1、【学而思高中数学讲义】 题型一 函数的定义 【例 1】判断以下是否是函数： 2 45yx；yx ；32yxx； 22 9xy 【例 2】函数( )yf x的图象与直线1x 的公共点数目是（） A1B0C0或1D1或2 【例 3】如图所示，能表示“y是x的函数”的是 【例 4】如下图（1） （2） （3） （4）四个图象各表示两个变量, x y的对应关系，其中表示 y是x的函数关系的有 x y O 1 1 1 1 (1). x y O 11 1 (2). x y O 11 1 (3). 1 x y O 11 1 (4). 1 【例 5】 |02, |03MxxNyy给出下列四个图形，其中能表示从
2、集合 M 到 集合 N 的 函数关系的有（） A、 0 个B、 1 个C、 2 个D、3 个 板块一.函数的概念 【学而思高中数学讲义】 xxxx 1 2111222 1111 2222 y y yy 3 OOOO 【例 6】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？如果是映射，是不是一一映 射 集合|AP P是数轴上的点，集合RB ，对应关系f：数轴上的点与它 所代表的实数对应； 集合|AP P是平面直角坐标系中的点，集合( ,)|,Bx yxyRR， 对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； 集合 |Ax x是三角形，集合 |Bx x是圆，对应关系f：每一个三角 形都对应它的内切
3、圆； 集合 |Ax x是华星中学的班级，集合 |Bx x是华星中学的学生，对 应关系f：每一个班级都对应班里的学生 【例 7】下列对应中有几个是映射？ 【例 8】已知 12 ,Aaa， 12 ,Bbb，则从A到B的不同映射共有（） A4 个B 3 个C 2 个D 1 个 【例 9】设:fAB是集合 A 到 B 的映射，下列说法正确的是（） A、A 中每一个元素在 B 中必有象B、B 中每一个元素在 A 中必有原象 C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的D、B 是 A 中所在元素的象的集合 【例 10】若集合 1,0,1A ， 2, 1,0,1,2B ，f：AB 表示 A 到 B 的一个映
4、射， 且满足对任意xA都有( )xf x为偶数，则这样的映射有_ 个 设:fAB是从集合 A 到 B 的映射，( ,),ABxy xyRR， :( , )(,)fx ykx yb，若 B 中元素(6, 2)在映射 f 下的原象是(3, 1)， 则 k，b 的值分别为_ 【例 11】已知集合04Axx，02Byy，下列从 A 到 B 的对应f不是映 射的是（） 【学而思高中数学讲义】 A 1 : 2 fxyxB 1 : 3 fxyxC 2 : 3 fxyxD 2 1 : 8 fxyx 【例 12】集合 A=3， 4， B=5， 6， 7， 那么可建立从 A 到 B 的映射个数是_， 从 B 到
5、A 的映射个数是_. 【例 13】已知集合 42 1,2,3,4,7,3AkBaaa，且 *, ,aNxA yB使B中元素 31yx和A中的元素x对应，则, a k的值分别为（） A2,3B3,4C3,5D2,5 【例 14】（09 年山东梁山）设 f、g 都是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表（从上到 下） ：映射 f 的对应法则是表 1 原象1234 象3421 映射 g 的对应法则是表 2 则与)1 (gf相同的是（） A)1 ( fg；B)2( fg；C)3( fg ；D)4( fg 【例 15】（07 年北京）已知函数( )f x，( )g x分别由下表给出 则 (1)f g的
6、值为；满足 ( ) ( )f g xg f x的x的值是 【例 16】（06 陕西） 为确保信息安全， 信息需加密传输， 发送方由明文密文 （加密） ， 接收方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文, , ,a b c d对应密文 2 ,2,23 ,4 .abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收 到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（） A7,6,1,4；B4,6,1,7；C6,4,1,7；D1,6,4,7 【例 17】已知5,6,7,8,9MN，规定M到N的一个映射为( )f x= 1 5 x 9 9 x x ， 原象1234 象4312
