1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 版块一：古典概型 1古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： 有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的 称这样的试验为古典概型 2概率的古典定义： 随机事件A的概率定义为( )P A A事件 包含的基本事件数 试验的基本事件总数 版块二：几何概型 几何概型 事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或 体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型 几何概型中，事件A的概率定义为( ) A P A ，其中表示区域的几何度量， A 表示 区域
2、A的几何度量 典例分析 题型一：一维情形 【例 1】 在区间0 10，中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是_ 【例 2】 在长为18cm 的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方 形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（） A 5 6 B 1 2 C 1 3 D 1 6 【例 3】 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距 离都大于1m 的概率为（） 板块二.几何概型 【学而思高中数学讲义】 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 3 题型二：二维情形 【例 4】 （20102010 东城东城一模一模） 某人向一个半径为
3、6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各 点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（） A 1 13 B 1 9 C 1 4 D 1 2 【例 5】 （20102010 西城西城一模一模） 在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率 为 【例 6】 （20102010 丰台丰台二模二模） 一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角 形外的概率是_ 【例 7】 （20102010 东城东城二模二模） 在直角坐标系xOy中，设集合( , ) 01,01x yxy ，在区域内任取 一点( , )P x y，则满足
4、1xy的概率等于 【例 8】 （20102010 丰台丰台二模二模） 已知 ,|6 ,0 ,0 xyxyxy ，( , )4 ,0 ,20Ax y xyxy若 向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是_ 【学而思高中数学讲义】 【例 9】 （20102010 崇文崇文二模二模） 在平面直角坐标系xOy中， 平面区域W中的点的坐标( , )x y满足 22 5xy， 从区 域W中随机取点( , )M x y 若xZ，yZ，求点M位于第四象限的概率； 已知直线:(0)l yxb b 与圆 22 :5O xy相交所截得的弦长为15，求 yxb 的概率 【例 10】（20102010 丰台丰台二
5、模二模） 设集合1 , 2 , 3P 和1 , 1 , 2 , 3 , 4Q ， 分别从集合P和Q中随机取一个数作 为a和b组成数对,ab，并构成函数 2 41f xaxbx 写出所有可能的数对,ab，并计算2a，且3b的概率； 求函数( )f x在区间1 , 上是增函数的概率 【例 11】（20102010 宣武宣武二模二模） 口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5甲先摸出一 个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b 求“6ab”的事件发生的概率； 【学而思高中数学讲义】 若点,a b落在圆 22 21xy内， 则甲赢， 否则算乙赢， 这个游
6、戏规则公平吗？ 试说明理由 【例 12】已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 及内部面积为Sab， 12 AA，是长轴的 两个顶点， 12 BB，是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点，则 12 PA A为钝角 三角形的概率为_， 12 PB B为钝角三角形的概率为_， 12 PB B为锐角三 角形的概率为_， 12 PB B为直角三角形的概率为_ 【例 13】已知集合420 1 35A ， ， ， ， 在平面直角坐标系中， 点M xy， 的坐标xA，yA计算： 点M正好在第二象限的概率； 点M不在x轴上的概率； 点M正好落在区域 80 0 0 xy x y 上的概率 【学而思高中
7、数学讲义】 【例 14】如 右 下 图 ， 在 一 个 长 为， 宽 为 2 的 矩 形OABC内 ， 曲 线 sin0yxx与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点 （该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的） ，则所投的点落在阴影部分的概率 是（） A 1 B 2 C 3 D 4 【例 15】如图，在边长为25的正方形中挖去边长为23的两个等腰直角三角形， 现有均匀的粒子散落在正方形，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ 【例 16】在圆心角为150的扇形AOB中，过圆心O作射线交弧AB 于P，则同 时满足：45AOP且75BOP的概率为 【例 17】（2009 福建文）
8、点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧 AB 的长度小于1的概率为 【例 18】设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，求弦 长超过半径的3倍的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 19】（08 江苏） 在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成 的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投 的点落入E中的概率是 【例 20】取一个正方形及其它的外接圆， 随机向圆内抛一粒豆子， 则豆子落入正 方形外的概率（） A 2 B 2 C 2 D 4 【例 21】向面积为S的ABC内任投一点P， 则随机
9、事件 “PBC的面积小于 3 S ” 的概率为多少？ 【例 22】如图，60AOB，2OA ，5OB ，在线段OB上任取一点C，试 求： ? C ? E ? D ? B ? O ? A AOC为钝角三角形的概率；AOC为锐角三角形的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 23】把一根长度为 6 的铁丝截成 3 段 若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； 若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率 【例 24】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小 明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小 明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车
10、，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘 到他爸的车的概率 【例 25】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另 一个人一刻钟，过时即离去，求两人能会面的概率 【例 26】在区间 1 1 ，上任取两实数a b，求二次方程 22 20 xaxb的两根 都为实数的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 27】（20102010 海淀海淀一模一模） 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转 动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位 置若指针停在A区域返券60元； 停在B区域返券30元； 停在C区域不返券例 如：消费218元，
11、可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和 若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； 若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元） 求随机变量X的分布列和数学期望 【例 28】（20102010 石景山石景山一模一模） 如图，两个圆形转盘,A B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的 1 2 和 1 4 某“幸运 转盘积分活动”规定，当指针指到,A B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和 2000分先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘， 此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动 记先转A转盘最终所得积分为随机变量X
12、，则X的取值分别是多少？ 如果你参加此活动， 为了赢得更多的积分， 你将选择先转哪个转盘？请说明理由 【学而思高中数学讲义】 题型三：三维情形 【例 29】（20102010 朝朝阳阳一模一模） 一只小蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行 若蜜蜂在飞行过程 中与正方体玻璃容器 6 个表面中至少有一个的距离不大于 10，则就有可能撞到玻 璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器 6 个表面的距离均大于 10，则飞行 是安全的， 假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同， 那么蜜蜂飞 行是安全的概率是（） A 1 8 B 1 16 C 1 27 D 3 8 【例 30】设正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点 【学而思高中数学讲义】 设“ 1 4 P ABC VV ”的事件为X，求概率()P X； 设“ 1 4 P ABC VV 且 1 4 P BCD VV ”的事件为Y，求概率( )P Y
