1、课时作业课时作业 58双曲线双曲线 一、选择题 1已知双曲线x 2 9 y 2 4 1，则其焦距为(D) A. 5B2 5 C. 13D2 13 解析：由双曲线方程知 c29413，c 13，焦距为 2 13，故选 D. 2(2021河北联考)若双曲线 C：x 2 my 21 的一条渐近线方程为 3x2y0，则 m( A) A.4 9 B9 4 C.2 3 D3 2 解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为 y 1 mx(m0)，3x2y0 可化为 y 3 2x，则 1 m 3 2，解得 m 4 9. 3(2021合肥市质量检测)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程为
2、 y2x，且经过点 P( 6，4)，则 双曲线的方程是(C) A.x 2 4 y2 321 Bx 2 3 y 2 4 1 C.x 2 2 y 2 8 1Dx2y 2 4 1 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为 y2x，所以b a2 .又双曲线过点 P( 6，4)，所以 6 a2 16 b21 . 联立，解得 a 2，b2 2，所以双曲线的方程为x 2 2 y 2 8 1，故选 C. 4已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，直线 l 过点 F1，与双曲线的左支交于 A，B 两 点，若|AB|5，且双曲线的实轴长为 8，则ABF2的周长是(D) A16
3、B18 C21D26 解析：由双曲线的定义可得，|AF2|AF1|2a8，|BF2|BF1|2a8，所以ABF2的周长为|AF2|BF2|AB| |AF1|BF1|16|AB|2|AB|1626.故选 D. 5(2021安徽皖南八校联考)已知点 F2是双曲线 C：x 2 9 y 2 3 1 的右焦点，动点 A 在双曲线左支上，点 B 为圆 E： x2(y2)21 上一点，则|AB|AF2|的最小值为(A) A9B8 C5 3D6 3 解析：设双曲线 C 的左焦点为 F1，连接 AF1，BE，F1E，则|AF2|AF1|2a|AF1|6，|AB|AF2|AB|AF1| 6|AB|AF1|BE|5
4、|F1E|5 12459. 6(2021湖南长沙月考)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，M 为双曲线上一点，若 cos F1MF21 4，|MF 1|2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为(A) Ay 3xBy 3 3 x CyxDy2x 解析：由题意，得|MF1|MF2|2a， 又|MF1|2|MF2|，|MF1|4a，|MF2|2a，cosF1MF216a 24a24c2 24a2a 1 4，化简得 c 24a2，即 a2b24a2， b23a2，又 a0，b0， b a 3，此双曲线的渐近线方程为 y 3x，故选 A. 7已知双曲线x 2
5、 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为(C) A.x 2 4 y2 121 Bx 2 12 y2 4 1 C.x 2 3 y 2 9 1Dx 2 9 y 2 3 1 解析：由题意可知，焦点 F 到渐近线的距离 b3，又c a2，a 2b2c2，所以 a23，双曲线的方程为x2 3 y 2 9 1，故选 C. 8(2021海南模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1(c,0)，F2(c,0)(
6、c0)，点 P 在双曲线 上，且 PF2垂直于 x 轴，若直线 PF1的方程为 y3 4(xc)，PF 1F2的面积为 6，则 a(B) A. 3B1 C. 3 2 D2 3 3 解析：根据题意知|F1F2|2c，直线 PF1的斜率为3 4，则 tanPF 1F2 |PF2| |F1F2| 3 4，则有|PF 2|3 2c，则|PF 1| |PF2|2|F1F2|25 2c，则 2a|PF 1|PF2|c，则双曲线的离心率 ec a2.又因为PF 1F2的面积为 S1 22c 3 2c6， 整理得 c24，则 c2，由c a2 得 a1. 二、填空题 9(2020江苏卷)在平面直角坐标系 xO
