1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一 集合综合题 【例 1】已 知 A=x|x2+3x+2 0,B=x|mx2 4x+m-10 ,mR, 若 AB=, 且 AB=A, 求 m 的取值范围. 【例 2】设集合 A=x|xa|2，B=x| 2 12 x x 1，若 AB，求实数 a 的取值范围。 【例 3】设集合 P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40 对任意实数 x 恒成立， 则下列关系中成立的是（） AP QBQPCP=QDQ P 板块四.集合杂题 【学而思高中数学讲义】 【例 4】设集合 A= (x，y)|y 2 x1= 0 ，集合 B =(x，y)| 4x 2 2x2y5 = 0
2、 ，集合 C =(x，y)| y = kxb ，是否存在 k，bN，使得()ABC ？若存在，请求出 k，b 的值；若不存在，请说明理由 【例 5】（2010 年高考上海市理科 14） 以集合 U=abcd， ， ，的子集中选出 4 个不同 的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a、b 都要选出； （2）对选出的任意两个子集 A 和 B，必有ABBA或，那么共有种不 同的选法。 【例 6】设 f(x)=x2+px+q,A=x|x=f(x),B=x|ff(x)=x (1)求证 AB; (2)如果 A=1，3，求 B 【学而思高中数学讲义】 【例 7】已知an是等差数列，d 为公差且不为 0，a
3、1和 d 均为实数，它的前 n 项和记作 Sn,设集合 A=(an, n Sn )|nN*,B=(x,y)| 4 1 x2y2=1,x,yR。 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合 A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）AB 至多有一个元素； （3）当 a10 时，一定有 AB。 【例 8】已知集合 A=z|z2|2,zC,集合 B=w|w= 2 1 zi+b,bR,当 AB=B 时，求 b 的值 【例 9】解答下述问题： 设集合,0|,0422| 2 xxBmxxxA， BA若,求实数 m 的取值范围. 【学而思高中数学讲
4、义】 【例 10】七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能 站在正中间的位置，则有多少不同的排法？ 【例 11】已知集合NMbxyyxNxyyxM且),( 9),( 2 ，求 实数 b 的取值范围。 【例 12】A 是由定义在4 , 2上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：对任意 2 , 1 x，都有)2 , 1 ()2(x； 存在常数) 10( LL，使得对任意的 2 , 1 , 21 xx，都有| )2()2(| 2121 xxLxx （1）设4 , 2,1)( 3 xxx，证明：Ax )( （2） 设Ax )(,如果存在)2 , 1 ( 0 x,使得)2(
5、00 xx,那么这样的 0 x是唯一的; （3）设Ax )(,任取)2 , 1 ( l x,令, 2 , 1),2( 1 nxx nn 证明:给定正整数 k, 对任意的正整数 p,成立不等式 1 21 | 1 k kpk L xxxx L 。 【学而思高中数学讲义】 题型二 集合定义型 【例 13】A 、 B是 非 空 集 合 ， 定 义 |,ABx xABxAB且， 若 2 |3 Ax yxx, |3 x By y，则A B = 【例 14】（福建卷 16）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 a、bR，都 有 a+b、a-b， ab、 a b P（除数 b0） ，则称 P 是一个
6、数域.例如有理数集 Q 是数域；数集 2,Faba bQ也是数域.有下列命题：整数集是数域； 若有理数集QM，则数集 M 必为数域；数域必为无限集；存在无穷 多个数域.其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填 填上） 【例 15】对集合 A 与 B，若定义 |,ABx xAxB且，当集合 * |8,Ax xxN， 集合 | (2)(5)(6)0Bx x xxx时，有AB=. 【例 16】（07 湖北）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合QP =QxPxx且,|，如 果1log2xxP，12 xxQ那么QP 等于 Ax|0 x1B.x|0 x1C.x|1x2D.x|2x3 【例 17
7、】定义集合A、 B的一种运算： 1212 ,ABx xxxxA xB其中， 若1,2,3A ， 1,2B ，则AB中的所有元素数字之和为（）. A9B. 14C. 18D. 21 【例 18】（1）给定集合 A、B，定义 AB=x|x=m-n，mA，nB若 A=4，5，6， B=1，2，3，则集合 AB 中的所有元素之和为 （） A15B14C29D-14 【学而思高中数学讲义】 （2）设全集为 U，集合 A、B 是 U 的子集，定义集合 A、B 的运算：A*B=x|xA， 或 xB,且 xAB，则(A*B)*A 等于（） AABBC() UA BD() U AB 【例 19】现定义一种运算
8、nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 ( , )| i d A Bab （）当 n=5 时，设(0,1,0,0,1),(1,1,1,0,0)AB，求AB，( , )d A B； （）证明：, , nn A B CSABS有，且(,)( , )d AC BCd A B; () 证明：, , ( , ), ( ,), ( ,) n A B CSd A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 【学而思高中数学讲义】 【例 23】 (2010 年高考北京市理科年高考北京市理科 20)（本小题共 13 分） 已 知 集 合 121 |( ,),0,1,1,2, (2)
9、nn SX Xx xxxin n，对 于 12 (,) n Aa aa， 12 ( ,) nn Bb bbS，定义 A 与 B 的差为 1122 (|,|,|); nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 ( , )| i d A Bab （）证明：, , nn A B CSABS有，且(,)( ,)d AC BCd A B; （） 证明：, , ( , ), ( ,), ( ,) n A B CSd A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数 () 设 P n S， P 中有 m(m2)个元素， 记 P 中所有两元素间距离的平均值为d(P). 证明：d（P） 2
10、(1) mn m . 题型二 集合竞赛题 【例 24】设( ,)|02, 02Ax yxy，( ,)|10,2,4Bx yxyyx是直 角坐标平面xOy上的点集则 1212 1122 ,(,), (,) 22 xxyy CxyAxyB 所 成图形的面积是 【例【例 25】已 知 集 合已 知 集 合 3 ( ,)1 2 y Ax ya x ， 2 ( ,)|(1)(1)15Bx yaxay 若 若 AB ，求，求a的所有取值的所有取值 【学而思高中数学讲义】 【例 26】已知S是由(3)n n个正数组成的集合若S中存在三个不同的元素可构成三 角形的三边， 则称S为 “三角数集” 设有连续的正整数组成的集合4, 5, m， 它的所有10元子集都是三角数集，则m的最大可能值是 【例 27】（第43届美国中学生数学竞赛试题）给出集合 |150Mxx，xN的具 有下列性质的元素个数最多的子集S并求其阶， S中任意两个元素之和都能被7整除； S中任意两个元素之和都不被7整除
