为( )。 A、3 B、2 C、32 D、4 【答案】D 【解析】0 1 a ，0 4 2 a c b，得 4 2 ab c ， ) 1(2 21 1 )
6、2( ) 1(2 1 22 ab baab ab cba ab T， 令mab1，则0m，42 2 22 ) 1() 1(21 2 m m m mm T，故选 D。 8已知首项均为 2 3 的等差数列 n a与等比数列 n b满足 23 ba， 34 ba ，且 n a的各项均不相等，设 n S 为数列 n b的前n项和，则 n n S S1 2 的最大值与最小值之和为( )。 A、 4 1 B、 12 11 C、 6 7 D、 12 17 【答案】A 【解析】设等差数列 n a的公差为d(0d)，等比数列 n b的公比为q(0q)， 则 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 qd qd
7、 得 8 3 2 1 d q ， n n S) 2 1 (1，令 n n S S t 1 2 ，则 n n S St 1 ， 0 n S，t随着 n S的增大而增大， 当n为奇数时， n n S) 2 1 (1， n S随着n的增大而减小， 2 3 1 ( ， n S， 6 5 0( ，t； 当n为偶数时， n n S) 2 1 (1， n S随着n的增大而增大，) 1 4 3 ， n S，)0 12 7 ，t， 12 7 min t， 6 5 max t，即 n n S S1 2 的最大值为 6 5 ，最小值为 12 7 ， n n S S1 2 的最大值与最小值之和等于 4 1 ) 12
8、7 ( 6 5 ，故选 A。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是( )。 A、“ba ”是“bcac ”的充要条件， B、“5a是无理数”是“a是无理数”的充要条件， C、“ba ”是“ 22 ba ”的充分条件， D、“5a”是“3a”的必要条件， 【答案】BD 【解析】当0c时，a、b不为0时，bcac 推不出ba ，A 是假命题， 当2a、3b时，ba 推不出 22 ba ，C 是假命题， BD 显然正确
9、，故选 BD。 10已知 n S是等差数列 n a的前n项和，且 576 SSS，则下列命题正确的是( )。 A、0 11 S B、0 12 S C、数列 n S中最大项为 11 S D、| 76 aa 【答案】AD 【解析】等差数列 n a中，且 576 SSS，则 6 S一定为 n a的前n项和的最大项，0 1 a，0d， 576 SSS，0 6 a，0 7 a，0 76 aa，05 1 da，06 1 da， A 选项，011)5(115511 61111 adadaS，对， B 选项，0)(12)(126612 76121112 aaaadaS，错， C 选项，数列 n S中最大项为
10、6 S，错， D 选项，| 7676 aaaa对， 故选 AD。 11已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1b、3c，且CBacossin 2 1 cossinABc，则a( )。 A、1 B、2 C、3 D、2 【答案】AD 【解析】 2 1 cossincossinABcCBa 2 1 2 sin 2 sin 222222 bc acb Bc ab cba Ba bacbBcbaB)(sin)(sin 222222 bacbcbaB)(sin 222222 bBbsin2 2 2 1 sinB，又cb ，CB ，则 6 B， 2 3 32 13 2 cos 2222
11、a a ac bca B， 简化得：023 2 aa，解得1a或2a，故选 AD。 12等比数列 n a中，1 1 a，公比2q，前n项和为 n S，下列结论错误的是( )。 A、 Nx0， 12 000 2 nnn aaa B、 Nx， 21 nnn aaa C、 Nx， 1 nn aS D、 Nx0， 213 0000 nnnn aaaa 【答案】ABD 【解析】 1 2 n n a，12 21 21 1 n n n S， A 选项， 11 2 00 00 22 nn nn aa， 1 1 0 0 22 n n a， 若 111 000 222 nnn ，则02 1 0 n ，无解，错，
12、B 选项， 121 1 222 nnn nn aa， 1 2 2 n n a， 构造函数 x xf2)(，易知)(xf在R上单调递增， 当2x时，) 1() 12(xfxf，R上不能保证) 1() 12(xfxf恒成立，错， C 选项， 1 nn aS恒成立，即 nn 212恒成立，对， D 选项， 21 3 00 00 22 nn nn aa， 1 21 00 00 22 nn nn aa， 若 121 0000 2222 nnnn ，则214 2 1 ，显然不成立，错， 故选 ABD。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13若命题“Rx 0 ，01 0 2 0