7、x 123 ( )f x131 x 123 ( )g x321 【学而思高中数学讲义】 如果 ( )6f f a，求a；如果 ( )6f f f b，求b；如果 10 . ( )6f ff c 次 ，求c 题型二 函数的定义域 【例 18】求下列函数的定义域 （1） 1 ( ) 2 f x x ； （2）( )32f xx； （3） 1 ( )1 2 f xx x . 【例 19】求下列函数的定义域： （1） 1 21 y x ； （2） 3 3 12 x y x . 【例 20】函数 1 1 y x 的自变量x的取值范围是（） A0 x B1x C0 x D0 x且1x 【例 21】函数 2
8、 2 4 x y x 的定义域 【例 22】函数 0 (1)x y xx 的定义域是_ 【例 23】求函数 3 1 ( ) 1 x f x x 的定义域 【例 24】（2008 年全国 I 卷文理）函数(1)yx xx的定义域是（） A |0 x x B |1x x C |10 x x D |01xx 【例 25】求下列函数的定义域83yxx； 22 11 1 xx y x ； 1 1 1 1 1 y xx 【例 26】若(2)yf x的定义域是(1, 3，求( )yf x的定义域 【例 27】已知函数(1)yf x定义域是 2, 3，则(21)yfx的定义域是（） A 5 0 2 ，B 14
9、 ，C 5 5 ，D 37 ， 【学而思高中数学讲义】 【例 28】(1)已知已知函数f （x） = 3 2 31 3 x axax 的定义域是R， 则实数 a 的取值范围是 （） Aa 1 3 B12a0C12a0Da 1 3 【例 29】（1）求下列函数的定义域： 0 2 (1) ( )56 x f xxx xx 的定义域 （2） 已知函数 ( )f x的定义域是( ,)a b， 求函数( )(31)(31)F xfxfx 的定义 域 【例 30】(1)函数( )f x的定义域为(0,1),求函数 2 ()f x的定义域; (2)已知函数(21)fx 的定义域为(0,1),求( )f x的
10、定义域; (3)已知函数(1)f x 的定义域为 2,3,求 2 (22)fx 的定义域. 【例 31】求下述函数的定义域： （1） 2 0 2 ( )(32 ) lg(21) xx f xx x ； （2） 22 ( )lg()lg().f xxkaxa 【例 32】已知函数 f x定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： (1) 2 ()23f x；(2) 2 1 2 ()1 log (2) f x y x 。 题型三 函数的值域 一、用非负数的性质一、用非负数的性质 【例 33】求下列函数的值域： （1）y=-3x2+2;（2）y=5+21x (x-1) 【例 34】函数 2 ( )1f
11、 xxx的最小值是_ 【例 35】求函数 2 1yxx的值域 二、分离常数法二、分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域 【例 36】求下列函数的值域： （1）y= 2 1 x x （2）y= 2 2 1 1 x x . 【学而思高中数学讲义】 三、利用函数单调性三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法 【例 37】求函数 y=3x-12x的值域. 四、利用判别式四、利用判别式 特殊地，对于可以化为关于 x 的二次方程 a(y)x2+b(y)x+c(y)=0 的函数 y=f(x)，可利 用0( )0,a yyx 且求出 的
12、最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的 值 【例 38】求函数 y = 2 3 4 x x 的最值 【例 39】利用判别式方法求函数 2 2 223 1 xx y xx 的值域 五、利用数形结合五、利用数形结合 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外 【例 40】若（x+ 2 1y）(y- 2 1x)=0,求 x-y 的最大、最小值 六、利用换元法求值域六、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑 【例 41】求函数 y=2x-5+154x的值域 七、利用反解函数求值域七、利用反解函数求值域 因函数 y=f(x)的
13、值域就是反函数 y=f-1(x)的定义域， 故某些时候可用此法求反函数的 值域 【例 42】求函数 y= 2 xx ee (x0)的值域 八、利用已知函数的有界性八、利用已知函数的有界性 【例 43】求函数 y= 2 5 243xx 的值域. 九、求值域综合性题目九、求值域综合性题目 【例 44】求下列函数的值域： 3 4 x y x 2 5 243 y xx 12yxx 【例 45】求下列函数的值域： 【学而思高中数学讲义】 （1） 2 42 (14)yxxx ； （2） 2sin 2sin x y x ； （3） 2 2 43 6 xx y xx 【例 46】求下列函数的值域 1 yx x