7、y 中，若双曲线x 2 a2 y2 5 1(a0)的一条渐近线方程为 y 5 2 x，则该双曲线 的离心率是3 2. 解析：双曲线x 2 a2 y2 5 1(a0)的渐近线方程为 y 5 a x， 5 a 5 2 ，a2，则离心率 e1b 2 a2 15 4 3 2. 10 (2021湖南湘潭模拟)已知 P 为双曲线 C： x2y 2 4 1 右支上一点， F1， F2分别为 C 的左、 右焦点， 且线段 A1A2， B1B2分别为 C 的实轴与虚轴若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|6. 解析：双曲线 C：x2y 2 4 1，|A1A2|2a2，|B1B2|2b4
8、.又|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，|A1A2|PF1| |B1B2|2，|PF1|8， |PF2|82a6. 11(2021湖南湘西模拟)已知 F1，F2分别为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，点 P 是以 F 1F2为直 径的圆与 C 在第一象限内的交点，若线段 PF1的中点 Q 在 C 的渐近线上，则 C 的渐近线方程为 y2x. 解析：双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax.连接 PF 2，由点 P 是以 F1F2为直径的圆与 C 在第 一象限内的交点，可得 PF1PF2.由线段 PF1的中点
9、Q 在 C 的渐近线上，可得 OQPF2，则 PF1OQ，直线 OQ 的 方程为 bxay0，可得 F1(c，0)到 OQ 的距离为 bc b2a2b，得|OQ|a，|PF 1|2b，|PF2|2|OQ|2a.由双曲线的 定义可得|PF1|PF2|2b2a2a，即 b2a，所以双曲线的渐近线方程为 y2x. 12已知 F1、F2分别是双曲线 x2y 2 b21(b0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|2 且 F1AF245，延长 AF2交双曲线的右支于点 B，则F1AB 的面积等于 4. 解析：由题意知 a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|
10、2a2， |AF1|2|AF2|4， |BF1|2|BF2|，由题意知|AB| |AF2|BF2|2|BF2|，|BA| |BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF2 45，ABF190，BAF1为等腰直角三角形|BA|BF1| 2 2 |AF1| 2 2 42 2. SF1AB1 2|BA|BF 1|1 22 22 24. 13(2021广东六校联考)已知点 F 为双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点，直线 ykx(k0)与 E 交于不同象 限内的 M，N 两点，若 MFNF，设MNF，且 12， 6 ，则该双曲线的离心率的取值范围是(D) A 2， 2 6B2， 3
11、1 C2， 2 6D 2， 31 解析：如图，设左焦点为 F，连接 MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2，由双曲线定 义可知 r2r12a，点 M 与点 N 关于原点对称，且 MFNF，|OM|ON|OF|c，r21r224c2，由 得 r1r22(c2a2)，又知 SMNF2SMOF. 1 2r 1r221 2c 2sin2，c2a2c2sin2， e2 1 1sin2，又 12， 6 ，sin2 1 2， 3 2 ，e2 1 1sin22，( 31) 2又 e1，e 2， 3 1，故选 D. 14已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为
12、2，左、右焦点分别是 F 1，F2.过 F1的直线 l 分别交 C 的两 条渐近线于 A，B 两点(A 与 B 不重合)，且满足AB (AF2 BF2 )0，则直线 l 的斜率 k 15 5 . 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M(x0，y0)因为双曲线 C 的离心率为 2，所以 ec a 1b 2 a2 2，所以b 2 a23.因为AB (AF2 BF2 )0，所以 F2Ml，即 k y0 x0c1， 其中 c a2b2，将 A，B 两点坐标代入渐近线方程，可得 x21 a2 y21 b20， x22 a2 y22 b20， 两式相减， 得x2x1x2x1 a2 y2y1y2y1 b2 0， 所以 ky0 x0 b2 a2， 而点 F1，M 在直线 l 上，所以 y0 x0ck， 由两式消去 c，可得y0 x0 2k 1k2， 代入，可得 2k2 1k2 b2 a23，解得 k 15 5 .