13、kxkx”是假命题，则实数k的取值范围是 。 【答案】04(， 【解析】若命题“Rx 0 ，01 0 2 0 kxkx”是假命题，则命题“Rx，01 2 kxkx”是真命题， 当0k时，有01，可取， 当0k时，则有0k且04) 1(4)( 22 kkkk，解得04k， 综上，实数k的取值范围是04(，。 14若数列 n a， n b的通项公式分别是aa n n 2020 ) 1(， n b n n 2021 ) 1( 2 ，且 nn ba 恒成立，则实 数a的取值范围是 。 【答案】) 2 3 2， 【解析】当kn2( Nk)时由 nn ba 恒成立得 k a 2 1 2恒成立， 2 3 )
14、 2 1 2( min k a， 当12 kn( Nk)时由 nn ba 恒成立得 12 1 2 k a恒成立， min ) 12 1 2( k a，又 12 1 k 不能等于0，2a， 综上， 2 3 2a，填) 2 3 2，。 15某观测站C在城A的南偏西 20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东 40，在C处测得公路 上B处有一个人， 距C为31千米， 正沿公路向A城走去， 走了20千米后到达D处， 此时CD间的距离为21 千米，则这人达到A城还要走 千米。 【答案】15 【解析】令ACD，CDB，在CBD中， 由余弦定理得 7 1 21202 312120 2 cos 22222
15、2 CDBD CBCDBD ， 7 34 sin， 又 14 35 2 3 7 1 2 1 7 34 60sincos60cossin)60sin(sin ， 在ACD中， sin60sin 21AD ，15 60sin sin21 AD(千米)， 这人还要再走15千米才能到达A城。 16设数列 n a满足2 1 a，6 2 a，且满足22 12 nnn aaa，若x表示不超过x的最大整数，则 202020202020 202021 aaa 。 【答案】2019 【解析】构造 nnn aab 1 ，则4 121 aab，由题意可得：2)()( 1112 nnnnnn bbaaaa， 故数列 n
16、 b是4为首项，2为公差的等差数列，22) 1(24 1 nnaab nnn ， 4 12 aa，6 23 aa，8 34 aa，naa nn 2 1 ， 以上1n个式子相加可得 2 )24)(1( 264 1 nn naan ， 解得) 1( nnan， 1 11 ) 1( 11 nnnnan ， 则) 111 (2020 202020202020 202021202021 aaaaaa ) 2021 1 2020 1 3 1 2 1 2 1 1 (2020 2021 1 2019 2021 2020 2020) 2021 1 1 (2020， 则2019 202020202020 2020
17、21 aaa 。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） 设等差数列 n a公差为d， 前n项和为 n S， 等比数列 n b公比为q， 已知 11 ab ，2 2 b，dq ，100 10 S。 (1)求数列 n a、 n b的通项公式； (2)当1d时，记 n n n b a c ，求数列 n c的前n项和 n T。 【解析】(1)由题意有 2 1004510 1 1 da da ，即 2 2092 1 1 da da ，解得 2 1 1 d a 或 9 2 9 1 d a ， 2 分 故 1 2 12 n n
18、n b na 或 1 ) 9 2 (9 )792( 9 1 n n n b na ； 4 分 (2)由1d，知12 nan， 1 2 n n b，故 1 2 12 n n n c， 5 分 于是 1232 2 12 2 32 2 52 2 5 2 3 1 nnn n nnn T， 6 分 n T 2 1 nnn nnn 2 12 2 32 2 52 2 5 2 3 2 1 1232 ， 7 分 -可得 nnn n nn T 2 32 3 2 12 2 1 2 1 2 1 2 2 1 22 ， 9 分 故 1 2 32 6 n n n T。 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知数列 n
19、 a满足1 1 a， nnnn aaaa332 11 。 (1)求 n a的通项公式； (2)若 1 1 1 ) 1( nn n n aa c，求 n c的前n2项和 n T2。 【解析】(1)由 nnnn aaaa332 11 两边同时除以 1 3 nna a得 1 11 3 2 nn aa ， 3 211 1 nn aa ， 2 分 数列 1 n a 是首项为1，公差为 3 2 的等差数列， 3 12 3 1 3 2 ) 1( 3 2 1 1 n nn an ，4 分 12 3 n an； 5 分 (2)由题意得 3 32 3 12 ) 1( 1 ) 1( 1 1 1 nn aa c n
20、nn n n ， 7 分 nnn aaaaaaT 21243212 8 分 3 34 3 14 3 14 3 14 3 11 3 9 3 9 3 7 3 7 3 5 3 5 3 3 nnnn 9 分 )34() 14() 14() 14(119977553 9 1 nnnn 10 分 )14(49454 9 1 n)14(95 9 4 nn n 2 145 9 4 nn) 32( 9 4 nn 3 4 9 8 2 。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 2 BAC，AD是BAC的平分线，点D在线段BC上，且CDBD2。 (1)求Bsin的值； (2)若1AD，求ABC的面积
