1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1二项式定理 二项式定理 011222 . n nnnnn nnnn abC aC abC abC bn N 这个公式表示的定理叫做二项式定理 二项式系数、二项式的通项 011222 . nnnnn nnnn C aC abC abC b 叫做 n ab的二项展开式，其中的系数 0, 1, 2, ., r n Crn叫做二项式系数，式中的 rn rr n C ab 叫做二项展开式的通项，用 1r T 表示， 即通项为展开式的第1r 项： 1 rn rr rn TC ab 二项式展开式的各项幂指数 二项式 n ab的展开式项数为1n 项，各项的幂指数状况是 各项
2、的次数都等于二项式的幂指数n 字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减 1 直到零，字母b按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到n 几点注意 通项 1 rn rr rn TC ab 是 n ab的展开式的第1r 项，这里0, 1, 2, .,rn 二项式 n ab的1r 项和 n ba的展开式的第1r 项 rn rr n C ba 是有区别的， 应用二项式 定理时，其中的a和b是不能随便交换的 注意二项式系数（ r n C）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负 求展开式中的特定项 【学而思高中数学讲义】 通项公式是 n ab这个标准形
3、式下而言的，如 n ab的二项展开式的通项公式是 1 1 r rn rr rn TC ab （只须把b看成b代入二项式定理）这与 1 rn rr rn TC ab 是不同的，在这 里对应项的二项式系数是相等的都是 r n C，但项的系数一个是1 r r n C，一个是 r n C，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念 设1,abx，则得公式： 122 11. n rrn nnn xC xC xC xx 通项是 1r T rn rr n C ab 0, 1, 2, .,rn中含有 1, , r Ta b n r 五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大，x比较小时可以用展
4、开式的前几项求(1)nx的近似值 2二项式系数的性质 杨辉三角形： 对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算 杨辉三角有如下规律： “左、 右两边斜行各数都是 1 其余各数都等于它肩上两个数字的和 ” 二项式系数的性质： n ab展开式的二项式系数是： 012 , ., n nnnn CCCC，从函数的角度看 r n C可以看成是r为自 变量的函数 f r，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n 当6n 时， f r的图象为下图： 这样我们利用 “杨辉三角” 和6n 时 f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质 对称性
5、：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 【学而思高中数学讲义】 事实上，这一性质可直接由公式 mn m nn CC 得到 增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是 012 1 1, 11 2 nnn n nn CCC ， 3 12 1 2 3 n n nn C ， 1 12 .2 1 2 3 .1 k n n nnnk C k ， 12 .21 1 2 3.1 k n n nnnknk C kk ， 1 n n C 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘
6、以逐次减小 1 的数（如 ,1,2, .n nn），分母是乘以逐次增大的数（如 1，2，3，）因为，一个自然数乘以 一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当k依次取 1，2，3，等值 时， r n C的值转化为不递增而递减了又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等， 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间 当n是偶数时，1n 是奇数，展开式共有1n 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的 二项式系数最大，最大为 2 n n C 当n是奇数时，1n 是偶数，展开式共有1n 项，所以有中间两项 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为 11
7、22 nn nn CC 二项式系数的和为2n，即 012 .2 rnn nnnnn CCCCC 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 .2n nnnnnn CCCCCC 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 典例分析 二项展开式 2 求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等 ） 常数项 【学而思高中数学讲义】 【例 1】 在 20 4 3xy展开式中，系数为有理数的项共有项 【例 2】 1003 ( 23)的展开式中共有_项是有理项 【例 3】 6103 4 1 (1) (1)x x 展开式中的常数
8、项为_（用数字作答） 【例 4】 6 2 1 1xxx x 的展开式中的常数项为_ 【例 5】 二项式 4 2 x+ x 的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和 为 （用数字作答） 【例 6】 若 12 3 a x x 的展开式中的常数项为220，则实数a _ 【学而思高中数学讲义】 【例 7】 在二项式 5 2 a x x 的展开式中，x的系数是10，则实数a的值为 【例 8】 在 6 2 1 x x 的展开式中，常数项是_ （结果用数值表示） 【例 9】 如果 1 n x x 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n ，展开式中 的常数项的值等于 【例 10】 28 1 (12)()x
9、x x 的展开式中常数项为（用数字作答） 【例 11】若 1 ()nx x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 _（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 12】若 3 1 (2)nx x 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等 于 【例 13】在 2 ()nx x 的 二项 展 开 式中 ， 若 常数 项 为60， 则n等 于 （用数字作答） 【例 14】 2 1 ()nx x 的展开式中，常数项为 15，则n 【例 15】已知 2 3 1 (1)()nxxx x 的展开式中没有常数项，n * N，且 28n，则n _ 【例 16】 12 3 1 ()x x 展开式中的