14、 ；3yxx 【例 47】求下列函数的值域： （1） 2 432yxx；（2）12yxx； （3） 2 2 1 223 xx y xx ；（4）35yxx； 【例 48】求下列函数的定义域与值域： （1） 32 54 x y x ； （2） 2 2yxx . 【例 49】求下列函数的值域 23 1 x y x ；21yx ， 1, 3x ； 2 234yxx ； 2 532yxx 【例 50】求下列函数的值域： （1） 2 32yxx； （2） 2 65yxx； （3） 31 2 x y x ； （4）4 1yxx； （5） 2 1yxx； （6）|1|4|yxx； （7） 2 2 22 1
15、xx y xx ； （8） 2 211 () 212 xx yx x ； （9） 1sin 2cos x y x 。 十、应用值域去未知系数取值范围十、应用值域去未知系数取值范围 【例 51】设函数 1 1(0), 2 ( ) 1 (0). xx f x x x ，若( )f aa，则实数a的取值范围 是 【例 52】函数 2 2 2(03) ( ) 6 ( 20) xxx f x xxx 的值域是（） ARB9,C8,1 D9,1 【例 53】已知函数 2 ( )3yf xxax在区间1， 1上的最小值为3， 求实数a的值 【例 54】已知函数 f(x)=x2+mx 4 在区间2，4上的两个
16、端点取得最大的最小值。 【学而思高中数学讲义】 (1)求 m 的取值范围； (2)试写出最大值 Y 为 m 的函数关糸式; (3)最大值 Y 是否存在最小值?若有，请求出来；若无，请说明理由。 【例 55】若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同 族函数”,那么函数解析式为 2 yx、值域为1,4的“同族函数”共有个. 【例 56】已知函数 1 ( )5 7 f xx x 求函数的定义域； 求(11)f， 5 4 f 的值； 当0a 时，求( )f a，(1)f a 的值 【例 57】已知函数 2 ( )f xaxbxc， 若(0)0,(1)( )1ff xf x
17、x， 试求函数( )f x的 值域. 【例【例 58】已知 xy0，并且 4x 2-9y2=36由此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能， 求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由 【例 59】函数 2 ( )(2)2(2)4f xaxax的定义域为R，值域为,0， 则满足条件的实数a组成的集合是 【例 60】若函数 2 34yxx的定义域为0,m，值域为 25 4 4 ，则m的取值范围是 （） A0,4B 3 2，4 C 3 3 2， D 3 2 ，） 【例 61】当_x 时，函数 222 12 ( )()().() n f xxaxaxa取得最小值 【例 62】设函数21ya
18、xa，当11x 时，y的值有正有负，则实数a的范 围 【例 63】对于任意实数x，函数 2 ( )(5)65f xa xxa恒为正值，求a的取值范围 【例 64】记二次函数 2 ( )41f xxmx 在 1, 3的最大值为( )g m， 写出( )g m的函数表 达式，并求出( )g m的最小值 【学而思高中数学讲义】 题型三 相等函数 【例 65】试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f（x）= 2 x，g（x）= 33 x； （2）f（x）= |x x ，g（x）= 10, 10; x x （3）f（x）= 2121nn x ，g（x）=（ 21n x ）2n 1（nN*） ； （
19、4）f（x）=x1x ，g（x）= 2 xx； （5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1 【例 66】下列各组函数中，( )f x与( )g x表示同一函数的一组是（） A 2 ( ), ( ) x f xx g x x B( )f xx，( ) |g xx C( ) |f xx， 2 ( )g xxD( ) |,f xx (0) ( ) (0) x x g x x x 【例 67】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） 1 (3)(5) 3 xx y x ， 2 5yx； 1 11yxx， 2 (1)(1)yxx； ( )f xx， 2 ( )g xx； 343 ( )f xxx， 3 ( )1F xx x； 2 1( ) ( 25)f xx， 2( ) 25fxx A、B、CD、