21、。 【解析】(1)在ABD中，由正弦定理得： B AD BAD BD sinsin ，即 B ADBD sin45sin ， 1 分 在ACD中，由正弦定理得： B AD B AD C AD CAD CD cos ) 2 sin( sinsin ， 2 分 则 2 1 cos sin BD CD B B ，即BBcos 2 1 sin， )sin1 ( 4 1 cos 4 1 sin 222 BBB，即 5 1 si n 2 B， 4 分 又 B0， 5 5 sinB； 5 分 (2)由(1)知 5 5 sinB，又 2 BAC，B是锐角， 5 52 cosB， 6 分 2 1 tanB， 1
22、0 103 )cos(sin 2 2 )45sin()45180sin(sinBBBBBDA ， 8 分 在ABD中，由正弦定理可得 2 23 sin sin B BDA ADAB， 4 23 tanBABAC， 10 分 8 9 4 23 2 23 2 1 2 1 ACABS ABC 。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知正项数列 n a的前n项和为 n S，且 nnnnnn aaaaaa422 11 2 1 2 (1n)，1 1 a。 (1)证明数列 n a是等差数列，并求其前n项和 n S。 (2)若 14 1 n n S b，试求数列 n b的前n项和 n T。 【解析】(
23、1)当2n时，由 nnnnnn aaaaaa422 11 2 1 2 得： nnnnnnn aaaaaaa42 11 22 1 2 ， 1 分 )2(2)()( 1111nnnnnnnnn aaaaaaaaa ， 2 分 )2(2)(2( 111nnnnnn aaaaaa ， 3 分 数列 n a是正项数列，02 1 nn aa，2 1 nn aa， 4 分 数列 n a是等差数列，首项为1，公差为2，12 nan， 5 分 21 2 nn aa S n n ； 6 分 (2)由(1)知，) 12 1 12 1 ( 2 1 14 1 2 nnn bn， 8 分 ) 12 1 12 1 ( 2
24、1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1 1 ( 2 1 nn Tn 9 分 ) 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 1 1 ( 2 1 nn ) 12 1 1 1 ( 2 1 n12 n n 。 12 分 21 （本小题满分 12 分） (1)求角C的大小； (2)如图，设P为ABC内一点，1PA，2PB，且ACBAPB，求BCAC 的最大值。 【解析】(1)在ABC中，CBA，CbBcasincos33， 由正弦定理 C c B b A a sinsinsin 得：CBBCAsinsincossin3sin3， 2 分 CBBCCB
25、sinsincossin3)sin(3， CBBCCBCBsinsincossin3sincos3cossin3， 即CBCBsinsincossin3， 4 分 又0sinB，0sinC，3tanC，又)0(，C， 3 C； 5 分 (2)由(1)与ACBAPB得 3 2 APB， 6 分 由余弦定理得：7 3 2 cos21241cos2 222 APBPBPAPBPAAB，8 分 又ACBBCACBCACABcos2 222 4 )( ) 2 (3)(3)( 2 222 BCACBCAC BCACBCACBCAC ， 10 分 7 4 )( 2 BCAC ，72BCAC(当且仅当BCAC
26、 时取等号)， BCAC 的最大值为72。 12 分 22 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足13 1 naa nn ，ma 1 。 (1)试确定m的值，使得 n a为等差数列； (2)若1m，求数列 n a的前n项和 n S。 【解析】(1)由ma 1 ，13 1 naa nn 可得ma 4 2 ，ma 3 3 ， 1 分 若数列 n a为等差数列，则 312 2aaa， 2 分 即)3()4(2mmm，解得 4 5 m， 3 分 此时 4 5 1 a， 4 11 2 a， 2 3 4 5 4 11 12 aad， 4 1 2 3 2 3 ) 1( 4 5 nnan， 4 分 1
27、3 4 1 ) 1( 2 3 4 1 2 3 1 nnnaa nn ， 故当 4 5 m时，数列 n a为等差数列； 5 分 (2)当1m时，由1 1 a，13 1 naa nn 可得： 当n为偶数时， nnn aaaaaaS 14321 6 分 )()()( 14321nn aaaaaa 1) 1(3) 133() 113( n 2 )1(31 3 n n 4 23 222 ) 1(1 3 2 nnnnn ， 8 分 当n为奇数时， nnn aaaaaaS 14321 9 分 )()()( 154321nn aaaaaaa 1) 1(3) 153() 123(1 n 2 1 )1(5231 n n 4 123 2 1 2 1 2 ) 1(2 31 2 nnnnn ， 11 分 综上， 为偶数 为奇数 n n n n n n Sn , 24 3 , 4 1 24 3 2 2 。 12 分