10、常数项为_（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 17】已知 2 ()n i x x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 3 14 ， 其 中 2 1i ，则展开式中常数项是（用数字作答） 【例 18】已知10()nnN，若 n x x) 1 ( 2 3 的展开式中含有常数项，则这 样的n有（） A3 个B2C1D0 【例 19】 6103 4 1 (1) (1)x x 展开式中的常数项为_（用数字作答） 【例 20】 5 1 (2) 2 x x 的展开式中整理后的常数项为（用数字作 答） 【例 21】 28 1 (12)()xx x 的展开式中常数项为（用数字作答） 【学而思高中数学
11、讲义】 【例 22】已知 3 1 2 n x x 的展开式的常数项是第7项， 则n的值为 （） A7B8C9D10 【例 23】在 2 ()nx x 的 二项 展 开 式中 ， 若 常数 项 为60， 则n等 于 （用数字作答） 【例 24】 2 1 ()nx x 的展开式中，常数项为 15，则n 【例 25】 12 3 1 ()x x 展开式中的常数项为_（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 26】已知 2 ()n i x x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 3 14 ， 其 中 2 1i ，则展开式中常数项是（用数字作答） 【例 27】已知10()nnN，若 n x x) 1
12、 ( 2 3 的展开式中含有常数项，则这 样的n有（） A3 个B2C1D0 【例 28】 12 3 1 x x 展开式中的常数项为（） A1320B1320 C220D220 【例 29】求 6 1 2x x 展开式中的常数项 【例 30】 6 1 2 2 x x 的展开式的常数项是（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 31】在 2 n x x 的二项展开式中，若常数项为60，则n等于（） 36912 【例 32】 1 n x x 的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n的值 是 【例 33】若 n x x 3 1 的展开式中存在常数项，则n的值可以是 （） A10B11C12D14
13、 【例 34】在 26 1 (2)x x 的展开式中常数项是，中间项是_ 【例 35】已知 2 3 1 (1)()nxxx x 的展开式中没有常数项，n * N，且 28n，则n _ 【例 36】若 3 1 (2)nx x 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等 【学而思高中数学讲义】 于 【例 37】已知 2 1 n x x 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 3 14 ， 则展开式中常数项是（） A1B1C45D45 【例 38】若 2 1 n x x 展开式中的二项式系数和为512，则n等于 _；该展开式中的常数项为_ 【例 39】若 9 2 1 ax x 的展开式中常数项为84，则
14、a _，其展开式 中二项式系数之和为_ 【学而思高中数学讲义】 【例 40】若 1 n x x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项 为（） A10B20C30D120 有理项 【例 41】求二项式 15 3 2 x x 的展开式中： 常数项； 有几个有理项（只需求出个数即可） ； 有几个整式项（只需求出个数即可） 【例 42】 1003 ( 23)的展开式中共有_项是有理项 【例 43】二项式 153 2 ()x x 的展开式中： 求常数项； 有几个有理项； 有几个整式项 【学而思高中数学讲义】 【例 44】已知在 4 1 2 n x x 的展开式中，前三项的系数成等差数列 求n
15、； 求展开式中的有理项 【例 45】二项展开式 15 3 1 x x 中，有理项的项数是（） A3B4C5D6 【例 46】在 11 3 32xx 的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概 率为p，则 1 0 p x dx A1B 6 7 C 7 6 D 11 13 【例 47】 123 ()xx的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（） A4项B3项C2项D1项 【学而思高中数学讲义】 【例 48】若 5 122ab（a，b为有理数） ，则ab（） A45B55C70D80 系数最大的项 【例 49】已知 1 () 2 n x x 的展开式中前三项的系数成等差数列 求n的值； 求展开式中系数最
16、大的项 【例 50】 20 (23 ) x展开式中系数最大的项是第几项？ 【例 51】已知(13 )nx的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121， 求展开式中系数最大的项 【例 52】在 1 3 2 n x x 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展 开式中常数项是_ A7B7C28D28 【学而思高中数学讲义】 【例 53】已知 lg8 (2) x xx的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120，求x 【例 54】求 10 3 1 2 x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最 大的项 【例 55】已知 32 4 1 n x x 展开式中的倒数第三项的系数为45，求
17、： 含 3 x的项； 系数最大的项 【例 56】设m n N，1m n， ，( )(1)(1) mn f xxx的展开式中，x 的系数为19 求( )f x展开式中 2 x的系数的最大、最小值； 对于使( )f x中 2 x的系数取最小值时的m、n的值，求 7 x的系数 【学而思高中数学讲义】 【例 57】已知： 2 2 3 (3)nxx的展开式中， 各项系数和比它的二项式系数和 大992 求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项 【例 58】 20 (23 ) x展开式中系数最大的项是第几项？ 【例 59】关于二项式 2005 (1)x 有下列命题： 该二项展开式中非常数项的系数
18、和是1： 该二项展开式中第六项为 61999 2005 Cx； 该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； 当2006x 时， 2005 (1)x 除以2006的余数是2005 其中正确命题的序号是_ （注：把你认为正确的命题序号都填上） 【例 60】在 3 1 2 n x x +的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式 中常数项为 （用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 61】设 21 * 174 n n N的整数部分和小数部分分别为 n M与 n m， 则 nnn mMm的值为 【例 62】 12 () mn axbx中，a b，为正实数，且200mnmn，它的展 开式中系数最大的项是常数项，求 a b 的取值范围 【例 63】二项式(1sin )nx的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二 项式系数最大的一项的值为 5 2 ，则x在(0, 2)内的值为_ 【例 64】如果 2 3 2 (3)nx x 的展开式中含有非零常数项， 则正整数n的最小 值为_（用数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 65】在二项式1 n x的展开式中， 存在着系数之比为5 7的相邻两项， 则指数*n nN的最小值为
